假設有以下使用者評分表:
| \ | p1 | p2 | p3 | p4 | p5 | p6 | p7 | p8 | p9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| u1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| u2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| u3 | 12 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 11 | 0 |
| u4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| u5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| u6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| u7 | 11 | 0 | 0 | 7 | 0 | 14 | 1 | 3 | 19 |
其中，每一行代表一個使用者, 每一列代表一個產品，每一個元素代表某使用者對於某產品的評分。 設使用者 ui 的評分向量為 vi , 協同過濾的想法是，以兩個評分向量的夾角的餘弦代表兩個使用者 之間的相似度:
其中 ei 代表向量 vi 的單位向量。 那麼，對於每一行表示一個使用者的評分矩陣 A, 按行對其做單位化處理得到新矩陣 B , 協方差矩陣 C = BB' (B' 表示 B 的轉置，這裡上標 T 始終不能正常顯示) 就是使用者 的相似度矩陣， C 具有以下特徵:
Cij 代表使用者 i 和使用者 j 的相似度。 接下來，求與使用者 i 相似度最高的若干使用者，然後通過這些使用者的評分情況向使用者 i 推薦產品。
構造評分矩陣
實際上，讓使用者對產品評分，是不容易實現的，可以通過歷史記錄，構造評分矩陣。 本次實驗環境中，存在使用者行為記錄表 (user_actions)
| user_id | product_id | keywork | action | created_at |
|---|---|---|---|---|
| 17 | 1 | NULL | view | 2018-07-04 08:58:10 |
| 10 | NULL | 218 | search | 2018-07-04 09:26:54 |
| 4 | 109 | NULL | view | 2018-07-04 09:30:38 |
| 28 | NULL | 218 | search | 2018-07-04 09:35:41 |
| 28 | 56 | NULL | view | 2018-07-04 09:36:28 |
| 34 | 109 | NULL | view | 2018-07-04 10:06:15 |
| 34 | 109 | NULL | buy | 2018-07-04 10:06:38 |
| 34 | 109 | NULL | buy | 2018-07-04 10:06:46 |
這裡不去關注"搜尋"(action=search)行為, 取出瀏覽和購買的行，因為"瀏覽"和"購買"的比例大概是 50:1 , 所以，瀏覽一次記 1 分，購買一次記 50 分。 另外，顯然還存在使用者表和產品表，以下只用到它們的 id, 表結構無所謂。
首先，獲取參與計算的使用者 id 和產品 id, 因為 id 可能是不連續的，將它們的索引和 id 之間的對映記錄下來， 方便後續計算。因為是以使用者為基礎的，只讀取有歷史記錄的使用者，而產品是從產品表中讀取，也就是說在此查詢執行之後有互動行為 的新使用者不會參與計算，而老使用者的行為仍會參與計算。 考慮記憶體限制，將使用者分為幾塊處理，只計算一個塊內使用者彼此的相似度，推薦也只會在一個塊內的使用者間產生,程式碼如下 :
// 取在 users 和 user_actions 中都存在的 user_id
$users = UserAction::select("user_id")->distinct()
->join("users", "user_actions.user_id", "=", "users.id")
->orderBy("user_id")
->get();
// 使用者 id
foreach ($users as $u) {
$ui[] = $u->user_id;
}
// 使用者索引
$iu = array_flip($ui);
$products = Product::select("id")->distinct()->orderBy("id")->get();
// 產品 id
foreach ($products as $p) {
$pi[] = $p->id;
}
// 產品索引
$ip = array_flip($pi);
// 分塊
$k = $this->getChunks();
// 每一塊的最大數量
$kn = intval(ceil(count($ui) / $k));
$map = [
"users" => $ui,
"indexOfUsers" => $iu,
"products" => $pi,
"indexOfProducts" => $ip,
"chunks" => $k,
"numberPerChunk" => $kn,
];使用者分塊，設定每塊最多使用者數，計算塊數應該更合理
函式 getRatingByUser(int $id) 實現從資料庫中讀一個使用者的評分向量, 其中 zerosArray(int $n) 的作用是返回一個長度為 $n 值全為 0 的陣列:
// 點選和購買的比例接近 50 : 1
protected $caseSql = "CASE `action` WHEN 'view' THEN 1 WHEN 'buy' THEN 50 ELSE 0 END AS `score`";
/**
* 獲取一個使用者對於每一個產品的評分，得到評分向量
* @var int $id user id
* @var array $ratingArr user rating vector
* @return array
*/
public function getRatingByUser(int $id) : array
{
$map = $this->getMap();
$userActions = UserAction::select("product_id", DB::raw($this->caseSql))
->where("user_id", "=", $id)
->whereIn("product_id", $map["products"]) // 過濾掉只存在於 user_actions 中的 product_id
->where(function ($query) {
$query->where("action", "=", "view")
->orWhere("action", "=", "buy");
})
->orderBy("product_id")
->get();
$ratingArray = $this->zerosArray(count($map["products"]));
foreach ($userActions as $ua) {
$index = $map["indexOfProducts"][$ua->product_id];
$ratingArray[$index] += $ua->score;
}
return $ratingArray;
}迴圈呼叫 getRatingByUser(int $id) 得到評分矩陣, 如下:
通過評分矩陣，可以得到一些有用的資訊：
- 矩陣按行求和，代表使用者的活躍度，圖中高亮的行所對應的使用者，明顯比其他的活躍
- 矩陣按列求和，代表產品的活躍度，圖中第一個產品，明顯比第二個產品活躍
- 矩陣先按行單位化後按列求和，值越大說明該列對應的產品受越多的使用者關注
- 每一行資料分佈情況反應了這一個使用者的偏好
考慮到評分矩陣可能被其他程式使用，在儲存的時候，不分塊，本實現通過指標處理這個檔案，不會造成效能問題。
計算相似度
PHP 實現
getSimilarityMatrix(void) 通過評分矩陣計算相似度(協方差)矩陣。 向量運算使用了 math-php 庫, 因為 math-php 只能以列向量構建矩陣， 所以由 B'B 計算協方差。 EPSILON = 1e-9 , 將長度小於 EPSILION 的向量視為 0 :
/**
* 得到使用者評分向量相似度矩陣
* 考慮記憶體限制，將使用者分成 $k 組, 求協方差
* 如果初始化類傳入儲存位置, 則儲存資料到檔案
* 生成當前進度
* test:
* cache, chunk=1: 60s
* @yield array
* @return Generator
*/
public function getSimilarityMatrix() : Generator
{
$k = $this->getChunks();
$dir = $this->getDataDir();
$users = $this->getMap()["users"];
$urKey = $this->getCacheKey("user_rating");
$smKey = $this->getCacheKey("sim_mat");
$nk = intval(ceil(count($users) / $k));
if ($dir) {
$file = $dir . DIRECTORY_SEPARATOR . $urKey . ".csv";
$isBig = filesize($file) > static::MAX_FILE_SIZE;
// 大檔案按行讀, 否則直接讀入陣列
if ($isBig) {
$urCsv = fopen($file, "r");
} else {
$urCsv = file($file, FILE_IGNORE_NEW_LINES);
}
}
for ($i = 0; $i < $k; $i++) {
$vs = [];
if ($i + 1 < $k) {
$chunk = $nk;
} else {
$chunk = count($users) - $nk * $i;
}
for ($j = 0; $j < $chunk; $j++) {
$index = $i * $nk + $j;
if ($dir) {
if ($isBig) {
$arr = str_getcsv(fgets($urCsv));
} else {
$arr = str_getcsv($urCsv[$index]);
}
} else {
$arr = Cache::get("$urKey.{$users[$index]}");
}
// 單位化處理
$v = new Vector($arr);
$v = $v->length() < static::EPSILON ? $v : $v->normalize();
$vs[] = $v;
}
// 計算協方差
$M = MatrixFactory::create($vs);
$covMatrix = $M->transpose()->multiply($M);
$covArray = $covMatrix->getMatrix();
// 儲存資料
if ($dir) {
$file = $dir . DIRECTORY_SEPARATOR . "$smKey.$i.csv";
$smCsv = fopen($file, "w");
foreach ($covArray as $row) {
fputcsv($smCsv, $row);
}
fclose($smCsv);
} else {
Cache::forever("$smKey.$i", $covArray);
}
yield [$i + 1, $k];
}
if ($dir && $isBig) {
fclose($urCsv);
}
}執行該函式,本次測試耗時 76 秒:
xl@xl:~/apps/blog$ ./artisan tinker
Psy Shell v0.9.9 (PHP 7.2.10 — cli) by Justin Hileman
>>> $rs = new App\Tools\RecommenderSystem(1, storage_path('rsdata'))
=> App\Tools\RecommenderSystem {#2906}
>>> $start = time(); foreach ($rs->getSimilarityMatrix() as $arr){}; $end = time(); echo $end-$start;
76⏎math-php 的效率
math-php 是未經線性代數優化的庫，檢視原始碼可知，計算矩陣乘法的時間複雜度為 O(n^3) 。 而線性代數優化過的庫，在一定規模內(視硬體效能)矩陣操作的時間複雜度可以視為 O(1) 。 實驗環境下, 計算 1000 階矩陣乘法, math-php 效率為 IntelMTK 的 1 / 10000, NumPy 的 1/1000 .
PYTHON 實現
下面是一個簡單的 python 實現, 使用了 sklearn.preprocessing.normalize 和 NumPy 庫。
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
from sklearn.preprocessing import normalize
import numpy as np
# 載入資料
A = np.loadtxt('rs.user_rating.csv', delimiter=',')
# 按行單位化
B = normalize(A, norm='l2', axis=1)
# 求協方差
C = B @ B.transpose()
# 儲存資料
np.savetxt('covmat.csv', C)執行效果:
xl@xl:~/apps/blog/storage/rsdata$ ls -lh
total 14M
-rw-rw-r-- 1 xl xl 313 Nov 17 12:44 covMat.py
-rw-rw-r-- 1 xl xl 35K Nov 17 12:51 rs.map.json
-rw-rw-r-- 1 xl xl 13M Nov 17 12:53 rs.sim_mat.0.csv
-rw-rw-r-- 1 xl xl 632K Nov 16 19:44 rs.user_rating.csv
xl@xl:~/apps/blog/storage/rsdata$ time python3 covMat.py
real 0m2.206s
user 0m2.315s
sys 0m0.660s
xl@xl:~/apps/blog/storage/rsdata$ ls -lh
total 119M
-rw-rw-r-- 1 xl xl 106M Nov 17 13:03 covmat.csv
-rw-rw-r-- 1 xl xl 313 Nov 17 12:44 covMat.py
-rw-rw-r-- 1 xl xl 35K Nov 17 12:51 rs.map.json
-rw-rw-r-- 1 xl xl 13M Nov 17 12:53 rs.sim_mat.0.csv
-rw-rw-r-- 1 xl xl 632K Nov 16 19:44 rs.user_rating.csv因為 numpy 使用了更高的精度，矩陣檔案 ( covmat.csv ) 比php生成 ( rs.sim_mat.0.csv ) 的大很多，本次測試耗時 2 秒，可以看到，效率提升是很明顯的。
最後，得到協方差矩陣如下:
可以看到，矩陣是關於對角線對稱的，且在對角線上為最大值 1.
實際上，評分矩陣可能是非常稀疏的，可以使用 scipy.sparse 處理。
投票推薦
協方差矩陣中的第 i 行對應使用者 i 和其他使用者的相似度。 userLikes($uid, $n) 找出和使用者 $uid 最相似的 $n 個使用者, 其中 getSimVecByUser($uid) 實現取出行向量, userIdToLocation($id) 實現根據使用者 id 找到資料位置:
/**
* 計算和使用者 $uid 相似度最高的 $n 個使用者, 返回由使用者 id 組成的陣列
* @var int $uid user's id
* @var int $n number of user
* @return array
*/
public function userLikes($uid, $n = 10) : array
{
$likes = [];
$map = $this->getMap();
$users = $map["users"];
$kn = $map["numberPerChunk"];
// 獲取相似度向量
$vec = $this->getSimVecByUser($uid);
if (!$vec) {
return [];
}
// 逆排序
arsort($vec);
// 前 $n 個索引
$topNI = array_slice(array_keys($vec), 0, $n);
// 索引轉 id
$location = $this->userIdToLocation($uid);
$i = $location[0];
foreach ($topNI as $j) {
$likes[] = $users[$i * $kn + $j];
}
return $likes;
}python 實現:
# 協方差矩陣按行逆向排序，返回索引 U = np.argsort(-C, axis=1)
接著, getUserFavouriteProducts(int $id, int $n) 實現從評分矩陣中找到 使用者 $id 評分最高 的 $n 個產品:
/**
* 得到使用者 $id 評分最高的 $n 個產品, 返回產品 id 陣列
* @var int $id user's id
* @var int $n number of products
* @return array
*/
public function getUserFavouriteProducts(int $id, int $n = 10) : array
{
$dir = $this->getDataDir();
$key = $this->getCacheKey("user_rating");
$map = $this->getMap();
$pi = $map["products"];
$iu = $map["indexOfUsers"];
$m = count($iu);
$index = $iu[$id];
if ($dir) {
$file = $dir . DIRECTORY_SEPARATOR . "$key.csv";
if (filesize($file) > static::MAX_FILE_SIZE) {
$csv = fopen($file, "r");
for ($i = 0; $i < $index; $i++) {
fgets($csv);
}
$vec = str_getcsv(fgets($csv));
fclose($csv);
} else {
$arr = file($file, FILE_IGNORE_NEW_LINES);
$vec = str_getcsv($arr[$index]);
}
} else {
$vec = Cache::get("$key.$id");
}
arsort($vec);
$rn = array_slice($vec, 0, $n, true);
// 刪除評分為 0 的項
$rn = array_filter($rn, function ($item) {
return abs($item) > 1e-9;
});
$fps = [];
foreach ($rn as $pid => $score) {
$fps[] = $pi[$pid];
}
return $fps;
}python 實現:
# 評分矩陣按行逆向排序，返回索引 RI = np.argsort(-R, axis=1)
最後，通過投票，產生推薦產品, 以下投票策略比較粗糙，沒有考慮選民的權重:
/**
* 為使用者 $uid 產生至多 $numberOfVoter * $numberOfVote 個推薦產品
* @var int $uid user id
* @var int $numberOfVoter 選民數
* @var int $numberOfVote 每個選民的票數
* @return array
*/
public function vote($uid, $numberOfVoter, $numberOfVote) : array
{
$likes = $this->userLikes($uid, $numberOfVoter);
$ps = [];
foreach ($likes as $id) {
$fps = $this->getUserFavouriteProducts($id, $numberOfVote);
$ps = array_merge($ps, $fps);
}
$ps = array_unique($ps);
// 推薦產品沒有必要儲存到檔案
$key = $this->getCacheKey("user_recommender_products");
Cache::forever("$key.$uid", $ps);
return $ps;
}以下 artisan 命令類，顯示了訓練的步驟:
<?php
namespace App\Console\Commands;
use Illuminate\Console\Command;
use App\Tools\RecommenderSystem as RS;
use Cache;
class RecommenderSystem extends Command
{
protected $signature = 'resys:train {--D|datadir= : where to save data, default is cache} {--K|chunk=1 : number of users chunk} {--U|vu=10 : number of voter} {--N|vn=10 : number of votes}';
protected $description = 'recommender system';
public function __construct()
{
parent::__construct();
}
public function handle() : void
{
$k= intval($this->option("chunk"));
$vu = intval($this->option("vu"));
$vn = intval($this->option("vn"));
$dir = $this->hasOption("datadir") ? $this->option("datadir") : null;
$rs = new RS($k, $dir);
// 1. 得到使用者評分矩陣, O(n^2)
$this->info("1. Compute user rating:");
foreach ($rs->getRatingVectors() as $rv) {
$bar1 = $bar1 ?? $this->output->createProgressBar($rv[1]);
$bar1->setProgress($rv[0]);
}
$bar1->finish();
$this->line("");
// 2. 計算使用者相似度矩陣, O(n^3)
$this->info("2. Compute user similarity:");
$bar2 = $this->output->createProgressBar($k);
foreach ($rs->getSimilarityMatrix() as $sm) {
$bar2->setProgress($sm[0]);
}
$bar2->finish();
$this->line("");
// 3. 投票決定為每一個使用者推薦的產品, O(n)
$this->info("3. vote:");
$users = $rs->getMap()["users"];
$bar3 = $this->output->createProgressBar(count($users));
foreach ($users as $id) {
$rs->vote($id, $vu, $vn);
$bar3->advance();
}
$bar3->finish();
$this->line("");
// 4. 清除中間資料
$this->info("4. clear cache:");
foreach ($rs->clearCache() as $arr) {
$bar4 = $bar4 ?? $this->output->createProgressBar($arr[1]);
$bar4->setProgress($arr[0]);
}
$this->info("\nTrain done");
}
}執行效果如下:
xl@xl:~/apps/blog$ ll storage/rsdata/
total 8
drwxrwxr-x 2 xl xl 4096 Nov 17 13:28 ./
drwxr-xr-x 6 xl xl 4096 Nov 15 16:02 ../
xl@xl:~/apps/blog$ redis-cli
127.0.0.1:6379> SELECT 1
OK
127.0.0.1:6379[1]> FLUSHALL
OK
127.0.0.1:6379[1]> exit
xl@xl:~/apps/blog$ time ./artisan resys:train -D storage/rsdata/ -K 4 -U 5 -N 5
1. Compute user rating:
2099/2099 [▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓] 100%
2. Compute user similarity:
4/4 [▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓] 100%
3. vote:
2099/2099 [▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓] 100%
4. clear cache:
4/4 [▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓] 100%
Train done
real 0m42.890s
user 0m23.208s
sys 0m2.285s
xl@xl:~/apps/blog$ ls -lh storage/rsdata/
total 668K
-rw-rw-r-- 1 xl xl 35K Nov 17 13:30 rs.map.json
-rw-rw-r-- 1 xl xl 632K Nov 17 13:30 rs.user_rating.csv
xl@xl:~/apps/blog$ redis-cli
127.0.0.1:6379> SELECT 1
OK
127.0.0.1:6379[1]> KEYS *
1) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.705"
2) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.2957"
3) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.1697"
4) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.1625"
5) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.2844"
6) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.637"
7) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.1275"
8) "laravel_cache:rs.user_recommender_products.2049"
127.0.0.1:6379[1]> get laravel_cache:rs.user_recommender_products.1060
"a:3:{i:0;i:9;i:1;i:1;i:2;i:10;}"訓練完成後，快取中以 xxx.$user_id 儲存著推薦產品 id 組成的陣列。
尚待優化
- 未實現冷啟動，就是說，不存在互動行為的使用者不會產生推薦值，不存在互動的產品不會被推薦;
- 總認為呼叫者的引數是合理的，不會對其做判斷;
- 總認為檔案系統是穩定可靠的，讀寫檔案不做檢測;
- 構造評分矩陣的過程中，一次只讀一個使用者的歷史行為，資料庫查詢次數可能很多;
- 推薦產品的數量並不保證下限，因為實際中評分矩陣往往是非常稀疏的，過小的引數可能會導致推薦產品數量非常少;
- …
svd 與相似度矩陣
因為求相似度矩陣，其實就是求矩陣 BB' ，自然考慮使用 svd , [u, s, v] = svd(A) , u 就是 AA' 的特徵矩陣， 而 u 本身是規範正交的 ， 使用 svd 可以省去單位化的步驟， 這麼做的問題在於丟掉了產品 id 和索引之間的對映，尚未想到如何解決。
程式碼下載
src/app/Tools/RecommenderSystem.php, 訓練類src/app/Console/Commands/RecommenderSystem.php, artisan 命令類