題意
給定一個字串 \(s\)。
設一個字串 \(t\) 是好的，當且僅當不存在一個 \(\text{Period}\) 能整除 \(|t|\)。
求最小的劃分段數使得每段都是好的，及最小的劃分段數的方案數。
Sol
考慮兩種特殊情況：
- \(s\) 有長度為 \(1\) 的 \(\text{Period}\)。
- \(s\) 本身就是好串。
前者答案顯然為 \((n, 1)\)，後者答案為 \((1, 1)\)。
集中注意力，不難想到一個結論：
最小的劃分段數只會為 \(2\)。
顯然可以考慮對於某個不好的串，可以考慮將她的最後一個字母割開。
注意到對於後面的這個串，我們一定可以找到某一個字尾串，可以使得她是好的串。
否則若 \(s\) 的所有字尾都是不好的串，那麼 \(s\) 顯然存在長度為 \(1\) 的 \(\text{Period}\)。
因此，證明該結論即證：對於所有的 \(s'\) 與 \(s' + c\) (\(c\) 為一個字元)，兩者不可能同為好串。
其實這個結論非常好證明。
首先，根據 \(\text{Periodicity Lemma}\) 可知：
若一個串有 \(\text{Period}\) \(p, q\)，且 \(p + q \le |S| + \gcd(p, q)\)，則 \(\gcd(p, q)\) 為該串的一個 \(\text{Period}\)。
顯然，對於 \(s'\) 的整除 \(|s'|\) 的 \(\text{Period}\) \(x\)，與 \(s' + c\) 的 \(\text{Period}\) \(y\)。
\(x \le \frac{|s'|}{2}\)，\(y \le \frac{|s'| + 1}{2}\)，所以 \(x + y \le |S| + \gcd(x, y)\)。
又因為 \(x\) 為 \(s'\) 的一個 \(\text{Period}\)，所以 \(\gcd(x, y)\) 為 \(s'\) 的一個 \(\text{Period}\)。
顯然 \(\gcd(x, y)\) 只能為 \(1\)。
對於長度為 \(1\) 的 \(\text{Period}\)，已經被我們判過了。
所以結論成立。
對於第二問，考慮列舉每一個分割點，判斷前後兩段是否為好串即可。
根據 \(\text{Periodicity Lemma}\) 可知，直接判斷最小 \(\text{Period}\) 是否整除即可。