隨機概率相關的面試題

1. 已知有個rand7()的函式，返回1到7隨機自然數，讓利用這個rand7()構造rand10() 隨機1~10。
只呼叫一次rand7()肯定無法達到目的。我們呼叫兩次rand7()，這樣我們可以隨機的得到1~49中的一個數，為什麼呢？
我們將49分成7段，1~7,8~14,15~21,22~28,29~35,36~42,43~49，第一次rand7()隨機選擇其中一段，第二次rand7()，隨機選擇段內的一個數，這樣我們得到的1~49中的數都是等概率的。
然後我們想辦法將1~49對映到1~10，顯然無法直接對映，我們只取1~40，對於41~49我們拋棄，這樣並沒有影響其隨機特性，因為1~40中的每一個數都是等概率出現的。
然後（1~4）→1，（5~8）→2，……。這樣就完成了rand10的功能。

int rand10()
{
	int x;
	do
	{
		x = (rand7()-1)*7+rand7();
	}while(x > 40)
	return (x-1)%4+1;
}

2. 有一個隨機生成器randA()，以p的概率返回0，1-p的概率返回1，利用這個randA()構造randB()，使randB()等概率的返回0和1，即0.5的概率返回0，0.5的概率返回1。
只呼叫一次randA()，我們也無法實現randB()，所以也要呼叫兩次。
呼叫兩次共有4種結果，得到00，概率為p*p；得到01，概率為p*(1-p)；得到10，概率為(1-p)*p；得到11，概率為(1-p)*(1-p)。
容易發現有兩種情形概率相等，01和10，那麼我們可以把這兩種情況對映為返回0或1，如果得到的是其它兩種情況，那麼我們就繼續再呼叫兩次randA()；

int randB()
{
	int x1, x2;
	do
	{
		x1 = randA();
		x2 = randA();
	}while(x1+x2 != 1)
	return x1;
}

3. 程式的輸入包含兩個整數m和n，其中m<n。輸出是0~n-1範圍內m個隨機整數的有序列表，不允許重複。從概率的角度來說，我們希望得到沒有重複的選擇，其中每個選擇出現的概率相等。

void generate(int m,int n)
{
	int t = m;
	for(int i = 0; i < n; i++)
		if(Rand(0,n-1-i) < t) //即以t/(n-i)的概率執行下面的語句
		{
			printf("%d\n",i);
			t--;
		}
}

其中，Rand(a,b)隨機產生[a,b]範圍內的一個整數。
上述演算法源自Knuth的《計算機程式設計藝術 第2卷 半數值演算法》。Knuth 給出了概率上的證明，每個數選中的概率都是m/n，而且恰好選中m個數。

簡單驗證一下：

第0個數，被選中的概率是；

第1個數，被選中的概率是；

第2個數，被選中的概率是；

4. 給出一個n個元素的陣列，對所有元素隨機中排，也就是說，n！種可能的元素排列中隨機選出一種。

void random_shuffle(int A[], int n)
{
	for(int i = n-1; i > 0; i--)
	{
		swap(a[i], a[Rand(0, i)]);//即隨機選擇0~i中的一個元素
	}
}

其中，Rand(a,b)隨機產生[a,b]範圍內的一個整數。
簡單驗證一下，詳細證明請參考Knuth的《計算機程式設計藝術 第2卷 半數值演算法》。
當對於第n-1個位置，swap(a[n-1], a[Rand(0, n-1)])，使得每一個元素出現在位置n-1的概率都是1/n；
再考慮第n-2個位置，每個元素出現在第n-2個位置上的概率是(n-1)/n * 1/(n-1) = 1/n，即在第n-1個位置沒有被選中，然後在第n-2個位置被選中；
再考慮第n-3個位置，每個元素出現在第n-3個位置上的概率是(n-1)/n * (n-2)/(n-1) * 1/(n-2) = 1/n，在第n-1和第n-2個位置都沒有被選中，然後在第n-3個位置被選中。
。。。