計量經濟學複習筆記（1）

DoraegonX發表於2015-12-27
原文網址 : https://blog.csdn.net/u013240022/article/details/50414773
筆記

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首先我們首先要明白幾個公式
假設A和B均為獨立變數則有

E(X+Y)=E(X)+E(Y) 
E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(nX)=nE(X) 
E(nX) = nE(X)

D(X+Y)=D(X)+(Y) 
D(X+Y)=D(X)+(Y)

D(nX)=n 2 D(X) 
D(nX) = n^2 D(X)

D(X)=EX 2 −(EX) 2  
D(X) = EX^2-(EX)^2

這是最基本的
之後是幾個常見的統計分佈

一）正態分佈

正態分佈是最常見的分佈
其概率密度公式為

f(x)=12πσ 2  − − − −  √  exp(−(x−μ) 2 2σ 2  ) 
f(x) = \frac{1}{\sqrt{ 2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2})

計作x∼N(μ,σ) 
x\sim N(\mu,\sigma)
即x服從期望為μ 
\mu
,方差為σ 
\sigma
的分佈
其中exp(x)=e x  
\exp(x) = e^x

其計算則是根據poisson積分
∫ +∞ −∞ e −x 2  dx=π  √  
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt\pi
可以推出其概率分佈函式計作Φ(x) 
\Phi(x)
且Φ(x)| +∞ −∞ =1 
\Phi(x)|_{-\infty}^{+\infty} = 1

以上都是扯淡—————————————-
最重要的是 :我們將期望μ=0 

\mu= 0
方差σ=1 
\sigma= 1
的分佈記為標準正態分佈
關鍵!!!@!@

X−μσ ∼N(0,1) 
\frac{X- \mu }{\sigma} \sim N(0,1)

二）χ 2  
\chi ^2
分佈

χ 2  

\chi^2
分佈是由正態分佈而來，首要定義是：假設X i  
X_i
(i = 1,2,3…n)滿足期望為0，方差為σ 
\sigma
的正態分佈， 即X i ∼N(μ,σ) 
X_i \sim N(\mu,\sigma)
,
則我們稱∑ n i=1 X 2 i  
\sum_{i=1}^n X_i^2
服從自由度為n的χ 2  
\chi^2
分佈記作：

∑ i=1 n Xi 2 ∼χ 2 (n) 
\sum_{i=1}^n Xi^2 \sim\chi^2(n)

χ 2  
\chi^2
分佈期望為n,方差為2n

三)T分佈
根據以上兩個分佈,又推出一個新的分佈如果有Z 1 ∼N(0,1) 

Z_1 \sim N(0,1)
, Z 2 ∼χ 2 (k) 
Z_2\sim\chi^2(k)
則有

t=Z 1 Z 2 /k − − − −  √   
t= \frac{Z_1}{\sqrt{Z_2/k}}
服從自由度為k的T分佈
書上記為t k  
t_k

T分佈均值為0， 方差為kk−2  

\frac{k}{k-2}

四）F分佈
如果有 Z 1 ∼χ 2 (n),Z 2 ∼χ2(k) 
Z_1\sim \chi^2 (n), Z_2 \sim \chi2(k)
，則有

Z=Z 1 /k 1 Z 2 /k  
Z = \frac{Z_1 /k_1}{Z_2/k}
服從第一自由度為n，第二自由度為k的F分佈
記作
Z∼F(k 1 ,k 2 ) 
Z\sim F(k_1,k_2)

**F分佈均值為k 2 k 2 −2 ,k 2 >2 
\frac{k_2}{k_2-2},k_2\gt 2

同時t 2 k =F 1,k  
t_k^2 = F_{1,k}

然後是樣本均值和樣本方差

樣本均值我們記作X ¯ =1n ∑ n i=0 X i  

\bar X = \frac {1}{n}\sum_{i = 0}^n X_i
值得注意的是，這裡的每個X i  
X_i
均為獨立變數。
然後我們就有E(X ¯ )=E(X)=μ 
E(\bar X) = E(X) = \mu

還有一個令人比較困惑的是樣本方差的問題
我們假定在估計一個統計分佈時，我們已經得知了其分佈期望為μ 
\mu

則易得

1n E(∑ i=1 n (X i −μ) 2 )=σ 2  
\frac{1}{n}E(\sum_{i = 1}^n \left(X_i - \mu)^2\right) = \sigma^2

我們由之前的定義計算樣本方差時有
E(∑ i=1 n (X i −X ¯ ) 2 )=E(∑ i=1 n (X i −μ+μ−X ¯ ) 2 )=E(∑ i=1 n ((X i −μ)−(X ¯ −μ)) 2 )=E(∑ i=1 n ((X i −μ) 2 −2(X i −μ)(X ¯ −μ）+(X ¯ −μ) 2 )) 
E\left(\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right)=E\left(\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\mu + \mu-\bar X)^2\right)=E\left(\sum_{i = 1}^{n}\left((X_i-\mu )-(\bar X -\mu )\right)^2\right)=E\left(\sum_{i = 1}^{n}((X_i-\mu)^2-2(X_i-\mu) (\bar X - \mu）+(\bar X-\mu)^2)\right)

所以該式拆分得
E(∑ i=1 n (X i −μ) 2 )−E((X ¯ −μ)∑ i=1 n 2（X i −μ))+E(∑ i=1 n (X ¯ −μ) 2 ) 
E(\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\mu)^2)-E\left((\bar X-\mu)\sum_{i = 1}^{n}2（X_i-\mu)\right)+E(\sum_{i = 1}^{n}(\bar X- \mu)^2)
=E(∑ i=1 n (X i −μ) 2 )−E((X ¯ −μ)∑ i=1 n 2（X ¯ −μ))+E(∑ i=1 n (X ¯ −μ) 2 ) 
=E(\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\mu)^2)-E\left((\bar X-\mu)\sum_{i = 1}^{n}2（\bar X-\mu)\right)+E(\sum_{i = 1}^{n}(\bar X- \mu)^2)
=nVar(X)−2nVar(X ¯ )+nVar(X ¯ ) 
=nVar(X)-2nVar(\bar X) + nVar(\bar X)
=nVar(X)−nVar(X ¯ ) 
=nVar(X)-nVar(\bar X)

由於 Var(X ¯ )=1n Var(X) 
Var(\bar X) = \frac {1}{n}Var(X)
所以有

E(∑ i=1 n (X i −X ¯ ) 2 )=nVar(X)−nVar(X ¯ )=(n−1)σ 2  
E\left(\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right) = nVar(X)-nVar(\bar X) = (n-1)\sigma^2

因此我們必須使用
S 2 =1n−1 ∑ i=1 n (X i −X ¯ ) 2  
S^2 = \frac {1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2
來估計無偏估計量
PS：所以呢，當我們知道分佈期望μ 
\mu
時，S 0 =1n ∑ n i=1 (X i −μ) 2  
S_0=\frac {1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2
才是無偏估計，因為μ 
\mu
是一個定值， 而X ¯ 只是在本次取樣中是一個定值 
\bar X 只是在本次取樣中是一個定值

To be continue…

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