卷積為什麼如此強大？一文全解深度學習中的卷積

作者：Tim Dettmers（Understanding Convolution in Deep Learning）

原文地址： http://www.yangqiu.cn/aicapital/2382000.html

有太多的公開課、教程在反覆傳頌卷積神經網路的好，卻都沒有講什麼是“卷積”，似乎預設所有讀者都有相關基礎。這篇外文既友好又深入，所以翻譯了過來。文章高階部分通過流體力學量子力學等解釋卷積的做法在我看來有點激進，這些領域恐怕比卷積更深奧，所以只需簡略看看即可。

卷積現在可能是深度學習中最重要的概念。正是靠著卷積和卷積神經網路，深度學習才超越了幾乎其他所有的機器學習手段。但卷積為什麼如此強大？它的原理是什麼？在這篇部落格中我將講解卷積及相關概念，幫助你徹底地理解它。

網路上已經有不少部落格講解卷積和深度學習中的卷積，但我發現它們都一上來就加入了太多不必要的數學細節，艱深晦澀，不利於理解主旨。這篇部落格雖然也有很多數學細節，但我會以視覺化的方式一步步展示它們，確保每個人都可以理解。文章第一部分旨在幫助讀者理解卷積的概念和深度學習中的卷積網路。第二部分引入了一些高階的概念，旨在幫助深度學習方向的研究者和高階玩家進一步加深對卷積的理解。

第一部分：什麼是卷積

整篇部落格都會探討這個問題，但先把握行文脈絡會很有幫助。那麼粗略來講，什麼是卷積呢？你可以把卷積想象成一種混合資訊的手段。想象一下裝滿資訊的兩個桶，我們把它們倒入一個桶中並且通過某種規則攪拌攪拌。也就是說卷積是一種混合兩種資訊的流程。

卷積也可以形式化地描述，事實上，它就是一種數學運算，跟減加乘除沒有本質的區別。雖然這種運算本身很複雜，但它非常有助於簡化更復雜的表示式。在物理和工程上，卷積被廣泛地用於化簡等式——等會兒簡單地形式化描述卷積之後——我們將把這些領域的思想和深度學習聯絡起來，以加深對卷積的理解。但現在我們先從實用的角度理解卷積。

我們如何對影象應用卷積

當我們在影象上應用卷積時，我們在兩個維度上執行卷積——水平和豎直方向。我們混合兩桶資訊：第一桶是輸入的影象，由三個矩陣構成——RGB三通道，其中每個元素都是0到255之間的一個整數。第二個桶是卷積核（kernel），單個浮點數矩陣。可以將卷積核的大小和模式想象成一個攪拌影象的方法。卷積核的輸出是一幅修改後的影象，在深度學習中經常被稱作feature map。對每個顏色通道都有一個feature map。

邊緣檢測卷積核的效果

這是怎麼做到的呢，我們現在演示一下如何通過卷積來混合這兩種資訊。一種方法是從輸入圖片中取出一個與卷積核大小相同的區塊——這裡假設圖片為100×100100×100，卷積核大小為3×33×3，那麼我們取出的區塊大小就是3×33×3——然後對每對相同位置的元素執行乘法後求和（不同於矩陣乘法，卻類似向量內積，這裡是兩個相同大小的矩陣的“點乘”）。乘積的和就生成了feature map中的一個畫素。當一個畫素計算完畢後，移動一個畫素取下一個區塊執行相同的運算。當無法再移動取得新區塊的時候對feature map的計算就結束了。這個流程可以用如下的動畫演示：

RAM是輸入圖片，Buffer是feature map

你可能注意到這裡有個正規化因子m，這裡m的值為kernel的大小9；這是為了保證輸入影象和feature map的亮度相同。

為什麼機器學習中影象卷積有用

影象中可能含有很多我們不關心的噪音。一個好例子是我和Jannek Thomas在Burda Bootcamp做的專案。Burda Bootcamp是一個讓學生像黑客馬拉松一樣在非常短的時間內創造技術風暴的實驗室。與9名同事一起，我們在2個月內做了11個產品出來。其中之一是針對時尚影象用深度編碼器做的搜尋引擎：你上傳一幅時尚服飾的圖片，編碼器自動找出款式類似的服飾。

如果你想要區分衣服的式樣，那麼衣服的顏色就不那麼重要了；另外像商標之類的細節也不那麼重要。最重要的可能是衣服的外形。一般來講，女裝襯衫的形狀與襯衣、夾克和褲子的外觀非常不同。如果我們過濾掉這些多餘的噪音，那我們的演算法就不會因顏色、商標之類的細節分心了。我們可以通過卷積輕鬆地實現這項處理。

我的同事Jannek Thomas通過索貝爾邊緣檢測濾波器（與上上一幅圖類似）去掉了影象中除了邊緣之外的所有資訊——這也是為什麼卷積應用經常被稱作濾波而卷積核經常被稱作濾波器（更準確的定義在下面）的原因。由邊緣檢測濾波器生成的feature map對區分衣服型別非常有用，因為只有外形資訊被保留下來。

彩圖的左上角是搜尋query，其他是搜尋結果，你會發現自動編碼器真的只關注衣服的外形，而不是顏色。

再進一步：有許多不同的核可以產生多種feature map，比如銳化影象（強調細節），或者模糊影象（減少細節），並且每個feature map都可能幫助演算法做出決策（一些細節，比如衣服上有3個鈕釦而不是兩個，可能可以區分一些服飾）。

使用這種手段——讀入輸入、變換輸入、然後把feature map餵給某個演算法——被稱為特徵工程。特徵工程非常難，很少有資料幫你上手。造成的結果是，很少有人能熟練地在多個領域應用特徵工程。特徵工程是——純手工——也是Kaggle比賽中最重要的技能。特徵工程這麼難的原因是，對每種資料每種問題，有用的特徵都是不同的：影象類任務的特徵可能對時序類任務不起作用；即使兩個任務都是影象類的，也很難找出相同的有效特徵，因為視待識別的物體的不同，有用的特徵也不同。這非常依賴經驗。

所以特徵工程對新手來講特別困難。不過對影象而言，是否可以利用卷積核自動找出某個任務中最適合的特徵？

進入卷積神經網路

卷積神經網路就是幹這個的。不同於剛才使用固定數字的卷積核，我們賦予引數給這些核，引數將在資料上得到訓練。隨著卷積神經網路的訓練，這些卷積核為了得到有用資訊，在影象或feature map上的過濾工作會變得越來越好。這個過程是自動的，稱作特徵學習。特徵學習自動適配新的任務：我們只需在新資料上訓練一下自動找出新的過濾器就行了。這是卷積神經網路如此強大的原因——不需要繁重的特徵工程了！

通常卷積神經網路並不學習單一的核，而是同時學習多層級的多個核。比如一個32x16x16的核用到256×256的影象上去會產生32個241×241（）的feature map。所以自動地得到了32個有用的新特徵。這些特徵可以作為下個核的輸入。一旦學習到了多級特徵，我們簡單地將它們傳給一個全連線的簡單的神經網路，由它完成分類。這就是在概念上理解卷積神經網路所需的全部知識了（池化也是個重要的主題，但還是在另一篇部落格中講吧）。

第二部分：高階概念

我們現在對卷積有了一個良好的初步認識，也知道了卷積神經網路在幹什麼、為什麼它如此強大。現在讓我們深入瞭解一下卷積運算中到底發生了什麼。我們將認識到剛才對卷積的講解是粗淺的，並且這裡有更優雅的解釋。通過深入理解，我們可以理解卷積的本質並將其應用到許多不同的資料上去。萬事開頭難，第一步是理解卷積原理。

卷積定理

要理解卷積，不得不提convolution theorem，它將時域和空域上的複雜卷積對應到了頻域中的元素間簡單的乘積。這個定理非常強大，在許多科學領域中得到了廣泛應用。卷積定理也是快速傅立葉變換演算法被稱為20世紀最重要的演算法之一的一個原因。

第一個等式是一維連續域上兩個連續函式的卷積；第二個等式是二維離散域（影象）上的卷積。這裡指的是卷積，指的是傅立葉變換，表示傅立葉逆變換，是一個正規化常量。這裡的“離散”指的是資料由有限個變數構成（畫素）；一維指的是資料是一維的（時間），影象則是二維的，視訊則是三維的。

為了更好地理解卷積定理，我們還需要理解數字影象處理中的傅立葉變換。

快速傅立葉變換

快速傅立葉變換是一種將時域和空域中的資料轉換到頻域上去的演算法。傅立葉變換用一些正弦和餘弦波的和來表示原函式。必須注意的是，傅立葉變換一般涉及到複數，也就是說一個實數被變換為一個具有實部和虛部的複數。通常虛部只在一部分領域有用，比如將頻域變換回到時域和空域上；而在這篇部落格裡會被忽略掉。你可以在下面看到一個訊號（一個以時間為引數的有周期的函式通常稱為訊號）是如何被傅立葉變換的：

紅色是時域，藍色為頻域

你也許會說從沒見過這些東西，但我敢肯定你在生活中是見過的：如果紅色是一首音樂的話，那麼藍色值就是你在你的MP3播放器螢幕上看到的頻譜：

傅立葉域上的影象

我們如何想象圖片的頻率呢？想象一張只有兩種模式的紙片，現在把紙片豎起來順著線條的方向看過去，就會看到一個一個的亮點。這些以一定間隔分割黑白部分的波就代表著頻率。在頻域中，低頻率更接近中央而高頻率更接近邊緣。頻域中高強度（亮度、白色）的位置代表著原始影象亮度改變的方向。這一點在接下來這張圖與其對數傅立葉變換（對傅立葉變換的實部取對數，這樣可以減小畫素亮度的差別，便於觀察更廣的亮度區域）中特別明顯：

我們馬上就可以發現傅立葉變換包含了關於物體朝向的資訊。如果物體被旋轉了一個角度，從影象畫素上可能很難判斷，但從頻域上可以很明顯地看出來。

這是個很重要的啟發，基於傅立葉定理，我們知道卷積神經網路在頻域上檢測影象並且捕捉到了物體的方向資訊。於是卷積神經網路就比傳統演算法更擅長處理旋轉後的影象（雖然還是比不上人類）。

頻率過濾與卷積

為什麼卷積經常被描述為過濾，為什麼卷積核經常被稱為過濾器呢？通過下一個例子可以解釋：

如果我們對影象執行傅立葉變換，並且乘以一個圓形（背景填充黑色，也就是0），我們可以過濾掉所有的高頻值（它們會成為0，因為填充是0）。注意過濾後的影象依然有條紋模式，但影象質量下降了很多——這就是jpeg壓縮演算法的工作原理（雖然有些不同但用了類似的變換），我們變換圖形，然後只保留部分頻率，最後將其逆變換為二維圖片；壓縮率就是黑色背景與圓圈的比率。

我們現在將圓圈想象為一個卷積核，然後就有了完整的卷積過程——就像在卷積神經網路中看到的那樣。要穩定快速地執行傅立葉變換還需要許多技巧，但這就是基本理念了。

現在我們已經理解了卷積定理和傅立葉變換，我們可以將這些理念應用到其他科學領域，以加強我們對深度學習中的卷積的理解。

流體力學的啟發

流體力學為空氣和水建立了大量的微分方程模型，傅立葉變換不但簡化了卷積，也簡化了微分，或者說任何利用了微分方程的領域。有時候得到解析解的唯一方法就是對微分方程左右同時執行傅立葉變換。在這個過程中，我們常常將解寫成兩個函式卷積的形式，以得到更簡單的表達。這是在一個維度上的應用，還有在兩個維度上的應用，比如天文學。

擴散

你可以混合兩種液體（牛奶和咖啡），只要施加一個外力（湯勺攪拌）——這被稱為對流，而且是個很快的過程。你也可以耐心等待兩種液體自然混合——這被稱為擴散，通常是很慢的過程。

想象一下，一個魚缸被一塊板子隔開，兩邊各有不同濃度的鹽水。抽掉板子後，兩邊的鹽水會逐步混合為同一個濃度。濃度差越大，這個過程越劇烈。

現在想象一下，一個魚缸被 256×256 個板子分割為 256×256 個部分（這個數字似乎不對），每個部分都有不同濃度的鹽水。如果你去掉所有的擋板，濃度類似的小塊間將不會有多少擴散，但濃度差異大的區塊間有巨大的擴散。這些小塊就是畫素點，而濃度就是畫素的亮度。濃度的擴散就是畫素亮度的擴散。

這說明，擴散現象與卷積有相似點——初始狀態下不同濃度的液體，或不同強度的畫素。為了完成下一步的解釋，我們還需要理解傳播子。

理解傳播子

傳播子就是密度函式，表示流體微粒應該往哪個方向傳播。問題是神經網路中沒有這樣的概率函式，只有一個卷積核——我們要如何統一這兩種概念呢？

我們可以通過正規化來講卷積核轉化為概率密度函式。這有點像計算輸出值的softmax。下面就是對第一個例子中的卷積核執行的softmax結果：

現在我們就可以從擴散的角度來理解影象上的卷積了。我們可以把卷積理解為兩個擴散流程。首先，當畫素亮度改變時（黑色到白色等）會發生擴散；然後某個區域的擴散滿足卷積核對應的概率分佈。這意味著卷積核正在處理的區域中的畫素點必須按照這些概率來擴散。

在上面那個邊緣檢測器中，幾乎所有臨近邊緣的資訊都會聚集到邊緣上（這在流體擴散中是不可能的，但這裡的解釋在數學上是成立的）。比如說所有低於0.0001的畫素都非常可能流動到中間並累加起來。與周圍畫素區別最大的區域會成為強度的集中地，因為擴散最劇烈。反過來說，強度最集中的地方說明與周圍對比最強烈，這也就是物體的邊緣所在，這解釋了為什麼這個核是一個邊緣檢測器。

所以我們就得到了物理解釋：卷積是資訊的擴散。我們可以直接把這種解釋運用到其他核上去，有時候我們需要先執行一個softmax正規化才能解釋，但一般來講核中的數字已經足夠說明它想要幹什麼。比如說，你是否能推斷下面這個核的的意圖？

等等，有點迷惑

對一個概率化的卷積核，怎麼會有確定的功能？我們必須根據核對應的概率分佈也就是傳播子來計算單個粒子的擴散不是嗎？

是的，確實如此。但是，如果你取一小部分液體，比如一滴水，你仍然有幾百萬水分子。雖然單個分子的隨機移動滿足傳播子，但大量的分子巨集觀上的表現是基本確定的。這是統計學上的解釋，也是流體力學的解釋。我們可以把傳播子的概率分佈解釋為資訊或說畫素亮度的平均分佈；也就是說我們的解釋從流體力學的角度來講是沒問題的。話說回來，這裡還有一個卷積的隨機解釋。

量子力學的啟發

傳播子是量子力學中的重要概念。在量子力學中，一個微粒可能處於一種疊加態，此時它有兩個或兩個以上屬性使其無法確定位於觀測世界中的具體位置。比如，一個微粒可能同時存在於兩個不同的位置。

但是如果你測量微粒的狀態——比如說現在微粒在哪裡——它就只能存在於一個具體位置了。換句話說，你通過觀測破壞了微粒的疊加態。傳播子就描述了微粒出現位置的概率分佈。比如說在測量後一個微粒可能——根據傳播子的概率函式——30%在A，70%在B。

通過量子糾纏，幾個粒子就可以同時儲存上百或上百萬個狀態——這就是量子計算機的威力。

如果我們將這種解釋用於深度學習，我們可以把圖片想象為位於疊加態，於是在每個3*3的區塊中，每個畫素同時出現在9個位置。一旦我們應用了卷積，我們就執行了一次觀測，然後每個畫素就坍縮到滿足概率分佈的單個位置上了，並且得到的單個畫素是所有畫素的平均值。為了使這種解釋成立，必須保證卷積是隨機過程。這意味著，同一個圖片同一個卷積核會產生不同的結果。這種解釋沒有顯式地把誰比作誰，但可能啟發你如何把卷積用成隨機過程，或如何發明量子計算機上的卷積網路演算法。量子演算法能夠線上性時間內計算出卷積核描述的所有可能的狀態組合。

概率論的啟發

卷積與互相關緊密相連。互相關是一種衡量小段資訊（幾秒鐘的音樂片段）與大段資訊（整首音樂）之間相似度的一種手段（youtube使用了類似的技術檢測侵權視訊）。

雖然互相關的公式看起來很難，但通過如下手段我們可以馬上看到它與深度學習的聯絡。在圖片搜尋中，我們簡單地將query圖片上下顛倒作為核然後通過卷積進行互相關檢驗，結果會得到一張有一個或多個亮點的圖片，亮點所在的位置就是人臉所在的位置。

這個例子也展示了通過補零來使傅立葉變換穩定的一種技巧，許多版本的傅立葉變換都使用了這種技巧。另外還有使用了其他padding技巧：比如平鋪核，分治等等。我不會展開講，關於傅立葉變換的文獻太多了，裡面的技巧特別多——特別是對影象來講。

在更底層，卷積網路第一層不會執行互相關校驗，因為第一層執行的是邊緣檢測。後面的層得到的都是更抽象的特徵，就有可能執行互相關了。可以想象這些亮點畫素會傳遞給檢測人臉的單元（Google Brain專案的網路結構中有一些單元專門識別人臉、貓等等；也許用的是互相關？）

統計學的啟發

統計模型和機器學習模型的區別是什麼？統計模型只關心很少的、可以解釋的變數。它們的目的經常是回答問題：藥品A比藥品B好嗎？

機器學習模型是專注於預測效果的：對於年齡X的人群，藥品A比B的治癒率高17%，對年齡Y則是23%。

機器學習模型通常比統計模型更擅長預測，但它們不是那麼可信。統計模型更擅長得到準確可信的結果：就算藥品A比B好17%，我們也不知道這是不是偶然，我們需要統計模型來判斷。

對時序資料，有兩種重要的模型：weighted moving average 和autoregressive模型，後者可歸入ARIMA model (autoregressive integrated moving average model)。比起LSTM，ARIMA很弱。但在低維度資料（1-5維）上，ARIMA非常健壯。雖然它們有點難以解釋，但ARIMA絕不是像深度學習演算法那樣的黑盒子。如果你需要一個可信的模型，這是個巨大的優勢。

我們可以將這些統計模型寫成卷積的形式，然後深度學習中的卷積就可以解釋為產生區域性ARIMA特徵的函式了。這兩種形式並不完全重合，使用需謹慎。

C是一個以核為引數的函式，white noise是正規化的均值為0方差為1的互不相關的資料。

當我們預處理資料的時候，經常將資料處理為類似white noise的形式：將資料移動到均值為0，將方差調整為1。我們很少去除資料的相關性，因為計算複雜度高。但是在概念上是很簡單的，我們旋轉座標軸以重合資料的特徵向量：

現在如果我們將C作為bias，我們就會覺得這與卷積神經網路很像。所以卷積層的輸出可被解釋為白噪音資料經過autoregressive model的輸出。

weighted moving average的解釋更簡單：就是輸入資料與某個固定的核的卷積。看看下面的高斯平滑核就會明白這個解釋。高斯平滑核可以被看做每個畫素與其鄰居的平均，或者說每個畫素被其鄰居平均（邊緣模糊）。

斯平滑核問題的答案

雖然單個核無法同時建立autoregressive 和 weighted moving average 特徵，但我們可以使用多個核來產生不同的特徵。

總結

這篇部落格中我們知道了卷積是什麼、為什麼在深度學習中這麼有用。圖片區塊的解釋很容易理解和計算，但有其理論侷限性。我們通過學習傅立葉變換知道傅立葉變換後的時域上有很多關於物體朝向的資訊。通過強大的卷積定理我們理解了卷積是一種在畫素間的資訊流動。之後我們擴充了量子力學中傳播子的概念，得到了一個確定過程中的隨機解釋。我們展示了互相關與卷積的相似性，並且卷積網路的效能可能是基於feature map間的互相關程度的，互相關程度是通過卷積校驗的。最後我們將卷積與兩種統計模型關聯了起來。

個人來講，我覺得寫這篇部落格很有趣。曾經很長一段時間我都覺得本科的數學和統計課是浪費時間，因為它們太不實用了（哪怕是應用數學）。但之後——就像突然中大獎一樣——這些知識都相互串起來了並且帶了新的理解。我覺得這是個絕妙的例子，啟示我們應該耐心地學習所有的大學課程——哪怕它們一開始看起來沒有用。