【康擴充開】及其在求全排列第k個數中的應用

Avril發表於2013-08-26

題目：給出n個互不相同的字元, 並給定它們的相對大小順序,這樣n個字元的所有排列也會有一個順序. 現在任給一個排列,求出在它後面的第i個排列.
這是一個典型的康擴充開應用，首先我們先闡述一下什麼是康擴充開。

（1）康擴充開

　　所謂康擴充開是指把一個整數X展開成如下形式：

　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。（其中，a為整數，並且0<=a[i]<i(1<=i<=n)）

（2）應用例項

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按從小到大排列一共6個：123 132 213 231 312 321。他們間的對應關係可由康託展開來找到。

　　1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個大的數：
　　第一位是1小於1的數沒有，是0個 0*3! ；
　　第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，即1未出現在前面的低位當中，所以只有一個數2 1*2! ；
　　第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，即1未出現在前面的低位當中，所以有0個數 0*1! ；
　　所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。
其程式碼實現為：
 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int Cantor(int *s,int n);  //康託展開，判斷給定的排列位於全排列中的第幾個
 5 long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示階乘運算的結果
 6 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};
 7 
 8 int main(int argc,char *argv)
 9 {
10     int s[4]={2,1,3,4};   //表示排列2134
11     int len=4;        //表示數列中數字數目
12     int index=Cantor(s,len);
13     cout<<index<<endl;
14     return 0;
15 }
16 int Cantor(int *s,int n)
17 {
18     int i,j,num,temp;
19     num=0;
20     for(i=0;i<n;i++)
21     {
22         temp=0;     //temp記錄當前數位前面的低數位中小於當前位數上的數字的個數
23         for(j=i+1;j<n;j++)
24             if(s[j]<s[i])
25                 temp++;
26         num+=fac[n-1-i]*temp;  //乘以相應的階乘
27     }
28     return num;
29 }
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如何判斷給定一個位置，輸出該位置上的數列，康擴充開的逆運算，例如：

　　{1,2,3,4,5}的全排列，並且已經從小到大排序完畢，請找出第96個數：
 
　　 首先用96-1得到95
 　　用95去除4! 得到3餘23，即有3個數比該數位上的數字小，則該數位的數字為4；
 　　用23去除3! 得到3餘5，即有3個數比該數位上的數字小，理應為4，但4已在前面的高位中出現過，所以該數位的數字為5；
 　　用5去除2!得到2餘1，即有2個數比該數位上的數字小，則該數位的數字為3；
 　　用1去除1!得到1餘0，即有1個數比該數位上的數字小，則該數位的數字為2；
 　　最後一個數只能是1；
 　　所以這個數是45321
其程式碼實現：
 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 void CantorReverse(int index,int *p,int n);  //康託展開逆用，判斷給定的位置中的排列
 5 long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示階乘運算的結果
 6 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};
 7 
 8 int main(int argc,char *argv)
 9 {
10     int len=5; 
11     int *s=(int *)malloc(len*sizeof(int));
12     CantorReverse(96,s,len);  //有數字{12345}組成的所有排列中，求出第96個排列的順序
13     for(int i=0;i<len;i++)
14         cout<<s[i];
15     cout<<endl;
16     free(s);
17     return 0;
18 }
19 void CantorReverse(int index,int *p,int n)
20 {
21     index--;     //勿丟
22     int i,j;
23     bool hash[10]={0};
24     for(i=0;i<n;i++)
25     {
26         int tmp=index/fac[n-1-i];  //tmp表示有tmp個數字比當前位置上的數字小
27         for(j=0;j<=tmp;j++)
28             if(hash[j]) tmp++;
29         p[i]=tmp+1;
30         hash[tmp]=1; 
31         index%=fac[n-1-i];
32     }
33     return;
34 }
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（2）題目解決

　　通過以上分析，則本章開頭提出的題目就迎刃而解了，先通過給定的序列，求出所在位置，再加上i，得到 i 以後的位置，最後根據位置求出序列。相信大家能自己寫出程式，在此就不具體寫出了。
 
 
 
 
 
 
 

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