題目：給出n個互不相同的字元, 並給定它們的相對大小順序,這樣n個字元的所有排列也會有一個順序. 現在任給一個排列,求出在它後面的第i個排列.
這是一個典型的康擴充開應用，首先我們先闡述一下什麼是康擴充開。
（1）康擴充開
所謂康擴充開是指把一個整數X展開成如下形式：
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。（其中，a為整數，並且0<=a[i]<i(1<=i<=n)）
（2）應用例項
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按從小到大排列一共6個：123 132 213 231 312 321。他們間的對應關係可由康託展開來找到。
1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個大的數：
第一位是1小於1的數沒有，是0個 0*3! ；
第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，即1未出現在前面的低位當中，所以只有一個數2 1*2! ；
第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，即1未出現在前面的低位當中，所以有0個數 0*1! ；
所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。
其程式碼實現為：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 int Cantor(int *s,int n); //康託展開，判斷給定的排列位於全排列中的第幾個 5 long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示階乘運算的結果 6 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!}; 7 8 int main(int argc,char *argv) 9 { 10 int s[4]={2,1,3,4}; //表示排列2134 11 int len=4; //表示數列中數字數目 12 int index=Cantor(s,len); 13 cout<<index<<endl; 14 return 0; 15 } 16 int Cantor(int *s,int n) 17 { 18 int i,j,num,temp; 19 num=0; 20 for(i=0;i<n;i++) 21 { 22 temp=0; //temp記錄當前數位前面的低數位中小於當前位數上的數字的個數 23 for(j=i+1;j<n;j++) 24 if(s[j]<s[i]) 25 temp++; 26 num+=fac[n-1-i]*temp; //乘以相應的階乘 27 } 28 return num; 29 }
如何判斷給定一個位置，輸出該位置上的數列，康擴充開的逆運算，例如：
{1,2,3,4,5}的全排列，並且已經從小到大排序完畢，請找出第96個數：
首先用96-1得到95
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用95去除4! 得到3餘23，即有3個數比該數位上的數字小，則該數位的數字為4；
用23去除3! 得到3餘5，即有3個數比該數位上的數字小，理應為4，但4已在前面的高位中出現過，所以該數位的數字為5；
用5去除2!得到2餘1，即有2個數比該數位上的數字小，則該數位的數字為3；
用1去除1!得到1餘0，即有1個數比該數位上的數字小，則該數位的數字為2；
最後一個數只能是1；
所以這個數是45321
其程式碼實現：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 void CantorReverse(int index,int *p,int n); //康託展開逆用，判斷給定的位置中的排列 5 long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示階乘運算的結果 6 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!}; 7 8 int main(int argc,char *argv) 9 { 10 int len=5; 11 int *s=(int *)malloc(len*sizeof(int)); 12 CantorReverse(96,s,len); //有數字{12345}組成的所有排列中，求出第96個排列的順序 13 for(int i=0;i<len;i++) 14 cout<<s[i]; 15 cout<<endl; 16 free(s); 17 return 0; 18 } 19 void CantorReverse(int index,int *p,int n) 20 { 21 index--; //勿丟 22 int i,j; 23 bool hash[10]={0}; 24 for(i=0;i<n;i++) 25 { 26 int tmp=index/fac[n-1-i]; //tmp表示有tmp個數字比當前位置上的數字小 27 for(j=0;j<=tmp;j++) 28 if(hash[j]) tmp++; 29 p[i]=tmp+1; 30 hash[tmp]=1; 31 index%=fac[n-1-i]; 32 } 33 return; 34 }
（2）題目解決
通過以上分析，則本章開頭提出的題目就迎刃而解了，先通過給定的序列，求出所在位置，再加上i，得到 i 以後的位置，最後根據位置求出序列。相信大家能自己寫出程式，在此就不具體寫出了。