思路
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首先，我們要弄明白題中的方差是什麼。
公式：$S = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$
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接下來，我們思考一下題目怎麼做。
資料很小，於是想到了暴搜。
但是時間複雜度有點難以接受啊，最佳化一下吧。
有一種很有效的最佳化，那就是廣為人知的記憶化搜尋。它能使所有重複的操作只做一次，大大降低了時間複雜度。
下面我們來看看框架。
用 $f[i][sx][tx][sy][ty]$ 表示分割 $i$ 次，操作範圍為左上角在 $(sx,sy)$ 右下角在 $(tx,ty)$ 的矩陣得到 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ 的最小值。很容易想到，dfs 函式的引數就也是這五個值了。
那麼函式出口是什麼情況呢？
$i=0$ 的時候返回矩陣裡所有元素之和，我們可以用二維字首和來預處理。
函式內部呢？
如果已經存過答案了，那麼返回 $f[i][sx][tx][sy][ty]$ 。否則列舉切斷的位置及兩邊分配的分割次數並遞迴求解。
程式碼
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const double INF = 1e300; // 初始值，極大值
int n, m, k;
int a[25][25];
double s[25][25], avg; // 二維字首和，平均值
double f[25][25][25][25][25]; // 記憶化陣列
double dfs(int num, int sx, int tx, int sy, int ty) // 遞迴函式
{
if (sx > tx || sy > ty || num < 0) // 錯誤的情況
return 0;
if (f[num][sx][tx][sy][ty] != INF) // 如果存過了
return f[num][sx][tx][sy][ty]; // 直接返回
if (num == 0) // 出口
{
double sum = s[tx][ty] - s[sx - 1][ty] - s[tx][sy - 1] + s[sx - 1][sy - 1];
sum = (sum - avg) * (sum - avg);
return f[num][sx][tx][sy][ty] = sum;
}
for (int i = sx; i < tx; i++) // 分割位置
for (int j = 0; j < num; j++) // 次數分配
f[num][sx][tx][sy][ty] = min(f[num][sx][tx][sy][ty], dfs(j, sx, i, sy, ty) + dfs(num - j - 1, i + 1, tx, sy, ty));
for (int i = sy; i < ty; i++) // 分割位置
for (int j = 0; j < num; j++) // 次數分配
f[num][sx][tx][sy][ty] = min(f[num][sx][tx][sy][ty], dfs(j, sx, tx, sy, i) + dfs(num - j - 1, sx, tx, i + 1, ty));
return f[num][sx][tx][sy][ty];
}
int main()
{
for (int i = 0; i <= 24; i++)
for (int sx = 0; sx <= 24; sx++)
for (int tx = 0; tx <= 24; tx++)
for (int sy = 0; sy <= 24; sy++)
for (int ty = 0; ty <= 24; ty++)
f[i][sx][sy][tx][ty] = INF; // 初值
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
cin >> a[i][j];
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]; // 預處理
}
avg = s[n][m] / k; // 平均值
double ans = sqrt(dfs(k - 1, 1, n, 1, m) / k);
printf("%.2lf\n", ans); // 別忘了位數
return 0;
}