P2569 [SCOI2010] 股票交易
[SCOI2010] 股票交易
題目描述
最近 \(\text{lxhgww}\) 又迷上了投資股票，透過一段時間的觀察和學習，他總結出了股票行情的一些規律。
透過一段時間的觀察，\(\text{lxhgww}\) 預測到了未來 \(T\) 天內某隻股票的走勢，第 \(i\) 天的股票買入價為每股 \(AP_i\)，第 \(i\) 天的股票賣出價為每股 \(BP_i\)（資料保證對於每個 \(i\)，都有 \(AP_i \geq BP_i\)），但是每天不能無限制地交易，於是股票交易所規定第 \(i\) 天的一次買入至多隻能購買 \(AS_i\) 股，一次賣出至多隻能賣出 \(BS_i\) 股。
另外，股票交易所還制定了兩個規定。為了避免大家瘋狂交易，股票交易所規定在兩次交易（某一天的買入或者賣出均算是一次交易）之間，至少要間隔 \(W\) 天，也就是說如果在第 \(i\) 天發生了交易，那麼從第 \(i+1\) 天到第 \(i+W\) 天，均不能發生交易。同時，為了避免壟斷，股票交易所還規定在任何時間，一個人的手裡的股票數不能超過 \(\text{MaxP}\)。
在第 \(1\) 天之前，\(\text{lxhgww}\) 手裡有一大筆錢（可以認為錢的數目無限），但是沒有任何股票，當然，\(T\) 天以後，\(\text{lxhgww}\) 想要賺到最多的錢，聰明的程式設計師們，你們能幫助他嗎？
輸入格式
輸入資料第一行包括 \(3\) 個整數，分別是 \(T\)，\(\text{MaxP}\)，\(W\)。
接下來 \(T\) 行，第 \(i\) 行代表第 \(i-1\) 天的股票走勢，每行 \(4\) 個整數，分別表示 \(AP_i,\ BP_i,\ AS_i,\ BS_i\)。
輸出格式
輸出資料為一行，包括 \(1\) 個數字，表示 \(\text{lxhgww}\) 能賺到的最多的錢數。
提示
- 對於所有的資料，\(1\leq BP_i\leq AP_i\leq 1000,1\leq AS_i,BS_i\leq\text{MaxP}\)。
DP好題
首先，題目規定第x天交易了那麼
第 [x+1,x+w]天都不能交易
也就是說第x天交易後的下一個可交易日是x+1+w所以我們讓w++
即對第x天，它的上一個可交易日是x-w
記\(dp[i][j]\)表示在第i天，手上持有j股時的最大收益
顯然，我們有:
對於購買：\(dp[i][j]=max(dp[i-w][k]-(j-k)*AP_i)| j-k \le AS_i\)
對於賣出：\(dp[i][j]=max(dp[i-w][k]+(k-j)*BP_i)| k-j \le BS_i\)
但是如果我們真的這麼寫的話，對於每天的轉移我們似乎浪費了很多時間
所以我們考慮單調佇列最佳化：
我們發現右半部分的式子分別可以寫成：
\(max(dp[i-w][k]+k*AP_i)-j*AP_i | j-k \le AS_i\)
\(max(dp[i-w][k]+k*AP_i)-j*BP_i | j-k \le BS_i\)
顯然，\(max\)外的數字並不影響\(max\)內的單調性
所以我們使用單調佇列來維護\(max\)然後直接轉移就好了
時間複雜度O(TW)
然後這題就做完了 (經典結束語)
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int N=2005;
const int inf=1e17;
using namespace std;
int n,m,w;
int dp[N][N];
int q[N<<1];
void init()
{
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<N;j++)
{
dp[i][j]=-inf;
}
}
}
void work()
{
init();
cin>>n>>m>>w;
w++;
for(int i=1,ap,bp,as,bs;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&ap,&bp,&as,&bs);
for(int j=0;j<=as;j++)dp[i][j]=-1ll*ap*j;
for(int j=0;j<=m;j++)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
//copy
if(i-w<1)continue;
int st=1,ed=0;
for(int j=0;j<=m;j++)//之前持有k,現在買j-k使現在有j:
{
while(st<=ed){if(j-q[st]>as)st++;else break;}//刪掉購買數過多的
while(st<=ed){if(dp[i-w][q[ed]]+q[ed]*ap<=dp[i-w][j]+j*ap)ed--;else break;}//最佳化之前買的少還賺的少的
q[++ed]=j;
if(st<=ed)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w][q[st]]+q[st]*ap-j*ap);
}
st=1,ed=0;
for(int j=m;j>=0;j--)//之前持有k,現在賣出k-j使現在有j:
{
while(st<=ed){if(q[st]-j>bs)st++;else break;}//刪掉賣出數過多的
while(st<=ed){if(dp[i-w][q[ed]]+q[ed]*bp<=dp[i-w][j]+j*bp)ed--;else break;}//最佳化之前買的少還賺的少的
q[++ed]=j;
if(st<=ed)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-w][q[st]]+q[st]*bp-j*bp);
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=m;i++)
{
ans=max(ans,dp[n][i]);
}
printf("%lld",ans);
}
#undef int
int main()
{
work();
return 0;
}