晚上在研究怎麼求尤拉圖迴路，看到 \(O(n+m)\) 版本的 HierHolzer 演算法實現，讓我很迷惑。
void dfs(int x){
for(int i = 1;i <= 500; ++i){
if(g[x][i]){
--g[x][i]; --g[i][x];
dfs(i);
}
}
ans[++cnt] = x;
}
OI-Wiki 上對於這段程式碼的描述是這樣的：
將找回路的 DFS 和 Hierholzer 演算法的遞迴合併，邊找回路邊使用 Hierholzer 演算法。
但程式碼中我並沒有直觀地看到“邊找回路邊求環”的過程，而只看到了從一個點出發，有路就往下走的樸素 dfs。所以我就產生了這樣的一個問題：這樣的 dfs 是否能正確地找到尤拉回路呢？
首先根據尤拉圖判別法我們可以知道：尤拉圖中非零度頂點是連通的，且頂點的度數都是偶數。從這個性質出發，我們在腦海中隨便畫出一張尤拉圖，以檢驗演算法的準確性。
接下來開始證明（由於我不會做動畫，所以只能盡我所能直觀地描述了）：
我們將這張圖上度數為偶數的節點染為白色，將度數為奇數的節點染為黑色，每經過一條邊就將其刪去並更新顏色。顯然，最開始尤拉圖上都是白色的節點。
任意選取一個點開始我們的樸素 dfs。當我們走過第一條邊的時候，這條邊直接連線的兩個頂點（起點和當前位置）都變成了黑色。當我們繼續向下 dfs 的時候，每走過一條邊，原先位置的黑色節點會變回白色，而當前所在的節點會變為黑色。顯然，在向下 dfs 的過程中，圖上要麼沒有黑點，要麼有且僅有兩個黑點。
當我們訪問的某條邊連線了兩個黑點時，刪去這條邊，整張圖上所有的節點又會都變為白色，此時我們就找到了（刪去了）一個經過起點的環。
到這一步 dfs 並沒有結束，我們也沒有考慮清楚如何記錄答案，但 HierHolzer 已經初具雛形了。如果稱上述過程（從起點向下 dfs 又到了起點）為一次操作，我們可以發現這次操作具有如下的性質：
在一張全是白點的圖上，從任意一個度數非 \(0\) 的節點（度數當然是偶數）出發，必然能找到（刪去）經過這個點的一個環。（注意尤拉圖上偶度節點與“必然”能找到環的聯絡）
繼續 dfs，此時我們正第二次位於起點的位置。回顧一下我們所制定的 dfs 規則：如果有路，就一直往下走。
按照這個規則，如果此時起點的度數大於 \(0\)，那麼就繼續往下走。換句話說，也就是重複一次上述的操作。可想而知，每一個經過起點的環都能用上述的方法找到。每經過這樣的一個過程，就會刪去一個經過起點的環，起點的度數就會減 \(2\)，直到它變為 \(0\)。
如果此時起點的度數為 \(0\)，那麼按照 dfs 的規則，我們就可以開始回溯了。注意此時回溯的順序，如果我們是按照 \(1\to2\to3\to1\) 的順序訪問，那麼我們應該按照 \(1\to3\to2\to1\) 的順序回溯。每回溯到一個節點，這個節點的度數都必然是偶數，那麼我們就可以重複一次操作，刪去一個經過它的環。直到最後回溯到起點，我們就刪去了圖上所有的環。
顯然，在回溯時將當前點新增到答案路徑中，我們就可以將這若干個環拼成一個完整的路徑。而由於這條路徑的起點（所有邊已經都刪光，從起點回溯的時候）和終點（回溯到起點）都是我們所指定的那個起點，所以這條路徑是一條迴路。
綜上，我們就找到了一條符合條件的尤拉回路。
這個過程還可以進行推廣。
比如半尤拉圖上找尤拉通路的問題，就等價於過程中圖上有且僅有兩個黑點的情況。
比如每個環輸出的順序和遍歷的順序相反但起點不變，如果想要字典序最小尤拉回路，就要優先走編號小的節點，最後倒序輸出。
至此我們再回看 HierHolzer 的流程，看似複雜而割裂的“找環——遍歷環——找環”的過程就這樣完美地融入在了一次 dfs 的過程中。
當然，如果有一天你需要脫離模板敲下完整的 HierHolzer，現場推一遍顯然是不現實的。所以我們只需要堅定一個信念：
附模板題 P2731 的 AC 程式碼