揹包 學習筆記

Hanggoash發表於2024-11-21
筆記

揹包 學習筆記

甚至到退役都沒有系統地學習過這個東西，唉，草臺班子SDZX。

01揹包

到高中畢業也只會這一種。。

不過狀態轉移方程還是很好寫，注意如果要滾掉一維，直接倒序列舉容量即可。

例題 P1048

    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int w=m;w>=0;--w)
        {
            if(w-a[i]>=0)dp[w]=max(dp[w],dp[w-a[i]]+val[i]);
        }
    }

完全揹包

每個物品可以無限選，那麼比較naive的想法就是再在最裡面套一層列舉選取個數的迴圈，但奈何這種時間複雜度較高，想一想有沒有更加優秀的做法。

為什麼01揹包不能正序列舉？因為可能會出現 \(m\) 容量時，我已經用 當前物品做了一次轉移，也就是已經被用了，但是後面列舉 \(m+w_i\) 這個容量的時候，可能又會從 \(m\) 這個狀態 再裝一個當前物品進行轉移，這樣從物理意義上來說，就是用了兩次同一個物品，在 01揹包的意義下明顯是不合法的。

但是這種不合法恰恰就正好是完全揹包的要求所在啊！！！所以我們正序列舉就行。

    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=w[i];j<=m;++j)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+val[i]);
        }
    }

多重揹包

不是無限個，可以選多次。

暴力地話就是完全揹包的naive做法。複雜度是 \(O(nmk)\) 的。

    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=m;j>=0;--j)
        {
            for(int cnt=0;cnt<=num[i]&&j-cnt*w[i]>=0;++cnt)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-cnt*w[i]]+val[i]*cnt);
            }
        }
    }

二進位制拆分可以減少無意義選取的次數，注意這裡要求拆分的方式能夠組合出所有數：複雜度 \(O(m\sum k_i)\)

    for(int i=1,tval,tw,tnum;i<=n;++i)
    {
        re(tval),re(tw),re(tnum);  
        for(int j=1;j<=tnum;j<<=1)
        {
            w[++cnt]=tw*j,val[cnt]=tval*j;
            tnum-=j;
        }
        if(tnum)w[++cnt]=tw*tnum,val[cnt]=tval*tnum;
    }
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
    {
        for(int j=m;j>=w[i];--j)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+val[i]);
        }
    }

還有一種比較優秀的單調佇列最佳化，但是今晚害得做一做 cf ，挖個坑。

//TODO

例題 P1776

分組揹包

每組裡面只能選取一件，直接列舉組數->列舉容量->列舉每個子物品就可以了。

    for(int i=1;i<=t;++i)
    {
        for(int j=m;j>=0;--j)
        {
            for(int k=1;k<=a[i].cnt;++k)
            {
                if(j-a[i].w[k]>=0)dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i].w[k]]+a[i].val[k]);
            }
        }
    }

費用揹包

多了一維費用，實際上就是兩維的揹包。

    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>w[i]>>t[i];
        for(int j=m;j>=w[i];--j)
        {
            for(int k=T;k>=t[i];--k)
            {
                dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-w[i]][k-t[i]]+1);
            }
        }
    }

例題 1855

依賴揹包

言下之意就是存在某些物品 \(B\) ，如果要選它 ，那麼必須先選另外一個指定的物品 \(A\) 。

發現這樣的話無非就要麼只買主件，要麼就同時買其中若干個附件，但是由於這些情況又不能夠同時成立，所以就轉化成了一個分組揹包的模型。

例題 P 1064

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