在今天的模擬賽中，部分同學由於對出現某個數在模 \(1000000007\) 意義下為 \(0\) 的情況不規範被 Hack。
Hack 原理：開始時有 \(2\) 個 \(1\)，先都加到 \(1000000001\)，然後一個一個加 \(8\) 次雖然加 \(7\) 次足以 Hack，這個時候如果對 \(1000000007\) 處理不好，可能後面都變成 \(0\)。
我的方案：考慮兩個性質（按照題解）:
- \(2\) 操作到 \(1000000007\) 的倍數（分子為 \(0\)）只可能是 \(1000000007\)，也就是說每個位置至多出現一次分子或分母為 \(0\)。
- 分母為 \(0\) 的上一步同樣位置的 \(2\) 操作中一定分子為 \(0\)，因為分母為 \(0\) 時必定出過 \(a_i=1000000007\)。（我可能給之前的同學解釋錯了，因為可能出現 \(3\) 操作使得分子分母為 \(0\) 的 \(2\) 操作之間夾著幾個，但也無傷大雅，這裡致以誠摯歉意）。
綜上所述，考慮記錄每個位置上一次的分子為 \(0\) 位置，維護一個指標指向當前更新到的點。遇到分子為 \(0\) 的值，停止維護，輸出答案一定為 \(0\)。遇到分母為 \(0\)，找到對應分子為 \(0\) 的位置，合併兩個分數：將後者的分子賦給前者，後者置為 \(1\)，這樣保證後面的值都是對的。指標繼續往下跳轉，直到遇到下一個分子為 \(0\) 的數。
以 Hack 資料為例，最後幾個數為 \(\frac{0}{1000000006},\frac{0}{1000000006},\frac{1}{0},\frac{1}{0}\cdots\)，位置分別在 \(1,2,1,2\cdots\)，掃到第一、二個數停止更新，輸出 \(0\)。掃到第三個數，將第一個數變成 \(\frac{1}{1000000006}\)，第三個數變為 \(1\)，往下更新到第二個數處。掃到第四個數，同理更新，此時可以更新到第四個數。
附：資料，我的程式碼