Public NOIP Round #6 D 排序 題解

下蛋爷發表於2024-11-19
排序

Description

今天是 YQH 的生日，她得到了一個 \(1\sim n\) 的排列作為禮物。
YQH 是一個有強迫症的女孩子，她希望把這個排列從小到大排序，具體的，她可以進行這樣的操作：

  • 把 \([1,n]\) 分成若干個區間，假如是 \(m\) 段，依次為 \([l_1,r_1],[l_2,r_2],\dots,[l_m,r_m]\)，其中 \(l_1=1,r_m=n,l_{i+1}=r_i+1,l_i\le r_i\)。

  • 假如原來的排列為 \(a_{1,\dots,n}\)，那麼把排列變為 \(a_{l_m},a_{l_m+1},\dots,a_{r_m},a_{l_{m-1}},a_{l_{m-1}+1},\dots,a_{r_{m-1}},\dots,a_{l_1},a_{l_1+1},\dots,a_{r_1}\)，即把每一段看作一個整體，然後把這個排列進行 reverse。
    YQH 希望進行儘可能少的操作，把序列從小到大排序。但是她太笨了，所以她找到你幫忙。注意，你不需要得到最小運算元。

\(n\leq 2\times 10^4\)，次數限制為 \(90\)。

Solution

考慮分治。

假設當前已經讓 \(a_{[l,r]}\) 的數值域變成 \([l,r]\) 了，設 \(mid=\left\lfloor\frac{l+r}{2}\right\rfloor\)，將 \(a_i\leq mid\) 視作 \(0\)，否則視作 \(1\)，現在需要將這個 \(01\) 序列排序，使得所有 \(0\) 都在 \(1\) 之前。

先把連續段縮掉，那麼序列變為 \(10101\ldots 010\)，考慮以 \(1,2,1,2\ldots\) 分段，則操作後變為 \(1000111000\ldots\)，連續段數變為原來的 \(\frac{1}{3}\)，所以將長度為 \(n\) 的 \(01\) 序列排序的次數為 \(O(\log_3 n)\)。

那麼設 \(f(n)\) 表示將普通序列排序的次數，用上面的方式排序可以得到：

\(f(n)=f\left(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\right)+O(\log_3 n)\)

於是總次數為 \(1+\sum\limits_{j=0} \left\lceil\log_3\left(\left\lceil\frac{n}{2^j}\right\rceil\right)\right\rceil\)，能過。

Code

#include <bits/stdc++.h>

// #define int int64_t

using vi = std::vector<int>;
using vvi = std::vector<std::vector<int>>;

const int kMaxN = 2e4 + 5;

int n, m;
int a[kMaxN], len[kMaxN];
bool b[kMaxN], op[kMaxN];

void prework(int l, int r) {
  int lst = l - 1;
  m = 0;
  for (int i = l; i <= r; ++i) {
    if (i == r || b[i] != b[i + 1]) {
      op[++m] = b[i], len[m] = i - lst;
      lst = i;
    }
  }
}

vvi getvec(int l, int r) {
  vvi vec;
  for (;;) {
    prework(l, r);
    if (m == 2 && op[1] == 0 && op[2] == 1) break;
    std::vector<int> v;
    for (int i = 1, now = 1; i <= m; now = 3 - now) {
      now = std::min(now, m - i + 1);
      int s = 0;
      for (int j = i; j <= i + now - 1; ++j) s += len[j];
      v.emplace_back(s);
      i += now;
    }
    vec.emplace_back(v);
    int now = l;
    std::reverse(a + l, a + 1 + r);
    std::reverse(b + l, b + 1 + r);
    std::reverse(v.begin(), v.end());
    for (auto x : v) {
      std::reverse(a + now, a + now + x);
      std::reverse(b + now, b + now + x);
      now += x;
    }
  }
  return vec;
}

vi merge(vi a, vi b) {
  vi c;
  for (auto x : a) c.emplace_back(x);
  for (auto x : b) c.emplace_back(x);
  return c;
}

vvi solve(int l, int r) {
  if (l == r) return {};
  int mid = (l + r) >> 1;
  if (r - l + 1 > 3 && (~(l + r) & 1)) ++mid;
  for (int i = l; i <= r; ++i) b[i] = (a[i] > mid);
  auto vec = getvec(l, r), L = solve(l, mid), R = solve(mid + 1, r);
  int sz = std::max(L.size(), R.size());
  if (sz & 1) ++sz;
  L.resize(sz, vi{mid - l + 1});
  R.resize(sz, vi{r - mid});
  for (int i = 0; i < sz; ++i) {
    if (~i & 1) vec.emplace_back(merge(L[i], R[i]));
    else vec.emplace_back(merge(R[i], L[i]));
  }
  return vec;
}

void dickdreamer() {
  std::cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> a[i];
  auto res = solve(1, n);
  std::cout << res.size() << '\n';
  for (auto &vec : res) {
    std::cout << vec.size() << ' ';
    for (auto x : vec) std::cout << x << ' ';
    std::cout << '\n';
  }
}

int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  // std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}

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