看到最大值，考慮使用單調棧搞出 \([la_i, ra_i], [lb_i, rb_i]\) 表示這一段區間 \(i\) 是 \(a, b\) 的最大值。預處理是簡單的。
inline void init() {
static auto f = [] (int a[], int l[], int r[]) -> void {
static int stack[N], top;
top = 0, a[n + 1] = 0x3f3f3f3f;
for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
while (top && a[stack[top]] < a[i]) r[stack[top--]] = i - 1;
l[i] = stack[top] + 1, stack[++top] = i;
}
};
f(a, la, ra), f(b, lb, rb);
}
接下來我們注意到，對於一個隨機排列，每個值作為最大值的區間長度和是不大的。
我們記一個隨機排列 \(a\)，這裡隨機是良定義的，即 \(n!\) 個排列隨機選取。我們記 \([l_i, r_i]\) 表示最大的 \(i\) 作為最大值的區間。
我們求的是 \(\sum \limits _ {i = 1} ^ n \Big(r_i - l_i + 1 \Big)\) 的期望，記該期望為 \(\mathbb{E}\)。
稍微簡化一下得到 \(\mathbb{E} = n + \sum \limits _ {i = 1} ^ n \mathrm{E}\Big(r_i - l_i\Big)\)，注意，這裡不能直接把 \(\mathrm{E}\Big(r_i - l_i\Big)\) 拆開，不然你會把這一坨消掉，得到答案 \(\mathbb{E} = n\)，這顯然是荒謬的，問題出在 \(r_i, l_i\) 不是獨立的，所以不能直接利用數學期望的線性關係。
考慮 \(\mathrm{E}(r_i - l_i)\) 使用期望定義式求解。先列舉 \(v\) 表示 \(a_i\) 的值。然後列舉 \(r_i\)，那麼要求存在 \(r_i - i\) 個數小於 \(v\)，所以 \(r_i \in \Big[i, \min\{n, i+v-1\}\Big]\)，選擇小於 \(v\) 的數並排列的方案是 \(\dbinom{n - 1}{r_i - i}(r_i - i)! = \dfrac{(n - 1)!}{(n - 1 - r_i + i)!}\)。然後對 \(r_i + 1\) 分類討論，如果 \(r_i + 1 \leq n\)，那這個位置是比 \(v\) 大的數，方案數是 \(n - v\)；反之不用限制這個位置必須比 \(v\) 大。對於 \(l_i\) 類似列舉。注意最後對於剩下來的數字隨便排列要乘上一個階乘。
\[\mathbb{E} = n + \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\displaystyle \sum _ {v = 1} ^ n \sum _ {r_i = i} ^ {\min\{n, i+v-1\}} \sum _ {l_i = \max\{1, r_i - v + 1\}} ^ i \dfrac{(r_i - l_i)(v - 1)!}{(v - 1 - r_i + l_i)!} \dbinom{n - v}{c} c! \Big(n - r_i + l_i - 1 - c \Big)!}{n!}
\]
其中 \(c = [r_i \neq n] + [l_i \neq 1]\)，需要額外滿足 \(c \leq n - v\)。
好吧，我承認，這式子比我都醜。並且 OEIS 只有整數數列，找不到這個。但是應該存在這樣一個關係：\(\mathcal{O}(n \log_2 n) \leq \mathcal{O}(\mathbb{E}) \leq \mathcal{O}(n \sqrt{n})\)。
可愛的 yzh 馬上敲了個簡短的 Python 程式碼 \(\mathcal{O}(n! \cdot n)\) 來驗證。
展開她的可愛程式碼
import itertools
import fractions
def solve(n: int) -> fractions.Fraction:
total: int = 0
count: int = 0
for perm in itertools.permutations(range(n)):
count += 1
l: list[int] = [0] * n
r: list[int] = [n - 1] * n
stack: list[int] = [-1]
for i in range(n):
while len(stack) > 1 and perm[stack[-1]] < perm[i]:
r[stack.pop()] = i - 1
l[i] = stack[-1] + 1
stack.append(i)
total += sum(r[i] - l[i] + 1 for i in range(n))
return fractions.Fraction(total, count)
def main() -> None:
while True:
n = int(input('Input n: '))
print(f'∑ r[i] - l[i] + 1 = {solve(n)}')
if __name__ == '__main__':
main()
xym 說，你這太慢了吧……所以 xym 敲了 C++ 程式碼。
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 20;
using uint = unsigned;
using lint = long long;
lint gcd(lint a, lint b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int n, a[N];
lint son, mon;
void solve() {
static int stack[N], top;
static int l[N], r[N];
top = 0, a[n] = 0x3f3f3f3f, stack[0] = -1;
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
while (top && a[stack[top]] < a[i]) r[stack[top--]] = i - 1;
l[i] = stack[top] + 1, stack[++top] = i;
}
++mon;
for (int i = 0; i < n; ++i) son += r[i] - l[i] + 1;
}
void dfs(int i, uint nvis) {
if (i == n) return solve();
for (uint st = nvis; st; st &= st - 1) {
int j = __builtin_ctz(st);
a[i] = j, dfs(i + 1, nvis ^ (1u << j));
}
}
signed main() {
while (true) {
printf("Input n: "), scanf("%d", &n);
son = mon = 0;
dfs(0, (1u << n) - 1);
lint g = gcd(son, mon);
son /= g, mon /= g;
if (mon > 1)
printf("∑ r[i] - l[i] + 1 = %lld/%lld\n", son, mon);
else
printf("∑ r[i] - l[i] + 1 = %lld\n", son);
}
return 0;
}
yzh 不服！她表示 Python yyds！所以敲了 \(\mathcal{O}(n ^ 4)\) 的程式碼。表示：你 C++ 還要手寫高精度、分數類，能有我 Python 優雅嗎？
展開她的可愛程式碼
from fractions import Fraction
def solve(n: int) -> Fraction:
frac: list[int] = [1] * (n + 1) # 階乘
for i in range(2, n + 1):
frac[i] = frac[i - 1] * i
def C(n: int, m: int) -> int:
assert 0 <= m <= n
return frac[n] // frac[m] // frac[n - m]
total: int = 0
for i in range(1, n + 1):
for v in range(1, n + 1):
for ri in range(i, min(n, i + v - 1) + 1):
for li in range(max(1, ri - v + 1), i + 1):
c = (ri != n) + (li != 1)
if c > n - v:
continue
# print(f'{i = }, {v = }, {li = }, {ri = }')
total += (ri - li + 1) * frac[v - 1] // frac[v - 1 - ri + li] * C(n - v, c) * frac[c] * frac[n - ri + li - 1 - c]
return Fraction(total, frac[n])
def main() -> None:
while True:
n = int(input('Input n: '))
print(f'∑ r[i] - l[i] + 1 = {solve(n)}')
if __name__ == '__main__':
main()
xym 說，我雖然不會最佳化時間複雜度，但是這又不是 OI，我開多程序！
from multiprocessing import Pool, cpu_count
from fractions import Fraction
from time import time
def calc(i: int, n: int, frac: list[int], g: list[list[int]]) -> int:
total: int = 0
for v in range(1, n + 1):
for ri in range(i, min(n, i + v - 1) + 1):
for li in range(max(1, ri - v + 1), i + 1):
c = (ri != n) + (li != 1)
if c > n - v or li == ri:
continue
if c == 0:
total += g[v - 1][ri - li] * frac[n - ri + li - 1 - c]
elif c == 1:
total += g[v - 1][ri - li] * frac[n - ri + li - 1 - c] * (n - v)
else:
total += g[v - 1][ri - li] * frac[n - ri + li - 1 - c] * (n - v) * (n - v - 1)
return total
def solve(n: int) -> Fraction:
frac: list[int] = [1] * (n + 1)
for i in range(2, n + 1):
frac[i] = frac[i - 1] * i
g: list[list[int]] = [[0] * (i + 1) for i in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
g[i][0] = 1
for j in range(1, i + 1):
g[i][j] = g[i][j - 1] * (i - j + 1)
for j in range(i + 1):
g[i][j] *= j
total: int = 0
with Pool(processes=cpu_count()) as pool:
results = pool.starmap(calc, [(i, n, frac, g) for i in range(1, n + 1)])
total = sum(results)
return n + Fraction(total, frac[n])
def main() -> None:
start_time = time()
with open('res', 'w') as f:
for n in range(100, 200):
res = solve(n)
print(f'\\frac{{{res.numerator}}}{{{res.denominator}}}', file=f, end=', ')
end_time = time()
print(f'time used {end_time - start_time:.2f}s.')
return
if __name__ == '__main__':
main()
yzh：好厲害！讓我來試試看！哇，\(n \in [100, 200)\) 居然在機房垃圾四核電腦上只跑了 \(3837.22\) 秒！
$n \in [1, 200)$
[
1 / 1,
3 / 1,
17 / 3,
53 / 6,
62 / 5,
163 / 10,
717 / 35,
3489 / 140,
3727 / 126,
43391 / 1260,
45596 / 1155,
619313 / 13860,
644063 / 12870,
667229 / 12012,
2756003 / 45045,
24124223 / 360360,
24784883 / 340340,
160941559 / 2042040,
164719333 / 1939938,
33664415 / 369512,
11451017 / 117572,
268428987 / 2586584,
819836496 / 7436429,
20845424563 / 178474296,
21181779967 / 171609900,
193553388003 / 1487285800,
196368607553 / 1434168450,
5773568883787 / 40156716600,
5849866645327 / 38818159380,
183636137408557 / 1164544781400,
743424203592403 / 4512611027925,
376019594141039 / 2187932619600,
34563855136549 / 193052878200,
34933413503389 / 187537081680,
35292859576609 / 182327718300,
1318781072333833 / 6563797858800,
1331390473483633 / 6391066336200,
1343680985668633 / 6227192840400,
1355668331886403 / 6071513019390,
56062051135874333 / 242860520775600,
56530424997370133 / 237078127423800,
350069394209013017 / 1422468764542800,
3880990797545677687 / 15291539218835100,
3910554440035425547 / 14951727236194320,
3939482781861975427 / 14626689687581400,
186486719509082752469 / 672827725628744400,
187790323227488444744 / 658810481344812225,
9264312833874690953831 / 31622903104550986800,
9325661265897519868223 / 30990445042459967064,
9385819188627000980759 / 30382789257313693200,
9444831913915244884859 / 29798504848519199100,
503645337436905456404827 / 1549522252122998353200,
506658297371589064313827 / 1520827395602202087400,
169872332647071722185529 / 497725329469811592240,
170841119449075462606139 / 488837377157850670950,
171793065920382856017989 / 480261282821748027600,
172728747385190744416589 / 471980915876545475400,
10245273901052056650249751 / 27374893120839637573200,
10298654942637693943517491 / 26918644902158976946980,
631421270244256248811257571 / 1615118694129538616818800,
634573356727960670950532971 / 1589068392611320252031400,
637675823589725629537832371 / 1563845084792092946443600,
854306944694613581431806703 / 2052546673789621992207225,
429158652559393575277521179 / 1010484516327198519240480,
431133690477669463292400299 / 995174144867695511373200,
9672108358327174050860236411 / 21893831187089301250210400,
9714930116384275184187853811 / 21571863081396811525942600,
29271407806369719881085398433 / 63777682153694921033221600,
29396229841441951369393274993 / 62866572408642136447032720,
2095870772307179804193060072583 / 4400660068604949551292290400,
6313466194824593491193022423849 / 13018619369622975755906359100,
462744694792051410390185246292277 / 937340594612854254425257855200,
464581375686900922104937440738277 / 924673829820788656392484100400,
466393736393349667871466709575061 / 912344845423178140973917645728,
468182412471876688174165574433133 / 900340307983399481224260834600,
469948014894025952091891072952933 / 888647576710887799649919784800,
42881011935863391720878719600703 / 79750423550977110224992801200,
3399961258583609398034292732641537 / 6220533036976214597549438493600,
3412169054668675219181983505685227 / 6142776374014011915080070512430,
30818043874625657849804266130219973 / 54602456657902328134045071221600,
30925251137088124616018671696886773 / 53936573040123031449483545962800,
2575587505783854397255815568833538559 / 4422798989290088578857650768949600,
2584275146655674214107143097129689559 / 4370146620369968476728393021700200,
2592861199427459916879068292831147599 / 4318733130718557082884529574386080,
2601348012207592895332643705599417919 / 4268515303617178512153314114218800,
2609737852631943901373772633341158319 / 4219451909322728184427413951986400,
28798362026490486912099741793464447409 / 45886539513884669005648126727852100,
2571084364772583152252865441795709936901 / 4038015477221850872497035152050984800,
2579025795211119458968776277594743540341 / 3993148638586052529469290317028196080,
2586880450225481034823446639866700101861 / 3949267884315876128046550862994919200,
2594650205519624225901451267108027062461 / 3906341059486355735350392701440626600,
2602336876636678022671011717262474747061 / 3864337392180050834970280951962770400,
2609942221504266420590900036157295093061 / 3823227419922816251619533282261038800,
2617467942846640806265140591144482611541 / 3782982920765733975286696089816185760,
2624915690471898345028986274071308227256 / 3743576848674424246377459672213933825,
255331845153870954498869763382309759404407 / 359383377472744727652236128532537647200,
256039610376852992584960391676256491709607 / 355716200151594271247621474159756650800,
256740263498363708573781464276874194203607 / 352123107220770086689564691592486381600,
257433946019588625644559906719311392375359 / 348601876148562385822669044676561517784,
1042808012853280604195170468741643454878011 / 1394407504594249543290676178706246071136,
1045555815877039860648125624740858704488779 / 1380736842784501998748610725973831893968,
107972538614420359552502907325681134436819741 / 140835157964019203872358294049330853184736,
108250146377714820483212844347605296214731961 / 139480973752826711527431771991164210365652,
542625615772709108572548906347653671147264089 / 690762917633046571373947823194337041810848,
543987591714079926812333388376404769654230761 / 684246286334621603719476617315145182925840,
58351048279823157327304482122528805986600043667 / 72530106351469889994264521435405389390139040,
58494093767349667388126503817581966615675040107 / 71858531292659983605428738829522006155045160,
6391305804869035641780956094964781592431914081063 / 7760721379607278229386303793588376664744877280,
6406615591590624545197109076084860480943274429879 / 7690169367065393881846428304555755058701742032,
583798917082675385566751412976344982590138528437 / 692808051086972421787966513923941897180337120,
585165975826338072220458025472569903655110443647 / 686622264916553025164859670049620987384084110,
66276872033452593485523520584821464593214130888641 / 76901693670653938818464283045557550587017420320,
66428651692013094680559963248727170285162191586641 / 76227117410385044618302315650421080845026039440,
66579117393336202551241307819619740592569329942753 / 75564272911164305099882295514330462750721465184,
66728291690721173463895385799557513661275495593849 / 74912856765378405917986758484034510485629038760,
66876196561770766726861667348359325387106096516529 / 74272575938323889628089435761948745438743320480,
67022853427818474068245945641007919096319886293409 / 73643147328677077004122576136847484884177699120,
67168283172543172497623834761950433037057548136209 / 73024297351125168794003899026453808540613180640,
67312506159811644705991992462527679308925259167973 / 72415761539865792387387199867900026802774737468,
1632424122469047386761123325746855460557163904315917 / 1737978276956779017297292796829600643266593699232,
1635857341852216105967423715616002458549190536131613 / 1723732553375166074532560888658866211764408504976,
1639262764701567043821988043225304121065115343178029 / 1709718467575367976365629499320176242563071850464,
1642640837480244182162387875703799630576631089979349 / 1695930415417502105588487325938561918026272883928,
205748999497638645790378840832481778615831375649748841 / 210295371511770261092972428416381677835257837607072,
206164583208007144163491143488637961455362956614543769 / 208626360626756211401758361524188172455612934134000,
26235267283934223117825216571799592336117454336514692663 / 26286921438971282636621553552047709729407229700884000,
105148900108363759174646655444969246549517943255881384777 / 104326219460917277964091790659689347988584942875383375,
52677563178067669920194813794648269723352340466829152701 / 51758744538749657284510655831163707529220436775384000,
52779886234578890396518807937329877975929337791838950301 / 51360600349990044536168266170923986702072587261727200,
6927467492220482063478831420728483327402580050831689834231 / 6676878045498705789701874602220118271269436344024536000,
6940669501083172686290287400055600379438953709057374712231 / 6626295636063109533719284643112390102547698189903138000,
6953772627040199737473506737357394053100382616004326030231 / 6576473864363386905646207314968687921325535045618152000,
6966778340279425838443627968241473921004496547251257450231 / 6527395701196495958589146066349518608479822097516524000,
6979688078444014463783948723794920746696823306510790131031 / 6479044621928373766303300539932114766935527119016401600,
6992503247585916908954063340304051179581423724121197572431 / 6431404587943606312139305683020849217178648243141281000,
959715855562603333837296429461753661740510463878495354574047 / 874671023960330458450945572890835493536296161067214216000,
961446183023046596265971126138559444999462701936258756610047 / 868332828134530962375214083232206250829511406276872084000,
133879810967940472895623170406148619573903431205866106991896533 / 119829930282565272807779543486044462614472574066208347592000,
134116903044285262756821419931474578974933494798839962079632133 / 118974002209118378002009689604001287881512055680021145109200,
134352319686954369334570077402393134714784146313270642217826933 / 118130214959408318583555720174185675910721190036900427768000,
134586084408106437908668522172596981017114517118907043768550933 / 117298312037158964227333496792677326080363998557767326164000,
134818220228431724530181356994920950830266566151017870015434933 / 116478044120815195246722773038882379744137676889531191016000,
135048749690754171270773829149893738873510171969861733830987433 / 115669168814420645279731642670556807662581165244465002189500,
135277694873166162479017160056420978899711280896931812835321133 / 114871450408803951174354183065932277954563364104848002174400,
135505077401715096327574614569476146217032300158755792784830733 / 114084659652579266577269565373699865091860875309609317228000,
135730918462659998141003086974399592888744759442531958167914733 / 113308573532493693335247323432382178934773386361924900104000,
135955238814315543087943813094438025175419682430397120301228733 / 112542975062679546758657814490271488536565458075695677806000,
20290530760976506386397432206345895840255819492261501149835851217 / 16656360309276572920281356544560180303411687795202960315288000,
20323510354388874000779589292304124997256574634096003011260121457 / 16545317907214729100812814167596445768055609876568273913186080,
3073797113566977178118861014574034211870391397101590368600320977927 / 2481797686082209365121922125139466865208341481485241086977912000,
3078711726090074184822161662992895919281100020693215747331770658927 / 2465470069726405356140856848000391425305655024370206606142531000,
3083594323679140203272558261848739831711607298290497921198837239927 / 2449355886264141268845818567948101285270977540550793491069704000,
3088445320726611392149168486934611071270098520042887479736345419927 / 2433450977911776715152014551273113614587399764313450676192628000,
3093265123631249556352727638336164915655120015059947023978868883127 / 2417751294183313639570388650942319333202964927124331639572030400,
3098054131002420350677261292779377586642041272511750988572636558727 / 2402252888451369321368014364718330106708074126309432077779902000,
37472430708899105455021190417983821674306668525971318352468729941703 / 28827034661416431856416172376619961280496889515713184933358824000,
37529537429462544335850673088578011850767399705834724851735447105703 / 28644585074951770895299614323603379247076023126373228066691996000,
37586286135743109164982870437709678922860663525236030303565685965703 / 28464430451838866675832321151756817113446614175892893298976952000,
37642681288575814919584363223991597116766679629572018098414284051853 / 28286527761514873759108369144558337006487572837293562715858346050,
37698727265941797806100857446085473573319906559603674287894773569803 / 28110835042499253425200863746144931186571500956316584065449288000,
37754428365007490771221162861286168159189594533720820111876311973803 / 27937311369397406181835426315613172352086491691154136015662564000,
2054331858356178785968594129696529488205875948604245488056299286633963 / 1508614813947459933819113021043111307012670551322323344845778456000,
2057321491371623447422808835378474678295992521343146433709194884183963 / 1499415943130707129344606234329433799043081096741089665913792002000,
2060293061149827939733691782279236647097732445698506047774369490151563 / 1490328573778399813409184378363800866927668484033567910362799323200,
2063246784648461033339785888667680565683390294681921974536474074352363 / 1481350690803831139834430255602573150861839155816498224155794508000,
345052540114949060675029439822107106182061447972456230659786738398992621 / 245904214673435969212515422430027143043065299865538705209861888328000,
345539957397605335542575675748709481412021809548975423450470571784785621 / 244440499109903612252917116344134124334475625461577165297898424707000,
58478140367397119416800016435507187290283735148306474913504322603905614949 / 41066003850463806858490075545814532888191905077544963770046935350776000,
58559547680912450610395964408795066687832680277783725812272003881630388549 / 40824439121931666818146016277897976812379011518265287512576071025183200,
58640480340926104616544218791942478466425642177811164013832023110153997349 / 40585699711861890988800133141769918468446970515234496357531766516264000,
58720943850238574993446433009392150223389249253076832404866432019351939349 / 40349736341444089297004783530480558477351348593634295797313558571402000,
10172563245656388796495105551375796820204071633349908569500371289937876393377 / 6940154650728383359084822767242656058104431958105098877137932074281144000,
10186323897119039901431222010310846914112382144990979024170558569050675213377 / 6900268704459829431733760567430916655471647866391851182441737062359988000,
10200006144207311677504431238407409931709231641046053151943743041968611875297 / 6860838597577201834980996221331311417440381307155326318542069993432216640,
10213610875290007378870387872959936225372224215342628202427670214853315532157 / 6821856560090967733645876924619201693477651867910125600823080959378624500,
10227138963722730145393041561098587862628781592775602519297099036416829075657 / 6783314997604578085433188354423612983345009766961480823417300840964056000,
10240591268184271808674827603172248173769909617762891298682864807185707231657 / 6745206486382080455739743476027974708157678251416753403061023869947404000,
1835460385307650292314581749901822354126209797358810489922319463960072922886603 / 1200646754576010321121674338732979498052066728752182105744862248850637912000,
1837841668037559379451473070673642763464013063037502317765380107420293354745403 / 1193976494828365819337665036851129611951777469148003316268501903023689923600,
333077979476441631009858847540158895717677052521212052706074191626258601891490343 / 214915769069105847480779706633203330151319944446640596928330342544264186248000,
333504268446957824476565229265953326498911264059372696967014451261744752282894343 / 213734913195099771395720477475878037128510494202428285956196659343471525884000,
333928234422312038777202642016356297687313719301970956353911169225360490883418343 / 212566962849771357344377742626283075176988578933562557617638207653070042136000,
334349902582312943915412956560153000526659375993877208166576592843802722217003343 / 211411707616892165184897428807661971507548423613271456761020608698433791907000,
334769297699585373237698672000003875897163539623423535867286293186463939523110743 / 210268941629773829156870956219512447337237351053199719156906983786550366004800,
335186444148302505189090528897020005429784187916641980471420157041395321700829943 / 209138463448968593516242617745213993319295214757214774430256946239310847908000,
335601365912685218281039865855220403245406960775866187323364677506928927714593943 / 208020075943893895155193191981870602980689357993807208791592470590972287224000,
336014086595276029041108414049950391197065456151034751625913954057622718475947943 / 206913586178234885074580462237286184879728244387457170446956340428254349526000,
336424629424994749051177026078198974897223647112120976170451565844186715201197943 / 205818805298984965047730830161956628345973068491227238328189375664083691592000,
112277672421660911669380051715489233121682324207235400247781622640387430596417181 / 68245182809663435778984433158964566241033175341827979024610161404406697738400,
21470900356822096571011824977825691096846675497036514251376617175486269382358535171 / 12966584733836052798007042300203267585796303314947316014675930666837272570296000,
21496630923403302488282870202390156955962240036427112831593239725403274595115216296 / 12899050438347323356350755621556375567120280901848632077099493527947495108992375,
4153790104534724405084076288464356384342919394615840802583024373024035887483980824753 / 2476617684162686084419345079338824108887093933154937358803102757365919060926536000,
4158705041691439014066042514523868999198185019173906013320855272826024953661592764753 / 2463851613625765022128523712950479654717572830406716032211334186451661746179492000,
4163594839509250147725343738508032258820624509868097803600166997596059790050164371953 / 2451216477145632893809915899037913092385687841532835437174352985495499378250366400,
4168459753843993266070711377715816688376430798492364502503538545102987082183528619553 / 2438710270629583746392518368940780882730658821933178113515300164140930503871538000,
822140107223082840660769616092271732935304554902371679635581575749467559017168909409941 / 477987213043398414292933600312393053015209129098902910248998832171622378758821448000,
823088839418668979937623772177740270661743833628310411169560649189080930708341721677941 / 475573136209845897049029895260310259818162618345878148076024090594998023310544572000,
54660843477706005378973832490666045471438399042093464563744199568137376476722555906616753 / 31387826989849829205235973087180477147998732810827957773017589979269869538495941752000,
54723148314280857289946225897244098718577176526722958059923639484246227167756470350994473 / 31230887854900580059209793221744574762258739146773817984152502029373520190803462043240
]
考慮一個列舉區間內 \(\max a, \max b\) 出現的位置 \(i, j\)，那麼我們只需要列舉每一個 \(i\)，以及 \(j \in [la_i, ra_i]\)，由上面的分析，總的時間複雜度為 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。那麼我們可能需要稍微討論一下 \(j\) 的關係。
- \(rb_j \lt i\) 或 \(lb_j \gt i\)：
此時直接跳過這種情況，因為不可能存在一個區間，包含 \(i, j\) 的同時，讓 \(i, j\) 分別成為最大值。 - \(j < i\)：
只要區間左端點屬於紅色區域，右端點屬於藍色區域，就能有 \(a_i \times b_j\) 的貢獻。形式化地表達紅藍區域如下：\(\Big[\max\{lb_j, la_i\}, j \Big]\)、\(\Big[i, \min\{rb_j, ra_i\}\Big]\)。 - \(j > i\)：
這是類似的，紅藍區域如下：\(\Big[\max\{lb_j, la_i\}, i \Big]\)、\(\Big[j, \min\{rb_j, ra_i\}\Big]\)。
好吧，發現根本不用分類討論：\(L = \Big[\max\{lb_j, la_i\}, \min\{i, j\} \Big]\)、\(R = \Big[\max\{i, j\}, \min\{rb_j, ra_i\}\Big]\)。我們發現，如果把一個區間 \([l, r]\) 對映到二維笛卡爾座標系的一個點 \((l, r)\)，那麼 \(L \times R\) 就是一個矩形，而我們求的便是一個三角形！
如果我們查詢為 \((L, R)\)，那麼想想列舉 \(l = L \sim R\)，每次 \(r = l \sim R\) 的過程，就是上圖粉色三角形內每一個點的點權和！點權就是區間對應的 \(\max a_i \times \max b_j\)。而我們處理出了不多的矩形，每個矩形內的權值相同！所以可以直接上掃描線和歷史版本和了。