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同態加密,是解決雲端計算和分散式機器學習中資料安全問題的關鍵技術,也是隱私計算中,橫跨多方安全計算,聯邦學習和可信執行環境多個技術分支的熱門研究方向。
經典同態加密演演算法Pailier演演算法及其相關技術進行介紹,重點分析了Paillier的實現原理和效能最佳化方案,同時對基於公鑰的加密演演算法中的熱門演演算法進行了橫向對比。最後介紹了Paillier演演算法的一些實際應用。
【關鍵詞】:同態加密,多方安全計算,聯邦學習,隱私計算
1 背景知識
1.1 同態加密
同態加密(Homomorphic Encryption,HE)[1] 是將資料加密後,對加密資料進行運算處理,之後對資料進行解密,解密結果等同於資料未進行加密,並進行同樣的運算處理。同態加密的概念最初在1978年,由Ron Rivest,Leonard Adleman和Michael L. Dertouzos共同提出,旨在解決在不接觸資料的前提下,對資料進行加工處理的問題。
目前,同態加密支援的運算主要為加法運算和乘法運算。按照其支援的運算程度,同態機密分為半同態加密(Partially Homomorphic Encryption, PHE)和全同態加密(Fully Homomorphic Encryption, FHE)。半同態加密在資料加密後只持加法運算或乘法運算中的一種,根據其支援的運算的不同,又稱為加法同態加密或乘法同態加密。半同態加密由於機制相對簡單,相對於全同態加密技術,擁有著更好的效能。全同態加密對加密後的資料支援任意次數的加法和乘法運算。
1.2 複合剩餘類問題
如果存在一個數y ∈ Z n 2 ∗ y∈\mathbb{Z}_{n^2}^\asty∈Z
n
2
∗
, 那麼符合公式z ≡ y n ( m o d n 2 ) z ≡ y^n\ (mod\ n^2)z≡y
n
(mod n
2
)的數z,稱為y的模n 2 n^2n
2
的n階剩餘。複合剩餘類問題(decisional composite residuosity assumption , DCRA),指的是給定一個合數n和整數z,很難確定模n 2 n^2n
2
的n階剩餘數z是否存在。
1.3 中國剩餘定理
中國剩餘定理(Chinese Remainder Theorem, CRT),又稱為孫子定理,源於《孫子算經》,是數論中的一個關於一元線性同餘方程組的定理,說明瞭一元線性同餘方程組有解的準則以及求解方法。
有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。問物幾何?
翻譯為數學語言為:
{ x ≡ 2 ( m o d 3 ) x ≡ 3 ( m o d 5 ) x ≡ 2 ( m o d 7 ) \left\{
x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)
x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)
\right.
⎩
⎨
⎧
x≡2(mod3)
x≡3(mod5)
x≡2(mod7)
其通用方程為:
{ x ≡ a 0 ( m o d n 0 ) x ≡ a 1 ( m o d n 1 ) . . . x ≡ a k ( m o d n k ) \left\{
x≡a0(modn0)x≡a1(modn1)...x≡ak(modnk)
x≡a0(modn0)x≡a1(modn1)...x≡ak(modnk)
\right.
⎩
⎨
⎧
x≡a
0
(modn
0
)
x≡a
1
(modn
1
)
...
x≡a
k
(modn
k
)
中國剩餘定理的解法流程為:
計算所有模數的乘積 n = ∏ i = 0 k n i n = \prod_{i\ =\ 0}^{k}n_in=∏
i = 0
k
n
i
計算m i = n / n i , c i = m i ∗ m i − 1 m_i = n / n_i, c_i = m_i * m_i^{-1}m
i
=n/n
i
,c
i
=m
i
∗m
i
−1
方程組的解為:x = ∑ i = 0 k a i c i ( m o d n ) x = \sum_{i\ =\ 0}^{k}{a_ic_i\ (mod\ n)}x=∑
i = 0
k
a
i
c
i
(mod n)
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