10.16

好的，讓我們逐句解析這段程式碼，並分析其總體功能。

逐句解析

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

• 引入標準庫，bits/stdc++.h 是一個包含常用 C++ 標標頭檔案的標頭檔案，簡化了包含過程。

const int mod = 1e9 + 7;

• 定義常量 mod，值為 (10^9 + 7)，用於取模運算，防止大數溢位。

struct er {
    int n, k, id;
} a[100010];

• 定義一個結構體 er，包含三個整數：n、k 和 id。陣列 a 用於儲存最多 100010 個測試案例的輸入。

int c[100010] = { 1 };

• 定義陣列 c，初始化第一個元素為 1，用於儲存 (2^i \mod (10^9 + 7)) 的值。

int main() 
{

• 主函式開始，程式執行從這裡開始。

    int t; cin >> t;

• 讀取測試案例的數量 t。

    for (int i = 0; i < t; i++) {
        cin >> a[i].n;
    }

• 迴圈讀取每個測試案例的 n 值。

    for (int i = 0; i < t; i++) {
        cin >> a[i].k; a[i].id = i;
    }

• 迴圈讀取每個測試案例的 k 值，並將 id 設定為當前的索引 i。

    int ans = 1;
    for (int i = 1; i < 100010; i++) {
        ans *= 2; ans %= mod;
        c[i] = ans;
    }

• 初始化 ans 為 1，計算並儲存 (2^i \mod (10^9 + 7)) 到陣列 c 中，利用取模防止溢位。

    for (int i = 0; i < t; i++) {
        if (a[i].n > a[i].k)
            cout << c[a[i].k];
        else if (a[i].n == a[i].k) cout << 1;
        else cout << 0;
        cout << endl;
    }
}

• 對每個測試案例進行判斷：
  • 如果 n > k，輸出 c[k]（即 (2^k \mod (10^9 + 7))）。
  • 如果 n == k，輸出 1。
  • 如果 n < k，輸出 0。
  • 每次輸出後換行。

大體分析

這段程式碼的功能是處理一系列的測試案例，計算特定條件下的結果。具體來說，它計算了給定的 n 和 k 值的關係，並根據這個關係輸出相應的結果，利用了預先計算好的 (2^k \mod (10^9 + 7)) 來提高效率。這種邏輯在許多演算法競賽中很常見，通常用於組合數學或數論問題。你是否對某個特定方面想更深入地探討？

這段程式碼利用了組合數的基本原理以及指數的性質，具體原理如下：

1. 組合數的定義：

   • 從 (n) 個元素中選擇 (k) 個元素的組合數是 (C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n-k)!})。
   • 這裡的選擇是有順序和無重複的。

2. 指數的性質：

   • (2^k) 表示對 (k) 個元素的所有可能組合，包括選擇和不選擇的情況，因此可以被視為從 (k) 個元素中選擇任意數量元素的方式總數。

3. 條件判斷的解釋：

   • 當 (n > k)：可以從 (n) 個元素中自由選擇 (k) 個，因此輸出所有選擇方式 (c[k])（即 (2^k)）。
   • 當 (n == k)：只有一種方式，就是選擇所有元素，因此輸出 1。
   • 當 (n < k)：無法選擇更多元素，因此輸出 0。

綜上所述：

這個解決方案透過將組合數問題轉化為指數問題，利用 (2^k) 的性質來簡化計算，從而有效地解決了選擇問題。