認識python中的數字

bluepeach發表於2021-09-11
Python

認識python中的數字

概要

本提案定義了一種抽象基類（ABC）（PEP 3119）的層次結構，用來表示類似數字（number-like）的類。它提出了一個 Number :> Complex :> Real :> Rational :> Integral 的層次結構，其中 A :> B 表示“A 是 B 的超類”。該層次結構受到了 Scheme 的數字塔（numeric tower）啟發。（譯註：數字--複數--實數--有理數--整數）

基本原理

以數字作為引數的函式應該能夠判定這些數字的屬性，並且根據數字的型別，確定是否以及何時進行過載，即基於引數的型別，函式應該是可過載的。

例如，切片要求其引數為Integrals，而math模組中的函式要求其引數為Real。    

規範

本 PEP 規定了一組抽象基類（Abstract Base Class），並提出了一個實現某些方法的通用策略。它使用了來自於PEP 3119的術語，但是該層次結構旨在對特定類集的任何系統方法都有意義。

標準庫中的型別檢查應該使用這些類，而不是具體的內建型別。

數值類

我們從 Number 類開始，它是人們想象的數字型別的模糊概念。此類僅用於過載；它不提供任何操作。

class Number(metaclass=ABCMeta): pass

大多數複數（complex number）的實現都是可雜湊的，但是如果你需要依賴它，則必須明確地檢查：此層次結構支援可變的數。

class Complex(Number):
    """Complex defines the operations that work on the builtin complex type.
    In short, those are: conversion to complex, bool(), .real, .imag,
    +, -, *, /, **, abs(), .conjugate(), ==, and !=.
    If it is given heterogenous arguments, and doesn't have special
    knowledge about them, it should fall back to the builtin complex
    type as described below.
    """
    @abstractmethod
    def __complex__(self):
        """Return a builtin complex instance."""
    def __bool__(self):
        """True if self != 0."""
        return self != 0
    @abstractproperty
    def real(self):
        """Retrieve the real component of this number.
        This should subclass Real.
        """
        raise NotImplementedError
    @abstractproperty
    def imag(self):
        """Retrieve the real component of this number.
        This should subclass Real.
        """
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __add__(self, other):
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __radd__(self, other):
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __neg__(self):
        raise NotImplementedError
    def __pos__(self):
        """Coerces self to whatever class defines the method."""
        raise NotImplementedError
    def __sub__(self, other):
        return self + -other
    def __rsub__(self, other):
        return -self + other
    @abstractmethod
    def __mul__(self, other):
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __rmul__(self, other):
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __div__(self, other):
        """a/b; should promote to float or complex when necessary."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __rdiv__(self, other):
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __pow__(self, exponent):
        """a**b; should promote to float or complex when necessary."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __rpow__(self, base):
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __abs__(self):
        """Returns the Real distance from 0."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def conjugate(self):
        """(x+y*i).conjugate() returns (x-y*i)."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __eq__(self, other):
        raise NotImplementedError
    # __ne__ is inherited from object and negates whatever __eq__ does.

Real抽象基類表示在實數軸上的值，並且支援內建的float的操作。實數（Real number）是完全有序的，除了 NaN（本 PEP 基本上不考慮它）。    

class Real(Complex):
    """To Complex, Real adds the operations that work on real numbers.
    In short, those are: conversion to float, trunc(), math.floor(),
    math.ceil(), round(), divmod(), //, %, <, <=, >, and >=.
    Real also provides defaults for some of the derived operations.
    """
    # XXX What to do about the __int__ implementation that's
    # currently present on float?  Get rid of it?
    @abstractmethod
    def __float__(self):
        """Any Real can be converted to a native float object."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __trunc__(self):
        """Truncates self to an Integral.
        Returns an Integral i such that:
          * i>=0 iff self>0;
          * abs(i) <= abs(self);
          * for any Integral j satisfying the first two conditions,
            abs(i) >= abs(j) [i.e. i has "maximal" abs among those].
        i.e. "truncate towards 0".
        """
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __floor__(self):
        """Finds the greatest Integral <= self."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __ceil__(self):
        """Finds the least Integral >= self."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __round__(self, ndigits:Integral=None):
        """Rounds self to ndigits decimal places, defaulting to 0.
        If ndigits is omitted or None, returns an Integral,
        otherwise returns a Real, preferably of the same type as
        self. Types may choose which direction to round half. For
        example, float rounds half toward even.
        """
        raise NotImplementedError
    def __divmod__(self, other):
        """The pair (self // other, self % other).
        Sometimes this can be computed faster than the pair of
        operations.
        """
        return (self // other, self % other)
    def __rdivmod__(self, other):
        """The pair (self // other, self % other).
        Sometimes this can be computed faster than the pair of
        operations.
        """
        return (other // self, other % self)
    @abstractmethod
    def __floordiv__(self, other):
        """The floor() of self/other. Integral."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __rfloordiv__(self, other):
        """The floor() of other/self."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __mod__(self, other):
        """self % other
        See
        
        and consider using "self/other - trunc(self/other)"
        instead if you're worried about round-off errors.
        """
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __rmod__(self, other):
        """other % self"""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __lt__(self, other):
        """< on Reals defines a total ordering, except perhaps for NaN."""
        raise NotImplementedError
    @abstractmethod
    def __le__(self, other):
        raise NotImplementedError
    # __gt__ and __ge__ are automatically done by reversing the arguments.
    # (But __le__ is not computed as the opposite of __gt__!)
    # Concrete implementations of Complex abstract methods.
    # Subclasses may override these, but don't have to.
    def __complex__(self):
        return complex(float(self))
    @property
    def real(self):
        return +self
    @property
    def imag(self):
        return 0
    def conjugate(self):
        """Conjugate is a no-op for Reals."""
        return +self

我們應該整理 Demo/classes/Rat.py，並把它提升為 Rational.py 加入標準庫。然後它將實現有理數（Rational）抽象基類。

class Rational(Real, Exact):
    """.numerator and .denominator should be in lowest terms."""
    @abstractproperty
    def numerator(self):
        raise NotImplementedError
    @abstractproperty
    def denominator(self):
        raise NotImplementedError
    # Concrete implementation of Real's conversion to float.
    # (This invokes Integer.__div__().)
    def __float__(self):
        return self.numerator / self.denominator

最後是整數類：

class Integral(Rational):
    """Integral adds a conversion to int and the bit-string operations."""
    @abstractmethod
    def __int__(self):
        raise NotImplementedError
    def __index__(self):
        """__index__() exists because float has __int__()."""
        return int(self)
    def __lshift__(self, other):
        return int(self) << int(other)
    def __rlshift__(self, other):
        return int(other) << int(self)
    def __rshift__(self, other):
        return int(self) >> int(other)
    def __rrshift__(self, other):
        return int(other) >> int(self)
    def __and__(self, other):
        return int(self) & int(other)
    def __rand__(self, other):
        return int(other) & int(self)
    def __xor__(self, other):
        return int(self) ^ int(other)
    def __rxor__(self, other):
        return int(other) ^ int(self)
    def __or__(self, other):
        return int(self) | int(other)
    def __ror__(self, other):
        return int(other) | int(self)
    def __invert__(self):
        return ~int(self)
    # Concrete implementations of Rational and Real abstract methods.
    def __float__(self):
        """float(self) == float(int(self))"""
        return float(int(self))
    @property
    def numerator(self):
        """Integers are their own numerators."""
        return +self
    @property
    def denominator(self):
        """Integers have a denominator of 1."""
        return 1

運算及__magic__方法的變更

為了支援從 float 到 int（確切地說，從 Real 到 Integral）的精度收縮，我們提出了以下新的 __magic__ 方法，可以從相應的庫函式中呼叫。所有這些方法都返回 Intergral 而不是 Real。

__trunc__(self)：在新的內建 trunc(x) 裡呼叫，它返回從 0 到 x 之間的最接近 x 的 Integral。

__floor__(self)：在 math.floor(x) 裡呼叫，返回最大的 Integral <= x。  

__ceil__(self)：在 math.ceil(x) 裡呼叫，返回最小的 Integral > = x。  

__round__(self)：在 round(x) 裡呼叫，返回最接近 x 的 Integral ，根據選定的型別作四捨五入。浮點數將從 3.0 版本起改為向偶數端四捨五入。（譯註：round(2.5) 等於 2，round(3.5) 等於 4）。它還有一個帶兩引數的版本__round__(self, ndigits)，被 round(x, ndigits) 呼叫，但返回的是一個 Real。

在 2.6 版本中，math.floor、math.ceil 和 round 將繼續返回浮點數。    

float 的 int() 轉換等效於 trunc()。一般而言，int() 的轉換首先會嘗試__int__()，如果找不到，再嘗試__trunc__()。

complex.__{divmod, mod, floordiv, int, float}__ 也消失了。提供一個好的錯誤訊息來幫助困惑的搬運工會很好，但更重要的是不出現在 help(complex) 中。   

給型別實現者的說明

實現者應該注意使相等的數字相等，並將它們雜湊為相同的值。如果實數有兩個不同的擴充套件，這可能會變得微妙。例如，一個複數型別可以像這樣合理地實現 hash()：

def __hash__(self):
    return hash(complex(self))

但應注意所有超出了內建複數範圍或精度的值。

新增更多數字抽象基類

當然，數字還可能有更多的抽象基類，如果排除了新增這些數字的可能性，這會是一個糟糕的等級體系。你可以使用以下方法在 Complex 和 Real 之間新增MyFoo：

class MyFoo(Complex): ...
MyFoo.register(Real)

實現算術運算

我們希望實現算術運算，使得在混合模式的運算時，要麼呼叫者知道如何處理兩種引數型別，要麼將兩者都轉換為最接近的內建型別，並以此進行操作。

對於 Integral 的子型別，這意味著__add__和__radd__應該被定義為：

class MyIntegral(Integral):
    def __add__(self, other):
        if isinstance(other, MyIntegral):
            return do_my_adding_stuff(self, other)
        elif isinstance(other, OtherTypeIKnowAbout):
            return do_my_other_adding_stuff(self, other)
        else:
            return NotImplemented
    def __radd__(self, other):
        if isinstance(other, MyIntegral):
            return do_my_adding_stuff(other, self)
        elif isinstance(other, OtherTypeIKnowAbout):
            return do_my_other_adding_stuff(other, self)
        elif isinstance(other, Integral):
            return int(other) + int(self)
        elif isinstance(other, Real):
            return float(other) + float(self)
        elif isinstance(other, Complex):
            return complex(other) + complex(self)
        else:
            return NotImplemented

對 Complex 的子類進行混合型別操作有 5 種不同的情況。我把以上所有未包含 MyIntegral 和 OtherTypeIKnowAbout 的程式碼稱為“樣板”。

a 是 A 的例項，它是Complex(a : A <: Complex) 的子型別，還有 b : B <: Complex。對於 a + b，我這麼考慮：

  • 如果 A 定義了接受 b 的__add__，那麼沒問題。

  • 如果 A 走到了樣板程式碼分支（譯註：else 分支），還從__add__返回一個值的話，那麼我們就錯過了為 B 定義一個更智慧的__radd__的可能性，因此樣板應該從__add__返回 NotImplemented。（或者 A 可以不實現__add__）

  • 然後 B 的__radd__的機會來了。如果它接受 a，那麼沒問題。

  • 如果它走到樣板分支上，就沒有辦法了，因此需要有預設的實現。

  • 如果 B <: A，則 Python 會在 A.__ add__之前嘗試 B.__ radd__。這也可以，因為它是基於 A 而實現的，因此可以在委派給 Complex 之前處理這些例項。

如果 A <: Complex 和 B <: Real 沒有其它關係，則合適的共享操作是內建複數的操作，它們的__radd__都在其中，因此 a + b == b + a。（譯註：這幾段沒看太明白，可能譯得不對）

被拒絕的方案

本 PEP 的初始版本定義了一個被 Haskell Numeric Prelude 所啟發的代數層次結構，其中包括 MonoidUnderPlus、AdditiveGroup、Ring 和 Field，並在得到數字之前，還有其它幾種可能的代數型別。

我們原本希望這對使用向量和矩陣的人有用，但 NumPy 社群確實對此並不感興趣，另外我們還遇到了一個問題，即便 x 是 X <: MonoidUnderPlus 的例項，而且 y 是 Y < : MonoidUnderPlus 的例項，x + y 可能還是行不通。           

然後，我們為數字提供了更多的分支結構，包括高斯整數（Gaussian Integer）和 Z/nZ 之類的東西，它們可以是 Complex，但不一定支援“除”之類的操作。

社群認為這對 Python 來說太複雜了，因此我現在縮小了提案的範圍，使其更接近於 Scheme 數字塔。

十進位制型別

經與作者協商，已決定目前不將 Decimal 型別作為數字塔的一部分。

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