原文連結：Graph Data Structures for Beginners

眾成翻譯地址：初學者應該瞭解的資料結構： Graph

系列文章，建議不瞭解圖的同學慢慢閱讀一下這篇文章，希望對你有所幫助~如果想深入理解圖，那不建議閱讀這篇基礎文章，這裡有更多深入的知識可以探索~以下是譯文正文：

在這篇文章中，我們將要探索非線性的資料結構：圖，將涵蓋它的基本概念及其典型的應用。

你很可能在不同的應用中接觸到圖（或樹）。比如你想知道從家出發怎麼去公司最近，就可以利用圖的（尋路）演算法來得到答案！我們將探討上述場景與其他有趣的情況。

在上一篇文章中，我們探討了線性的資料結構，如陣列、連結串列、集合、棧等。本文將以此（譯者注：即線性資料結構，沒看過前文也沒關係，其實也很好懂）為基礎。

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本篇是以下教程的一部分（譯者注：如果大家覺得還不錯，我會翻譯整個系列的文章）:

初學者應該瞭解的資料結構與演算法（DSA）

1. 演算法的時間複雜性與大 O 符號
2. 每個程式設計師應該知道的八種時間複雜度
3. 初學者應該瞭解的資料結構：Array、HashMap 與 List (譯文)
4. 初學者應該瞭解的資料結構： Graph ? 即本文
5. 初學者應該瞭解的資料結構：Tree (敬請期待)
6. 附錄 I：遞迴演算法分析

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以下是本文對圖操作的小結：

	鄰接表	鄰接矩陣
空間複雜度	O(|V|+ |E|)	O(|V|²)
新增頂點	O(1)	O(|V|²)
移除頂點	O(|V| + |E|)	O(|V|)²
新增邊	O(1)	O(1)
移除邊 (基於 Array 實現)	O(|E|)	O(1)
移除邊 (基於 HashSet 實現)	O(1)	O(1
獲取相鄰的頂點	O(|E|)	O(|V|)
判斷是否相鄰 (基於 Array 實現)	O(|E|)	O(1)
判斷是否相鄰 (基於 HashSet 實現)	O(1)	O(1)

圖的基礎

圖是一種（包含若干個節點），每個節點可以連線 0 個或多個元素

兩個節點相連的部分稱為邊（edge）。節點也被稱作頂點（vertice）。

一個頂點的**度（degree）**是指與該頂點相連的邊的條數。比如上圖中，紫色頂點的度是 3，藍色頂點的度是 1。

如果所有的邊都是雙向（譯者注：或者理解為沒有方向）的，那我們就有了一個無向圖（undirected graph）。反之如果邊是有向的，我們得到的就是有向圖（directed graph）。你可以將有向圖和無向圖想象為單行道或雙行道組成的交通網。

頂點的邊可以是從自己出發再連線回自己（如藍色的頂點），擁有這樣的邊的圖被稱為自環。

圖可以有環（cycle），即如果遍歷圖的頂點，某個頂點可以被訪問超過一次。而沒有環的圖被稱為無環圖（acyclic graph）。

此外，無環無向圖也被稱為樹（tree）。在下篇文章中，我們將深入套路這種資料結構。

在圖中，從一個頂點出發，並非所有頂點都是可到達的。可能會存在孤立的頂點或者是相分離的子圖。如果一個圖所有頂點都至少有一條邊（譯者注：原文表述有點奇怪，個人認為不應該是至少有一條邊，而是從任一節點出發，沿著各條邊可以訪問圖中任意節點），這樣的圖被稱為連通圖（connected graph）。而當一個圖中兩兩不同的頂點之間都恰有一條邊相連，這樣的圖就是完全圖（complete graph）。

對於完全圖而言，每個頂點都有 圖的頂點數 - 1 條邊。在上面完全圖的例子中，一共有7個頂點，因此每個頂點有6條邊。

圖的應用

當圖的每條邊都被分配了權重時，我們就有了一個加權圖（weighted graph）。如果邊的權重被忽略，那麼可以將（每條邊的）權重都視為 1（譯者注：權重都是一樣，也就是無權重）。

加權圖應用的場景很多，根據待解決問題主體的不同，有不同的展現。一起來看一些具體的場景吧：

• 航空線路圖 (如上圖所示)

  • 頂點 = 機場
  • 邊 = 兩個機場間的飛行線路
  • 權重 = 兩個機場間的距離

• GPS 導航

  • 頂點 = 交叉路口
  • 邊 = 道路
  • 權重 = 從一個路口到另一個路口所花的時間

• 網路

  • 頂點 = 伺服器
  • 邊 = 資料鏈路
  • 權重 = 連線速度

一般而言， 圖在現實世界中的應用有：

• 電子電路
• 航空控制
• 行車導航
• 電信設施： 基站建設規劃
• 社交網路： Facebook 利用圖來推薦（你可能認識的）朋友
• 推薦系統： Amazon/Netflix 利用圖來推薦產品與電影
• 利用圖來規劃物流線路

我們學習了圖的基礎以及它的一些應用場景。接下來一起學習怎麼使用程式碼來表示圖。

圖的表示

圖的表示有兩種主要方式：

1. 鄰接表
2. 鄰接矩陣

讓我們以有向圖為例子，闡述這兩種表示方式：

這是一個擁有四個頂點的圖。當一個頂點有一條邊指向它自身時（譯者注：即閉合的路徑），稱之為自環（self-loop）。

鄰接矩陣

鄰接矩陣使用二維陣列（N x N）來表示圖。如若不同頂點存在連線的邊，就賦值兩頂點交匯處為1（也可以是這條邊的權重），反之賦值為 0 或者 -。

我們可以通過建立以下的鄰接矩陣，來表示上面的圖：

  a b c d e
a 1 1 - - -
b - - 1 - -
c - - - 1 -
d - 1 1 - -
複製程式碼

如你所見，矩陣水平與垂直兩個方向都列出了所有的頂點。如果圖中只有很少頂點互相連線，那麼這個圖就是稀疏圖（sparse graph）。如果圖相連的頂點很多（接近兩兩頂點都相連）的話，我們稱這種圖為稠密圖（dense graph）。而如果圖的每個頂點都直接連線到除此之外的所有頂點，那就是一個完全圖（complete graph）。

注意，你必須意識到對於無向圖而言，鄰接矩陣始終是對角線對稱的。然而，對於有向圖而言，並非總是如此（反例如上面的有向圖）。

那查詢兩個頂點是否相鄰的時間複雜度是什麼呢？

在鄰接矩陣中，查詢兩個頂點是否相鄰的時間複雜度是 O(1)。

那空間複雜度呢？

利用鄰接矩陣儲存一個圖，空間複雜度是 O(n²)，n 為頂點的數量，因此也可以表示為 O(|V|²)。

新增一個頂點的時間複雜度呢？

鄰接矩陣根據頂點的數量儲存為 V x V 的矩陣。因此每增加一個頂點，矩陣需要重建為 V+1 x V+1 的新矩陣。

（因此，）在鄰接矩陣中新增一個頂點的時間複雜度是 O(|V|²)。

如何獲取相鄰的頂點？

由於鄰接矩陣是一個 V x V 的矩陣，為了獲取所有相鄰的頂點，我們必須去到該頂點所在的行中，查詢它與其他頂點是否有邊。

以上面的鄰接矩陣為例，假設我們想知道與頂點 b 相鄰的頂點有哪些，就需要到達記錄 b 與其他節點關係的那一行中進行查詢。

  a b c d e
b - - 1 - -
複製程式碼

訪問它與其他所有頂點的關係，因此：

在鄰接矩陣中，查詢相鄰頂點的時間複雜度是 O(|V|)。

想象一下，如果你需要將 FaceBook 中人們的關係網表示為一個圖。你必須建立一個 20億 x 20億 的鄰接矩陣，而該矩陣中很多位置都是空的。沒有任何人可能認識其他所有人，最多也就認識幾千個人。

通常，我們使用鄰接矩陣處理稀疏圖時，會浪費很多空間。這就是大多時候使用鄰接表而不是鄰接矩陣去表示一個圖的原因（譯者注：鄰接矩陣也有優勢的，尤其是表示有向稠密圖時，比鄰接表要方便得多）。

鄰接表

表示一個圖，最常用的方式是鄰接表。每個頂點都有一個記錄著與它所相鄰頂點的表。

可以使用一個陣列或者 HashMap 來建立一個鄰接表，它儲存這所有的頂點。每個頂點都有一個列表（可以是陣列、連結串列、集合等資料結構），存放著與其相鄰的頂點。

例如上面的圖，對於頂點 a，與之相鄰的有頂點 b，同時也是自環；而頂點 b 則有指向頂點 c 的邊，如此類推：

a -> { a b }
b -> { c }
c -> { d }
d -> { b c }
複製程式碼

和想象中的一樣，如果想知道一個頂點是否連線著其他頂點，就必須遍歷（頂點的）整個列表。

在鄰接表中查詢兩個頂點是否相連的時間複雜度是 O(n)，n 為頂點的數量，因此也可以表示為 O(|V|)。

那空間複雜度呢？

利用鄰接表儲存一個圖的空間複雜度是 O(n)，n 為頂點數量與邊數量之和，因此也可以表示為 O(|V| + |E|)。

基於 HashMap 實現的鄰接表

要表示一個圖，最常見的方式是使用鄰接表。有幾種實現鄰接表的方式：

最簡單的實現方式之一是使用 HashMap。HashMap 的鍵是頂點的值，HashMap 的值是一個鄰接陣列（即也該頂點相鄰頂點的集合）。

const graph = {
  a：[ 'a'，'b' ]，
  b：[ 'c' ]，
  c：[ 'd' ]，
  d：[ 'b'，'c' ]
};
複製程式碼

圖通常需要實現以下兩種操作：

• 新增或刪除頂點。
• 新增或刪除邊。

新增或刪除一個頂點需要更新鄰接表。

假設需要刪除頂點 b。我們不但需要 delete graph['b']，還需要刪除頂點 a 與頂點 d 的鄰接陣列中的引用。

每當移除一個頂點，都需要遍歷整個鄰接表，因此時間複雜度是 O(|V| + |E|)。有更好的實現方式嗎？稍後再回答這問題。首先讓我們以更物件導向的方式實現鄰接表，之後切換（鄰接表的底層）實現將更容易。

基於鄰接表，以物件導向風格實現圖

先從頂點的類開始，在該類中，除了儲存頂點自身以及它的相鄰頂點集合之外，還會編寫一些方法，用於在鄰接表中增加或刪除相鄰的頂點。

class Node {
  constructor(value) {
    this.value = value;
    this.adjacents = []; // adjacency list
  }

  addAdjacent(node) {
    this.adjacents.push(node);
  }

  removeAdjacent(node) {
    const index = this.adjacents.indexOf(node);
    if (index > -1) {
      this.adjacents.splice(index, 1);
      return node;
    }
  }

  getAdjacents() {
    return this.adjacents;
  }

  isAdjacent(node) {
    return this.adjacents.indexOf(node) > -1;
  }
}
複製程式碼

注意，addAdjacent 方法的時間複雜度是 O(1)，但刪除相鄰頂點的函式時間複雜度是 O(|E|)。如果不使用陣列而是用 HashSet 會怎樣呢？（刪除相鄰頂點的）時間複雜度會下降到 O(1)。但現在先讓程式碼能跑起來，之後再做優化。

Make it work. Make it right. Make it faster.

現在有了 Node 類，是時候編寫 Graph 類，它可以執行新增或刪除頂點和邊。

Graph.constructor

class Graph {
  constructor(edgeDirection = Graph.DIRECTED) {
    this.nodes = new Map();
    this.edgeDirection = edgeDirection;
  }
  // ...
}
Graph.UNDIRECTED = Symbol('directed graph'); // one-way edges
Graph.DIRECTED = Symbol('undirected graph'); // two-ways edges
複製程式碼

首先，我們需要確認圖是有向還是無向的，當新增邊時，這會有所不同。

Graph.addEdge

新增一條新的邊，需要知道兩個頂點：邊的起點與邊的終點。

addEdge(source, destination) {
  const sourceNode = this.addVertex(source);
  const destinationNode = this.addVertex(destination);
  sourceNode.addAdjacent(destinationNode);
  if(this.edgeDirection === Graph.UNDIRECTED) {
    destinationNode.addAdjacent(sourceNode);
  }
  return [sourceNode, destinationNode];
}
複製程式碼

我們往邊的起點新增了一個相鄰頂點（即邊的終點）。如果該圖是無向圖，也需要往邊的終點新增一個相鄰頂點（即邊的起點），因為（無向圖中）邊是雙向的。

在鄰接表中新增一條邊的時間複雜度是：O(1)。

如果新新增的邊兩端的頂點並不存在，就必需先建立（不存在的頂底），下面讓我們來實現它！

Graph.addVertex

建立頂點的方式是往 this.nodes 中新增一個頂點。this.nodes 中儲存著的是一組組鍵值對，鍵是頂點的值，值是 Node 類的例項。注意看下面程式碼的 5-6 行（即 const vertex = new Node(value); this.nodes.set(value, vertex);）：

addVertex(value) {
  if(this.nodes.has(value)) {
    return this.nodes.get(value);
  } else {
    const vertex = new Node(value);
    this.nodes.set(value, vertex);
    return vertex;
  }
}
複製程式碼

沒必要覆寫已存在的頂點。因此先檢查一下頂點是否存在，如果不存在才創造一個新節點。

在鄰接表中新增一個頂點的時間複雜度是： O(1)。

Graph.removeVertex

從一個圖中刪除一個頂點會相對麻煩一點。我們必須檢查待刪除的頂點是否為其他頂點的相鄰頂點。

removeVertex(value) {
  const current = this.nodes.get(value);
  if(current) {
    for (const node of this.nodes.values()) {
      node.removeAdjacent(current);
    }
  }
  return this.nodes.delete(value);
}
複製程式碼

必須訪問每個頂點及其它們的相鄰頂點集合。

在鄰接表中刪除一個頂點的時間複雜度是： O(|V| + |E|)。

最後，一起來實現刪除一條邊吧！

Graph.removeEdge

刪除一條邊是十分簡單的，與新增一條邊類似。

removeEdge(source, destination) {
  const sourceNode = this.nodes.get(source);
  const destinationNode = this.nodes.get(destination);
  if(sourceNode && destinationNode) {
    sourceNode.removeAdjacent(destinationNode);
    if(this.edgeDirection === Graph.UNDIRECTED) {
      destinationNode.removeAdjacent(sourceNode);
    }
  }
  return [sourceNode, destinationNode];
}
複製程式碼

刪除與新增一條邊主要的不同是：

• 如果邊兩端的頂點不存在，不再需要建立它。
• 使用Node.removeAdjacent 而不是 Node.addAdjacent。

由於 removeAdjacent 需要遍歷相鄰節點的集合，因此它的執行時是：

在鄰接表中刪除一條邊的時間複雜度是： O(|E|)。

接下來，我們將討論如何從圖中搜尋。

廣度優先搜尋(BFS) - 圖的搜尋

廣度優先搜尋是一種從最初的頂點開始，優先訪問所有相鄰頂點的搜尋方法。

接下來一起看看如何用程式碼來實現它：

*bfs(first) {
  const visited = new Map();
  const visitList = new Queue();
  visitList.add(first);
  while(!visitList.isEmpty()) {
    const node = visitList.remove();
    if(node && !visited.has(node)) {
      yield node;
      visited.set(node);
      node.getAdjacents().forEach(adj => visitList.add(adj));
    }
  }
}
複製程式碼

正如你所見的一樣，我們使用了一個佇列來暫存待訪問的頂點，佇列遵循先進先出（FIFO）的原則。

同時也是用了 JavaScript generators，要注意函式名前面 *（，那是生成器的標誌）。通過生成器，可以一次迭代一個值（即頂點）。對於巨型（包含數以百萬計的頂點）的圖而言是很有用的，很多情況下不用訪問圖的每一個頂點。

以下是如何使用上述 BFS 程式碼的示例：

const graph = new Graph(Graph.UNDIRECTED);
const [first] = graph.addEdge(1, 2);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(5, 2);
graph.addEdge(6, 3);
graph.addEdge(7, 3);
graph.addEdge(8, 4);
graph.addEdge(9, 5);
graph.addEdge(10, 6);
bfsFromFirst = graph.bfs(first);
bfsFromFirst.next().value.value; // 1
bfsFromFirst.next().value.value; // 2
bfsFromFirst.next().value.value; // 3
bfsFromFirst.next().value.value; // 4
// ...
複製程式碼

你可以在這找到更多的測試程式碼。

接下來該講述深度優先搜尋了！

深度優先搜尋 (DFS) -圖的搜尋

深度優先搜尋是圖的另一種搜尋方法，通過遞迴搜尋頂點的首個相鄰頂點，再搜尋其他相鄰頂點，從而訪問所有的頂點。

DFS 的實現近似於 BFS，但使用的是棧而不是佇列：

*dfs(first) {
  const visited = new Map();
  const visitList = new Stack();
  visitList.add(first);
  while(!visitList.isEmpty()) {
    const node = visitList.remove();
    if(node && !visited.has(node)) {
      yield node;
      visited.set(node);
      node.getAdjacents().forEach(adj => visitList.add(adj));
    }
  }
}
複製程式碼

測試例子如下：

const graph = new Graph(Graph.UNDIRECTED);
const [first] = graph.addEdge(1, 2);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(5, 2);
graph.addEdge(6, 3);
graph.addEdge(7, 3);
graph.addEdge(8, 4);
graph.addEdge(9, 5);
graph.addEdge(10, 6);
dfsFromFirst = graph.dfs(first);
visitedOrder = Array.from(dfsFromFirst);
const values = visitedOrder.map(node => node.value);
console.log(values); // [1, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 2, 5, 9]
複製程式碼

正如你所看到的，BFS 與 DFS 所用的圖（的資料）是一樣的，然而訪問頂點的順序卻非常不一樣。BFS 是從 1 到 10 按順序輸出，DFS 則是先進入最深處訪問頂點（譯者注：其實這個例子是先序遍歷，看起來可能不太像先深入最深處）。

圖的時間與空間複雜度

我們接觸了圖的一些基礎操作，如何新增和刪除一個頂點或一條邊，以下是前文涵蓋內容的小結：

	鄰接表	鄰接矩陣
空間複雜度	O(|V|+ |E|)	O(|V|²)
新增頂點	O(1)	O(|V|²)
移除頂點	O(|V| + |E|)	O(|V|)²
新增邊	O(1)	O(1)
移除邊 (基於 Array 實現)	O(|E|)	O(1)
移除邊 (基於 HashSet 實現)	O(1)	O(1
獲取相鄰的頂點	O(|E|)	O(|V|)
判斷是否相鄰 (基於 Array 實現)	O(|E|)	O(1)
判斷是否相鄰 (基於 HashSet 實現)	O(1)	O(1)

正如上表所示，鄰接表中幾乎所有的操作方法都是更快的。鄰接矩陣比鄰接表效能更高的方法只有一處：檢查頂點是否與其他頂點相鄰，然而使用 HashSet 而不是 Array 實現鄰接表的話，也能在恆定時間內獲取結果 :)

總結

圖可以是很多現實場景的抽象，如機場，社交網路，網際網路等。我們介紹了一些圖的基礎演算法，如廣度優先搜尋（BFS）與深度優先搜尋（DFS）等。同時權衡了圖的不同實現方式：鄰接矩陣和鄰接表。我們將在另外一篇文章（更深入地）介紹圖的其他應用，如查詢圖的兩個頂點間的最短距離及其他有趣的演算法（譯者注：這篇文章介紹的比較基礎，圖的各種演算法才是最有趣的，有興趣的同學可以看這個）。