因為我覺得有點難，所以寫之。只能說有些人的智商水平就這樣了，不是說來到一個平均智商更高的地方就能解決的。
練習 1：
因式分解下面行列式的值：
顯然該行列式的值是四次的。這個答案必然比較複雜，我們考慮試出其因式
將第 \(2,3,4\) 列加到第 \(1\) 列，可以提出因式 \(x+y+z\)，不妨將這個操作記作 \(1+2+3+4\)；\(1+2-3-4\) 可以提出 \(x-y-z\)，\(2-1+3-4\) 可以提出 \(x+y-z\)，\(2-1-3+4\) 可以提出 \(x-y+z\)。
猜測答案為 \(c(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)\)，\(c\) 是一個常數。
將 \(x=0,y=0,z=1\) 帶入，易知 \(c=1\)。答案為 \((x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)\)。
練習 2：
已知 \(\displaystyle |a_{i,i}|>\sum_{j \neq i} |a_{i,j}|\)，證明 \(|A| \neq 0\)。
只需證列向量 \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) 線性無關即可。
反證，若其線性相關，則方程 \(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n\) 有非零解。不妨令 \(|k_1| = \max\{|k_1|,|k_2|,\dots,|k_n|\}\)。
那麼有 \(\displaystyle a_{1,1} = - \sum_{j \neq 1} \frac{k_j}{k_1} a_{1,j}\)，則 \(\displaystyle |a_{1,1}| \leq \sum_{j \neq 1} |\frac{k_j}{k_1}| |a_{1,j}| \leq \sum_{j \neq 1} |a_{1,j}|\)，矛盾。
練習 3（Lagrange 插值）：
給定 \(n\) 個兩兩不同的數 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 和另外 \(n\) 個數 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\)，證明 \(\forall i, f(a_i)=b_i\) 的 \(n-1\) 次多項式 \(f(x)\) 唯一。
設 \(f(x) = c_1+c_2x+c_3x^2+\cdots+c_nx^{n-1}\)，將 \(x=a_1,a_2,\cdots ,a_n\) 帶入，可以得到一個線性方程組。
注意到這個係數矩陣是範德蒙德矩陣，而 \(a\) 兩兩不同，行列式值不為 \(0\)，顯然有唯一解。
練習 4：
求出所有的 \(2024\) 次首一多項式 \(f(x)\)，滿足 \(f(x)\) 的每個復根 \(x_k\)，都有非常值首一多項式 \(g_k(x),h_k(x)\) 滿足 \(f(x) = (x-x_k)g_k(x)h_k(x)\) 且 \(g_k(x),h_k(x)\) 的次高項係數相同。
首先觀察到 \(f(x) = x^{2024}\) 滿足題意。考慮證明其唯一性。
記 \(g_k(x)\) 的根為 \(p_1,p_2,\cdots,p_{n_k}\)，\(h_k(x)\) 的根為 \(q_1,q_2,\cdots,q_{m_k}\)。顯然 \(x_k,p_1,p_2,\cots,p_{n_k},q_1,q_2,\cdots,q_{m_k}\) 為 \(x_1,x_2,\cdots,x_{2024}\) 的重新排列。
記 \(g_k(x)\) 的次高項係數為 \(a_k\)。\(a_k = -(p_1+p_2+\cdots+p_{n_k}) = -(q_1+q_2+\cdots+q_{m_k})\)。
由 \(a_k\) 的這個等式，左減右可以得到一個方程，也即 \(\displaystyle \sum_{j\neq k} c_{kj}x_j = 0\)，其中 \(c_{kj}=1\) 或 \(-1\)。只需要證 \(x\) 沒有非零解即可。
然而 \(C\) 長什麼樣子我們不知道，但是我們可以注意到 \(|C| \mod 2 = 1\)，所以 \(|C| \neq 0\)，無非零解。
練習 5：
直接給出結論：對行列式求導等於對行列式裡的每個函式求導之後求行列式。
練習 6（Sylvester's Identity 推論）：
推論：若 \(\det((a_{i,j})_{(n-m)^2})=0\)，則 \(\det_{1 \leq k,l \leq m}[\det[S_m(k,l)]] = 0\)。
由條件知左上角的方陣行向量線性相關，所以簡單消元消掉第 \(r\) 行（\(1 \leq r \leq n-m\)），係數為 \(\lambda_i\)（顯然 \(\lambda_r = 1\)）。
事實上的 \(k,l\) 獨立，所以提取係數之後可以發現行列式為 \(0\)。