集合習題 | 高階

前情概要

當我們理解了集合的基本層次的內容後，就需要向更高階的題目衝刺，主要是這些內容能幫助我們很好的理解和應用集合的相關內容。集合習題|低階

中階習題

若集合\(M=\{0，1，2\}\)，集合\(N=\{(x，y)\mid x-2y+1\ge 0且x-2y-1\leq 0，x，y\in M\}\)，則集合\(N\)的非空真子集的個數為　【】

$A.30$ $B.14$ $C.16$ $D.32$

分析：由於\(x，y\in M\)，集合\(M=\{0，1，2\}\)，故點\((x，y)\)的所有取值情形有\(9\)種，

即有\((0，0)\)，\((0，1)\)，\((0，2)\)，\((1，0)\)，\((1，1)\)，\((1，2)\)，\((2，0)\)，\((2，1)\)，\((2，2)\)，

將其分別代入條件\(x-2y+1\ge 0\)和\(x-2y-1\leq 0\)驗證，可知，\(N=\{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，1)\}\)，

故集合\(N\)的非空真子集的個數為\(2^4-2=14\)，選\(B\)。

已知集合\(A=\{x\mid 2x^2-3x-2\leq 0\}\)，\(B=[a，a+2]\)，若\(A\cap B=B\)，則實數\(a\)的取值範圍是【】

$A.[-\cfrac{5}{2}，-\cfrac{1}{2}]$ $B.[-\cfrac{1}{2}，0]$ $C.[-\cfrac{1}{2}，2]$ $D.[0，2]$

分析：由\(a+2\leq 2\)且\(a\ge -\cfrac{1}{2}\)，得到\(a\in [-\cfrac{1}{2}，0]\)，故選\(B\)。

【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】設集合\(A=\{x |x^2\leqslant x \}\)，\(B=\{x |\cfrac{1}{x}\geqslant 1\}\)，則\(A\cap B\)=【】

$A.(-\infty，1]$ $B.[0，1]$ $C.(0，1]$ $D.(-\infty，-1]\cup (0，1]$

分析：訓練解不等式和集合運算，選\(C\).

已知集合\(A=\{x\in Z\mid x^2-3x+2\leq 0\}\)，\(B=\{x \mid \cfrac{1}{2}\leq 2^x\leq 4\}\)，則\(A\cap B\)的子集的個數是【 】

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

提示：\(A\cap B=\{1，2\}\)，故選\(D\).

【三輪模擬】設集合\(M=\{x\in R |(x-1)^2\leqslant 1\}\)，\(P=\{x\in R |\cfrac{x-1}{x+2}\leqslant 0\}\)，則\(M\cap P\)=【】

$A.(-2，1]$ $B.[-1，3]$ $C.[0，1]$ $D.(-2，-1]$

分析：訓練解不等式和集合運算，選\(C\).

已知集合\(A=\{x\mid 0<x<2\}\)，集合\(B=\{x\mid -1<x<1\}\)，集合\(C=\{x\mid mx+1>0\}\)，若\((A\cup B)\subseteq C\)，則實數\(m\)的取值範圍是______________。

分析：\(A\cup B=(-1,2)\)，由題目可知\((-1,2)\subseteq C\)，集合\(C=\{x\mid mx+1>0\}\)，

當\(m>0\)時，\(x>-\cfrac{1}{m}\)，則\(C=(-\cfrac{1}{m},+\infty)\)，則\(-\cfrac{1}{m}\leqslant -1\)，解得\(m\leqslant 1\)，故\(0<m\leqslant 1\)；

當\(m=0\)時，\(C=R\)，滿足題意；

當\(m<0\)時，\(x<-\cfrac{1}{m}\)，則\(C=(-\infty,-\cfrac{1}{m})\)，則\(-\cfrac{1}{m}\geqslant 2\)，解得\(m\geqslant -\cfrac{1}{2}\)，故\(-\cfrac{1}{2}\leqslant m <0\)；

綜上所述，實數\(m\)的取值範圍是\([-\cfrac{1}{2},1]\)；

在關於\(x\)的不等式\(x^2-(a+1)x+a<0\)的解集中至多包含\(2\)個整數，則\(a\)的取值範圍是【】

$A.(-3，5)$ $B.(-2，4)$ $C.[-3,5]$ $D.[-2，4]$

分析：由題目可知，\((x-a)(x-1)<0\)，

當\(a=1\)時，解集為\(\varnothing\)，滿足解集中至多包含\(2\)個整數，符合題意；

當\(a>1\)時，解集為\((1,a)\)，若要解集中至多包含\(2\)個整數，則需要\(a\leqslant 4\)，故\(1<a\leqslant 4\)；

當\(a<1\)時，解集為\((a,1)\)，若要解集中至多包含\(2\)個整數，則需要\(a\geqslant -2\)，故\(-2\leqslant a < 1\)；

綜上所述，實數\(a\)的取值範圍是\([-2,4]\)；

拔高習題

(2016.湖北七市聯考)已知集合 \(P\) \(=\) \(\{n|n=2k-1，k\in N^*\)，\(k\leq 50\}\)，\(Q\) \(=\) \(\{2，3，5\}\)，則集合 \(T\) \(=\) \(\{xy\) \(|\) \(x\in P\)，\(y\in Q\}\) 中元素的個數為多少？

分析：集合\(P\)中分別有 50 個元素，\(Q\)中分別有 3 個元素，兩兩相乘，不計重複共有 \(50\times 3=150\) 個元素，其中重複元素可以這樣統計：

當\(x\in P，y=2\)時，\(xy\)一定時偶數，而\(x\in P，y=3\)與\(x\in P，y=5\)時的\(xy\)值為奇數，二者不會重複；

但是\(x\in P，y=3\)與\(x\in P，y=5\)時的\(xy\)值都是奇數，有可能重複；具體的重複的個數計算如下：

令\(3(2k_1-1)=5(2k_2-1)\)，\(k_1，k_2\in N^*，1\leq k_1，k_2\leq 50\)，變形為\(k_2=\cfrac{3k_1+1}{5}\)，當\(k_1=3，8，13，18，23，28，33，38，43，48\)時，對應的\(k_2\in N^*\)，故重複的元素有10個，故集合\(T=\)中元素的個數為\(150-10=140\)個。

【2019渭南模擬】已知集合\(A=\{(x，y)\mid (x-1)^2+y^2=1\}\)，\(B=\{(x，y) \mid x+y+m\geqslant 0\}\)，若\(A\subseteq B\)，則\(m\)的取值範圍是__________.

分析：集合\(A\)表示圓心在\((1，0)\)，半徑為\(1\)的圓，集合\(B\)表示直線\(x+y+m=0\)的右上方區域，要使得\(A\subseteq B\)，

則圓要在直線\(x+y+m=0\)的右上方區域，則圓心到直線的距離\(d=\cfrac{|1+0+m|}{\sqrt{2}}\geqslant 1\)，解得\(m\geqslant \sqrt{2}-1\)，或者\(m\leqslant -\sqrt{2}-1\)，

結合圖形捨去\(m\leqslant -\sqrt{2}-1\)，故\(m\geqslant \sqrt{2}-1\)，即所求範圍為\(m\in [\sqrt{2}-1，+\infty)\).

【2020學生問題】【新定義問題】設非空集合\(A\)為實數集的子集，若\(A\)滿足下列兩個條件：

(1).\(0\in A\)，\(1\in A\)；

(2).對任意\(x,y\in A\)，\(x+y\in A\)，\(x-y\in A\)，\(xy\in A\)，\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)，則稱\(A\)為一個數域，那麼命題：

①有理數集\(Q\)是一個數域；

②若\(A\)為一個數域，則\(Q\subseteq A\)；

③若\(A\)，\(B\)都是數域，則\(A\cap B\)也是一個數域；

④若\(A\)，\(B\)都是數域，則\(A\cup B\)也是一個數域；

其中真命題的序號為___________。

欲理解如下：比如整數集\(Z\)就不是一個數域，整數集\(Z\)滿足\(0\in Z\)，\(1\in Z\)；但是不滿足條件二，比如\(1\in Z\)，\(2\in Z\)，但是\(\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故整數集\(Z\)不是一個數域；同理，自然數集\(N\)不是數域[同理\(\cfrac{1}{2}\not\in N\)，]，無理數集\(C_RQ\)不是數域[比如\(\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1\not\in C_RQ\)]；

詳細分析如下：

對於①而言，有理數集\(Q\)顯然滿足條件一，對於任意兩個有理數，其四則運算的結果一定是有理數，則滿足條件二，故有理數集\(Q\)是一個數域；即①正確；且有理數集\(Q\)是最小的數域；

對於②而言，理解了有理數集\(Q\)是最小的數域，則容易知道②正確；

[解釋：由於\(A\)為數域，則\(0\in A\)，\(1\in A\)，則對任意正整數\(m\in Z^+\)，必然有\(m=1+1+1+\cdots \in A\)，進而能得到整數集；繼而對\(\forall m，n\in z^+\)，\(m\pm n\in A\)，\(mn\in Q\)，\(\pm \cfrac{m}{n}\in A\)，顯然後半部分構成了分數集；而任意一個有理數可表成兩個整數的商，故\(Q\in A\)]

對於③而言，正確，令\(C=A\cap B\)，則由\(A\)，\(B\)都是數域，則\(0,1\in A\)且\(0,1\in B\)，故\(0,1\in C\)；又由於對任意\(x,y\in A\)，對任意\(x,y\in B\)，則一定有\(x+y\in A\)，\(x-y\in A\)，\(xy\in A\)，\(\cfrac{x}{y}\in A(y\neq 0)\)且一定有\(x+y\in B\)，\(x-y\in B\)，\(xy\in B\)，\(\cfrac{x}{y}\in B(y\neq 0)\)，故必然有\(x+y\in C\)，\(x-y\in C\)，\(xy\in C\)，\(\cfrac{x}{y}\in C(y\neq 0)\)，即\(C\)滿足條件一和二，故\(C\)是數域，也就是\(A\cap B\)是數域，故③正確；

對於④而言，我們前面說明無理數集不能構成數域，但是形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的無理數集合卻是可以構成數域的，說明如下：

令\(a=b=0\)，則\(0\in M\)，令\(a=1，b=0\)，則\(1\in M\)，故滿足條件一；

任取集合\(M\)中的兩個數\(a_1+\sqrt{2}b_1(a_1,b_1\in Q)\)和\(a_2+\sqrt{2}b_2(a_2,b_2\in Q)\)，

容易說明他們的和與差\((a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)\sqrt{2}\in M\)，

其乘積\((a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2+\sqrt{2}b_2)=\cdots=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}\in M\)，

其商(說明一個即可)\(\cfrac{a_1+\sqrt{2}b_1}{a_2+\sqrt{2}b_2}=\cfrac{(a_1+\sqrt{2}b_1)(a_2-\sqrt{2}b_2)}{(a_2+\sqrt{2}b_2)(a_2-\sqrt{2}b_2)}=\cfrac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(-a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}}{a_2^2-2b_2^2}\in M\)

即集合\(M\)滿足條件二；綜上所述，形如\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)的無理數集合可以構成數域，

為了說明④錯誤，我們取\(M=\{a+\sqrt{2}b (a,b\in Q)\}\)，\(N=\{a+\sqrt{3}b (a,b\in Q)\}\)，

此時容易說明\(1+\sqrt{2}\)和\(1+\sqrt{3}\)的和\(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\)並不在其並集\(M\cup N\)中，

故若\(A\)，\(B\)都是數域，則\(A\cup B\)卻不一定是數域；故④錯誤；

綜上所述，正確命題的序號為①②③；

對應練習

已知集合\(A=\{x\in R\mid x-\cfrac{1}{x}=0\}\)，則滿足\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)的集合\(B\)的個數是【】

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.9$

[解析] 解方程\(x-\cfrac{1}{x}=0\)，得\(x=1\)或\(x=-1\)，所以\(A=\{1,-1\}\)，又\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)，

所以\(B=\{0\}\)或\(\{0,1\}\)或\(\{0,-1\}\)或\(\{0,1,-1\}\)，故集合\(B\)共有\(4\)個，故選\(C\).

已知集合\(A=\{x\in R\mid x^2+x-6=0\}\)，\(B=\{x\in R\mid ax-1=0\}\)，若\(B\subseteq A\)，則實數\(a\)的值為【】

$A.\cfrac{1}{3}或-\cfrac{1}{2}$ $B.-\cfrac{1}{3}或\cfrac{1}{2}$ $C.\cfrac{1}{3}或-\cfrac{1}{2}或0$ $D.-\cfrac{1}{3}或\cfrac{1}{2}或0$

提示：仿一次方程，分類討論，選\(D\).

已知集合\(A=\{x\mid -x^2+3x+10\geqslant 0\}\)，\(B=\{x\mid m+1\leqslant x\leqslant 2m-1\}\)，若\(A\cap B\neq \varnothing\)，則\(m\)的取值範圍是【】

$A.[\cfrac{1}{2}，4]$ $B.(-\infty，\cfrac{1}{2})\cup(4，+\infty)$ $C.[2，4]$ $D.(2，4)$

法1：直接法，\(A=[-2，5]\)，\(B=[m+1，2m-1]\)，

由於\(A\cap B\neq \varnothing\)，則\(B\neq \varnothing\)，

則\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant m+1\leqslant 5}\end{array}\right.\)①或\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant 2m-1\leqslant 5}\end{array}\right.\)②,

解①得到，\(2\leqslant m\leqslant 4\)；解②得到，\(2\leqslant m\leqslant 3\)；

求其並集，得到\(2\leqslant m\leqslant 4\)；故選\(C\)；

法2：間接法，\(A=[-2，5]\)，\(B=[m+1，2m-1]\)，先求\(A\cap B=\varnothing\)，

①當\(B=\varnothing\)時，則\(m+1>2m-1\)，解得\(m<2\)；

②當\(B\neq \varnothing\)時，要使得\(A\cap B=\varnothing\)，

則\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{m+1>5}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{2m-1<-2}\end{array}\right.\)

解得\(m>4\)，

綜上可知，\(A\cap B=\varnothing\)時，\(m<2\)或\(m>4\)，

故\(A\cap B\neq\varnothing\)時，\(2\leqslant m\leqslant 4\)，故選\(C\)；

設集合\(A=\{0，-4\}\)，\(B=\{x\mid x^2+2(a+1)x+a^2-1=0，x\in R\}\)，若\(A\cap B=B\)，則實數\(a\)的取值範圍是_________。

提示：由\(A\cap B=B\)，得到\(B\subseteq A\)；分類討論如下：

當\(B=\varnothing\)，\(\Delta=4(a+1)^2-4(a^2-1)<0\)，解得\(a<-1\)；

當\(B\)為單元素集時，即\(B=\{0\}\)或\(B=\{-4\}\)，詳述如下，

當\(B=\{0\}\)時，將\(x=0\)代入方程得到\(a^2-1=0\)，解得\(a=1\)或者\(a=-1\)，

接下來驗證如下，當\(a=1\)時，\(B=\{0，-4\}\)，不符前提\(B=\{0\}\)，故舍去；再驗證\(a=-1\)時，\(B=\{0\}\)，符合前提\(B=\{0\}\)；

當\(B=\{-4\}\)時，將\(x=-4\)代入方程得到\(a^2-8a+7=0\)，解得\(a=1\)或者\(a=7\)，

接下來驗證如下，當\(a=7\)時，\(B=\{-4，-12\}\)，不符前提\(B=\{-4\}\)，故舍去；再驗證\(a=1\)時，\(B=\{0,-4\}\)，不符合前提\(B=\{-4\}\)，故舍去；

即\(B=\{0\}\)時，\(a=-1\)符合題意；

當\(B\)為雙元素集時，即\(B=\{0，-4\}\)時，由根與係數關係得到，

\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4(a^2+1)-4(a^2-1)>0①}\\{x_1+x_2=-2(a+1)=-4②}\\{x_1x_2=a^2-1=0③}\end{array}\right.\)

最快的解法是口算②式，得到\(a=1\)，代入③式口算驗證成立，再代入①式口算驗證成立，故上述混合組的結果為\(a=1\).

綜上所述，得到引數的取值範圍是\(a\in(-\infty，-1]\cup \{1\}\).

轉化化歸

能轉化為集合的包含與否關係的題目

• 充分不必要、必要不充分的轉化；

已知\(“\)命題\(p：(x-m)^2>3(x-m)\)\(”\)是\(“\)命題\(q：x^2+3x-4<0\)\(”\)成立的必要不充分條件,則實數\(m\)的取值範圍為________.　

【解析】先化簡命題\(p\)，由\((x-m)^2>3(x-m)\)，得到\(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\)，

即\(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\)，即\((x-m)[x-(m+3)]>0\)，

則有\(p：x>m+3\)或\(x<m；q：-4<x<1\)；

因為\(p\)是\(q\)成立的必要不充分條件，則\(\{x\mid-4<x<1\}\subseteq \{x\mid x>m+3或x<m\}\)，

所以\(m+3≤-4\)或\(m≥1\)，即\(m≤-7\)或\(m≥1\)，

故\(m\)的取值範圍為\((-\infty，-7]\cup[1，+\infty)\)。

• 已知函式的單調區間，求引數的取值範圍(引數包含在給定區間的端點處)。

已知函式\(f(x)=x^3+\cfrac{3}{2}x^2-6x+1\)在區間\([a，a+1]\)上單調遞減，求引數\(a\)的取值範圍。

法1：集合法，先用導數的方法求得函式\(f(x)\)的單調遞減區間，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，

令\(f'(x)<0\)，解得\(x\in (-2，1)\)，即其單調遞減區間為\([-2，1]\)，此處必須寫成閉區間，否則會丟掉引數的個別取值。

而題設又已知函式在\([a，a+1]\)上單調遞減，故\([a，a+1]\subseteq [-2，1]\)，即問題轉化為集合的包含關係問題了。

此時只需要滿足\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a}\\{a+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，解得\(-2\leqslant a\leqslant 0\)，

故引數\(a\)的取值範圍為\([-2，0]\)。

法2：導數法，由題設可知，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，由於函式在區間\([a，a+1]\)上單調遞減，

則\(f'(x)=3(x+2)(x-1)\leq 0\)在區間\([a，a+1]\)上恆成立，則\(\left\{\begin{array}{l}{f'(a)\leqslant 0}\\{f'(a+1)\leqslant 0}\end{array}\right.\)

即\(\left\{\begin{array}{l}{3(a+2)(a-1)\leqslant 0}\\{3(a+3)a\leqslant 0}\end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a\leqslant 1}\\{-3\leqslant a\leqslant 0}\end{array}\right.\)，則\(a\in [-2，0]\)。