A
題意：將一個圓等分為 \(K\) 分，給出其中 \(n\) 個等分點的編號，\(x_i < x_{i + 1}\)。
有向邊 \(i \to j\) 存在，當且僅當 \(j\) 是距離 \(i\) 最大的點（不唯一），且與圖中其他邊無交點（端點不算）。
求圖中最多有多少條邊。\(3 \le K \le 10^9, 3 \le n \le \min(K, 10^5)\)。
引理：不存在 \(A \to B,\ C \to D\)，其中 \(A, B, C, D\) 互不相同。
作過 \(A\) 的直徑 \(AA^\prime\)，作 \(B\) 關於 \(AA^\prime\) 的對稱點 \(B^\prime\)
- 如果 \(C\) 或 \(D\) 在 \(\overset{\LARGE\frown}{BB^\prime}\) 上，由於大弧對大角 \(AC(D) > AB\)，\(A \to B\) 的邊不能存在，矛盾。
- 如果 \(\overset{\LARGE\frown}{CD}\) 包含於 \(\overset{\LARGE\frown}{AB}\)，\(CB > CD\)，矛盾。
- 如果 \(C\) 在 \(\overset{\LARGE\frown}{AB}\)，\(D\) 在 \(\overset{\LARGE\frown}{AB^\prime}\)，兩邊相交，不合法。
因此合法的狀態只有兩種：以某個點為中心的菊花狀圖；三條邊首尾相連形成的等腰三角形。
注意兩點的距離可以由對應弧長表示，也可以表示為跨過了多少整段：\(\min(\vert x_i - x_j\vert,\ K - \vert x_i - x_j\vert)\)，這是個凸函式，可以二分找分界點。
求出離每個 \(i\) 距離最大的點集（最多兩個），時間複雜度 \(O(n\log n)\)。（雙指標能做到線性）
submission
B
題意：給出字串 \(s, t\)，文字串 \(T\) 的權值定義為 \(s\) 作為子序列在 \(T\) 出現的次數乘上 \(t\) 作為子序列在 \(T\) 出現的此次數。
給定 \(S\)，求 \(S\) 所有子串的權值和。\(\vert S\vert \le 10^5,\ \vert s\vert, \vert t\vert \le 20\)。
考慮沒對子序列 \((s_1, s_2)\) 對答案的貢獻（被多少區間包含），顯然是第一個出現的位置乘上從最後位置開始的一個字尾長度。
設 \(f(i, j, k)\) 表示前 \(i\) 個字元，匹配到 \(s_1\) 的第 \(j\) 位，\(s_2\) 的第 \(k\) 位的開頭位置和。
- \(f(i, j, k) \gets [T_i = s_{1, j} = {s_{2, k}}]\times f(i -1, j - 1, k - 1)\)。
- \(f(i, j, k) \gets [T_i = s_{1, j}]\times f(i -1, j - 1, k)\)。
- \(f(i, j, k) \gets [T_i = s_{2, k}]\times f(i -1, j, k - 1)\)。
- \(f(i, 0, 1) \gets [T_i = s_{1, 1}] \times f(i - 1, 0, 0),\ f(i, 1, 0) \gets [T_i = s_{2, 1}] \times f(i - 1, 0, 0),\ f(i, 1, 1) \gets [T_i = s_{1, 1}= s_{2, 1}] \times f(i - 1, 0, 0)\)。
- \(f(i, j, k) \gets f(i -1, j, k)\)。
考慮以 \(i\) 結尾的貢獻，不能由第四種轉移過來（因為對應方案 \(i\) 不是結尾），前四種轉移過後的 \(f(i, \vert s_1\vert, \vert s_2\vert)\) 乘上 \(\vert T\vert - i + 1\)。
submission
C
定義函式：
給定長度為 \(n\) 的陣列 \(a\)，定義一段區間 \([l, r]\) 的優美度等於：
\(q\) 次詢問，每次給出 \(l\) 和引數 \(u\)，求 \(r \ge l\) 的最大優美度，以及對應最小的 \(r\)。
資料範圍：\(n, q \le 5 \times 10^5,\ 1 \le a_i \le 10^6,\ 1 \le u_i \le 1.8 \times 10^7\)。
交換一下求和號：