[NOIP 2024 模擬2]表
題意
給定質數 \(P\)。數 \(x\) 可以花費 \(|x-y|\) 的代價變為 \(xy \bmod P\)，對於每對 \((a,b)\)，求 \(a\) 變成 \(b\) 的最小代價。
思路
70 pts
暴力建圖跑 Floyd，時間複雜度 \(O(P^3)\)。
100 pts
透過 70 pts 程式碼打表發現，答案不超過 \(17\)，將 \(x\) 向 \([x-17,x+17]\) 連邊，跑 Dijkstra 即可。
時間複雜度 \(O(P^2\log P)\)。
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 2005;
const int mod = 998244353;
int f[N][N], P, t;
vector <pii> E[N];
struct node {int id, dis;};
bool operator < (node a, node b) {
return a.dis > b.dis;
}
priority_queue <node> q;
bool vis[N];
void spfa(int s) {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
f[s][s] = 0;
q.push({s, 0});
while (!q.empty()) {
int x = q.top().id; q.pop();
if (vis[x]) continue;
vis[x] = 1;
for (auto y : E[x]) {
if (f[s][y.fi] > f[s][x] + y.se) {
f[s][y.fi] = f[s][x] + y.se;
q.push({y.fi, f[s][y.fi]});
}
}
}
}
signed main() {
freopen("newb.in", "r", stdin);
freopen("newb.out", "w", stdout);
scanf("%d%d", &P, &t);
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
for (int i = 1; i < P; i ++)
for (int j = max(1, i - 20); j <= min(P - 1, i + 20); j ++)
E[i].push_back({i * j % P, abs(i - j)});
for (int i = 1; i < P; i ++) spfa(i);
int ans = 0;
for (int i = 1; i < P; i ++)
for (int j = 1; j < P; j ++) {
int res = 1, a = t, b = (i - 1) * (P - 1) + j - 1;
for (; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
if (b & 1) res = 1ll * res * a % mod;
ans = (ans + 1ll * f[i][j] * res % mod) % mod;
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}