Light Bulbs / 燈泡安裝
隨機化 heuristic problem.
Make Them Meet / 活動面基
在某一輪中，稱兩個點被染上同一種顏色且它們在原圖上有連邊為“連邊”。
對於一條鏈的構造
奇數輪連邊 \((1,2),(3,4),(5,6),\dots\)，偶數輪連邊 \((2,3),(4,5),(6,7),\dots\)。這樣每個人會在鏈上不斷迴圈走，經過 \(2n\) 輪後，兩個人一定會相遇。
對於一棵樹的構造
取任意一個節點為根，dfs 整棵樹。
奇數輪連所有 \(dep\) 為奇數的點 \(u\) 到 \(fa_u\) 的邊，偶數輪則連所有 \(dep\) 為偶數的點的父親邊。同時在每一輪中，都連上 \((rt,son)\) 的邊，其中 \(son\) 為 \(rt\) 的任意一個兒子。
容易發現，一個點可能先往下走到一個葉子再往上走，在走到 \(rt\) 之後就會一直在 \((rt,son)\) 的邊上不停迴圈。
這樣在 \(2n\) 輪後，兩個人一定會在 \((rt,son)\) 的邊上相遇。
對於一般圖的構造
對於上述樹的構造，我們發現只要滿足以下的條件就能套用到圖上：
- 對於任意一個點 \(u\)，\(u\) 的所有兒子之間沒有連邊。（在給 \(u\) 和兒子染同種顏色時不會走錯）
- 對於根節點 \(rt\)，需要選出一個兒子 \(son\)，使得 \(rt\) 和 \(son\) 的所有兒子沒有連邊。（在給 \(rt,son\) 和這些點染同種顏色時不會走錯）
考慮先建一棵 dfs 樹，然後分類討論。
若 dfs 樹為一條鏈，則可直接套用鏈的做法。
否則，我們可以找到一個分叉點 \(u\)，使得 \(u\) 是最深的分叉點。則 \(u\) 的所有兒子子樹都是鏈。
設 \(u\) 的父親節點為 \(f\)。
若 \(u\) 有一個兒子 \(v\) 使得 \(v,f\) 沒有連邊，則可以從 \(v\) 開始重新求一棵 dfs 樹，並且優先 dfs \(v\to u\to f \dots\)。這樣 \(u\) 在新 dfs 樹中的兒子只可能是 \(f\) 或 \(u\) 的其他兒子，\(v\) 與它們沒有連邊。取 \(rt=v,son=u\) 就構造完畢。
否則，\(u\) 的所有兒子都和 \(f\) 有連邊。任意取一個兒子 \(v\)，從 \(v\) 開始重新求一棵 dfs 樹，並且優先 dfs \(v\to u\to \{son_u\}\)，其中 \(\{son_u\}\) 為 \(u\) 的其他兒子。由於 \(u\) 的其他兒子與 \(f\) 有連邊，所以原樹在 \(f\) 之上的部分會在 \(u\) 的其他兒子下方被 dfs 到，不會成為新樹中 \(u\) 的兒子。那麼 \(v\) 與 \(u\) 的兒子沒有連邊，取 \(rt=v,son=u\) 構造完畢。
時間複雜度 \(O(n)\) 且操作次數為 \(2n\) 輪。
// what is matter? never mind.
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC optimize("unroll-loops")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,avx2")
#include<bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define ll long long
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define SZ(x) ((int)((x).size()))
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mkp make_pair
typedef pair<int,int>pii;
typedef vector<int>vi;
#define maxn 200006
#define inf 0x3f3f3f3f
int n,m,rt;
int e[105][105],deg[105];
vi g[105];
int fa[105],dep[105];
vi son[105];
vi que;
bool del[105];
void dfs(int u,int pa){
que.pb(u);
fa[u]=pa,dep[u]=dep[pa]+1;
for(int v:g[u])
if(v!=pa && !dep[v]) son[u].pb(v),dfs(v,u);
}
int col[maxn];
void chain(vi o){
cout<<n*2<<"\n";
For(i,1,n*2){
For(j,0,n-1) {
if((j&1)==(i&1) && j) col[o[j]]=o[j-1];
else col[o[j]]=o[j];
}
For(u,1,n) cout<<col[u]<<" "; cout<<"\n";
}
exit(0);
}
void out(int rt,int dw){
cout<<n*2<<"\n";
For(t,1,n*2){
For(i,1,n){
if(i==rt) {
if(t&1) cout<<dw<<" ";
else cout<<rt<<" ";
}else{
if((t&1)==(dep[i]&1)) cout<<fa[i]<<" ";
else cout<<i<<" ";
}
}
cout<<"\n";
}
exit(0);
}
void dfs2(int u,int pa){
// cout<<"Dfs2 "<<u<<" "<<pa<<" "<<dep[pa]<<"\n";
fa[u]=pa,dep[u]=dep[pa]+1;
for(int v:g[u])
if(v!=pa && !dep[v] && !del[v]) dfs2(v,u);
}
vi g2[105];
void dfsc(int u,int pa){
que.pb(u);
for(int v:g2[u]) if(v!=pa) dfsc(v,u);
}
signed main()
{
n=read(),m=read();
For(i,1,m){
int u=read(),v=read();
++u,++v;
e[u][v]=e[v][u]=1;
++deg[u],++deg[v];
g[u].pb(v),g[v].pb(u);
}
dfs(1,0);
bool ok1=1;
For(i,1,n)
for(int v:son[i]) g2[i].pb(v),g2[v].pb(i);
For(i,1,n) ok1&=(g2[i].size()<=2);
if(ok1){
int u=1;
For(i,1,n) if(g2[i].size()==1) u=i;
que.clear();
dfsc(u,0);
chain(que);
exit(0);
}
int u=0;
For(i,1,n) if(son[i].size()>1 && dep[i]>=dep[u]) u=i;
int f=fa[u];
if(!f){
For(i,1,n) son[i].clear(),fa[i]=dep[i]=0; que.clear();
int v=son[u][0];
dfs(v,0);
u=0;
For(i,1,n) if(son[i].size()>1 && dep[i]>=dep[u]) u=i;
f=fa[u];
assert(f);
}
del[u]=1;
for(int v:son[u])
if(!e[v][f]) {
g[v].insert(g[v].begin(),u);
g[u].insert(g[u].begin(),f);
For(i,1,n) son[i].clear(),fa[i]=dep[i]=del[i]=0; que.clear();
dfs2(v,0);
out(v,u);
exit(0);
}
// assert(0);
int v=son[u][0];
for(int x:son[u])
if(x!=v) g[u].insert(g[u].begin(),x);
g[v].insert(g[v].begin(),u);
For(i,1,n) son[i].clear(),fa[i]=dep[i]=del[i]=0; que.clear();
dfs2(v,0);
out(v,u);
return 0;
}
/*
*/