CF830E Perpetual Motion Machine

一堆 Cornner Case 的大分討，我們全隊一邊寫一邊補情況，WA 了五發終於幹過去了

首先當圖中存在某個環時，我們只要給環上的所有點賦值為 \(1\) 即可；又因為圖連通所以只要考慮樹的情況即可

考慮如果存在一個度數 \(\ge 4\) 的點，將其賦值為 \(2\) 並將其周圍的四個點賦值為 \(1\) 即可

如果存在兩個及以上度數為三的點，只要將其中兩個的路徑上所有點賦值為 \(2\)，並在端點處各選兩個點賦值為 \(1\) 即可

難點在於有且僅有一個度數為三的點的情況，因為我們很容易證明一條鏈的情況是無解的

考慮此時的圖一定形如一箇中心點，往外延申出三條鏈，不妨將這三條鏈的長度記為 \(a,b,c(a\le b\le c)\)

考慮找出一些最小的有解結構，方法可以是人類智慧也可以是爆搜，最後發現以下三種 Case 是合法的：

然後這題就做完了，判斷一個圖是否滿足上述條件即可，程式碼是徐神寫的

#include <bits/stdc++.h>

std::vector<int> work() {
    int n, m; std::cin >> n >> m;
    std::vector<std::vector<int>> out(n, std::vector<int>());
    for(int i = 0, f, t; i < m; ++i) {
        std::cin >> f >> t;
        f--; t--;
        out[f].push_back(t);
        out[t].push_back(f);
    }

    std::vector<int> ans(n, 0);

    std::vector<bool> vis(n, false);
    std::function<bool(int, int)> dfs = [&](int cur, int fa) -> bool {
        vis[cur] = true;
        for(auto out: out[cur]) {
            if(out == fa) continue;
            if(vis[out] || dfs(out, cur))
                return ans[cur] = 1, vis[cur] = true;
        }
        return false;
    };

    for(int i = 0; i < n; ++i) if(!vis[i] && dfs(i, -1)) return ans;

    for(int i = 0; i < n; ++i) if(out[i].size() >= 4) {
        ans[i] = 2;
        for(int j = 0; j < 4; ++j) ans[out[i][j]] = 1;
        return ans;
    }

    auto ahaha = [&](auto self, int cur, int fa) -> int {
        for(auto out: out[cur]) if(out != fa) return self(self, out, cur) + 1;
        return 1;
    };

    auto fill = [&](auto self, int cur, int fa, std::vector<int> val) -> void {
        if(val.empty()) return ;
        ans[cur] = val.back(); val.pop_back();
        for(auto out: out[cur]) if(out != fa) self(self, out, cur, val);
    };
    
    vis.assign(n, false);

    auto dfs2 = [&](auto self, int cur, int fa) -> int {
        vis[cur] = true;
        if(out[cur].size() == 3) return ans[cur] = 2, cur;
        for(auto out: out[cur]) if(out != fa) {
            int res = self(self, out, cur);
            if(res >= 0) return ans[cur] = 2, res;
        }
        return -1;
    };

    bool flag = false;

    for(int i = 0; i < n && !flag; ++i) if(!vis[i] && out[i].size() == 3) {
        vis[i] = true;
        for(auto out: out[i]) {
            if(flag) break;
            int res = dfs2(dfs2, out, i);
            // std::cerr << "res = " << res << char(10);
            if(res >= 0) {
                ans[i] = 2;
                flag = true;
            }
        }
    }

    if(flag) {
        for(int i = 0; i < n; ++i) if(ans[i] == 2) for(auto out: out[i]) if(ans[out] == 0) ans[out] = 1;
        return ans;
    }

    for(int i = 0; i < n; ++i) if(out[i].size() == 3) {
        std::pair<int, int> len[3];
        for(int j = 0; j < 3; ++j) len[j] = {ahaha(ahaha, out[i][j], i), out[i][j]};
        std::sort(len, len + 3);
        // std::cerr << "len[] = [";
        // for(int j = 0; j < 3; ++j) std::cerr << len[j].first << (j == 2 ? "]\n" : ", ");
        if(len[0].first >= 2 && len[1].first >= 2 && len[2].first >= 2) {
            ans[i] = 3;
            fill(fill, len[0].second, i, std::vector<int>{1, 2});
            fill(fill, len[1].second, i, std::vector<int>{1, 2});
            fill(fill, len[2].second, i, std::vector<int>{1, 2});
            return ans;
        }
        if(len[0].first >= 1 && len[1].first >= 2 && len[2].first >= 5) {
            ans[i] = 6;
            fill(fill, len[0].second, i, std::vector<int>{3});
            fill(fill, len[1].second, i, std::vector<int>{2, 4});
            fill(fill, len[2].second, i, std::vector<int>{1, 2, 3, 4, 5});
            return ans;
        }
        if(len[0].first >= 1 && len[1].first >= 3 && len[2].first >= 3) {
            ans[i] = 4;
            fill(fill, len[0].second, i, std::vector<int>{2});
            fill(fill, len[1].second, i, std::vector<int>{1, 2, 3});
            fill(fill, len[2].second, i, std::vector<int>{1, 2, 3});
            return ans;
        }
    }

    return {};
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int t; std::cin >> t; while(t--) {
        auto ans = work();
        if(ans.empty()) std::cout << "NO\n";
        else {
            std::cout << "YES\n";
            int n = ans.size();
            for(int i = 0; i < n; ++i) std::cout << ans[i] << char(i == n - 1 ? 10 : 32); 
        }
    }
    return 0;    
}