\(\text{Contest 1}\)
\(\text{Heavenly Altitudes}\)
\(\text{description}\)
給你一個集合 \(S = \{1, 2, ..., n\}\)，要求分成 \(m\) 段，段之間不考慮順序，段中的元素不考慮順序，現給你每段的最小值 \(a_1, a_2, ..., a_m\)，求有多少種合法的劃分方式，答案對 \(10^9 + 7\) 取模。
\(1 \le n \le 10^6\)。
\(\text{solution}\)
十多分鐘手刃了。
考慮到一定是從大到小考慮，因為大的不會對小的造成更多影響。
假設已經從大到小排序，根據組合直覺，答案應該是：
\[\sum_{i = 1}^m \binom{n - a_i - (m - i)\frac{n}{m}}{\frac{n}{m} - 1}
\]
因為組合意義算就好了（每次剩下的數是固定的）。
\(\text{Seeker Temple}\)
\(\text{description}\)
給定 \(n\) 個質數 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，定義一個集合 \(S = \{x|x = a_1^{p_1}a_2^{p_2}...a_n^{p_n}\}\)，其中 \(p_1, p_2, ..., p_n \ge 0\)，問你 \(S\) 中第 \(k\) 小的數是多少。
\(1 \le n \le 16, 2 \le a_1, a_2, ..., a_n \le 100, 1 \le ans \le 10^{18}\)。
\(\text{solution}\)
這個題確實挺好的。
根據數學直覺和部分分，那麼這個集合裡的數一定不會太多，但是仍然有 \(10^8\) 左右的級別，考慮到有 \(n \le 8\) 的部分分，我們考慮拆成兩個部分分別處理出來 \(S\) 集合，如果我們是隨機的話，那麼兩個集合都是不會大於 \(10^6\) 這個級別（其實只有 \(10^5\) 級別左右），考慮我們二分答案，每次檢查答案是否合法就把兩個 \(S\) 集合合併起來，算一下（裡面再套個二分），這樣子複雜度就是 \(O(n \log^2 n)\) 級別的了。
主要是要想到折半（其實也沒有什麼套路），其實只要是搜尋資料範圍小就可以想折半。