C++實現二分法詳解

ZhiboZhao發表於2021-07-07
C++

二分法是在一個排好序的序列（陣列，連結串列等）中，不斷收縮區間來進行目標值查詢的一種演算法，下面我們就來探究二分法使用的一些細節，以及常用的場景：

  1. 尋找一個數；
  2. 尋找左側邊界；
  3. 尋找右側邊界。

一、二分法的通用框架

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
            // 條件一：中間的值與目標值相同
        }
        else if(nums[mid] > target){
            // 條件二：中間的值大於目標值
        }
        else if(nums[mid] < target){
            // 條件三：中間的值小於目標值
        }
    }
    return -1;	
}

首先，我們先來分析一下右邊界 right 的初始值：

  1. 當 right=nums.size() 時，初始化的區間就變成了 \([0, right-1]\)，即 \([0,right)\)；
  2. 當right=nums.size()-1 時，初始化的區間就變成了 \([0, right]\)。

在第一種情況下，當 nums[mid] > target 時，需要將區間向左收縮，即 right=mid。這個做法的邏輯是：既然 mid 位置處大於 target，而查詢區間又是 “左閉右開”，因此當 right=mid 時，新的查詢區間變成了 \([0, mid)\)，這樣才不會漏掉值。同理，當 nums[mid] < target 時，需要將區間向右收縮，即 left = mid+1，因為在 "左閉右開" 的區間下，新的查詢區間變成 \([mid+1, right)\) 才不會漏掉值。當目標值不在序列中時，需要將 while 的條件寫成 while(left < right) 而不是寫成 while(left<=right)，這樣會引起陣列越界。

第二種情況的分析類似，這裡只給出結論：

  • 當 nums[mid] > target 時，需要將區間向左收縮，即 right=mid-1；
  • 當 nums[mid] < target 時，需要將區間向右收縮，即 left = mid+1；
  • 當目標值不在序列中時，需要將 while 的條件寫成 while(left<=right)

二、二分法查詢目標值

在序列中查詢一個數，如果存在則返回數的索引，如果不存在則返回 -1 。為了方便分析，我們就只用第一種情況進行說明：

int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
           return mid;	// 查詢到目標值，直接返回目標值的位置
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中間的值大於目標值，向左收縮區間
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中間的值小於目標值，向右收縮區間
        }
    }
    return -1;	// 當沒有找到，直接返回-1
}

三、二分法查詢目標值的左右邊界

上述程式碼只能從序列中查詢一個目標值並返回位置，當一個序列中目標值不止一個時，我們需要找到目標值最左邊的位置和最右邊的位置，這時候二分法需要進行改寫：

// 查詢目標值的左邊界
int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
          right = mid;	// 查詢到目標值不進行返回，而是收縮區間繼續查詢
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中間的值大於目標值，向左收縮區間
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中間的值小於目標值，向右收縮區間
        }
    }
    return left;	
}

根據上述程式碼，可以發現如果查詢目標值的左邊界，在滿足 nums[mid] == target 時，需要縮小搜尋區間的上界 right，在區間 \([left, mid]\) 中繼續搜尋，直到搜尋完畢 left==right。此時 left=right=左邊界。

查詢右邊界的做法與左邊界類似：

// 查詢目標值的左邊界
int binarySearch(vector<int>& nums, int target){
    int left=0, right=nums.size();
    while(left < right)
    {
        int mid=(left+right)/2;
        if(nums[mid] == target){
          left = mid+1;	// 查詢到目標值不進行返回，而是收縮區間繼續查詢
        }
        else if(nums[mid] > target){
            right = mid; // 中間的值大於目標值，向左收縮區間
        }
        else if(nums[mid] < target){
            left = mid+1;// 中間的值小於目標值，向右收縮區間
        }
    }
    return left-1;	
}

注意這裡的判斷條件改成了當 nums[mid] == target 時，left = mid+1。因為搜尋的區間為 "左閉右開"，所以在尋找左邊界時可令 right=mid ，在尋找右邊界時必須另 left=mid+1，不然程式會一直停在迴圈裡面而無法跳出迴圈。

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