KD-Tree 學習筆記
建樹
- 如果當前超長方體只有一個點，返回這個點
- 選擇一個維度（輪流）
- 選擇中位數（\(O(n)\)）
- 遞迴
應用
- 定理
二維 KDT 中節點代表矩陣與任意一個矩形（邊界上）有交的只有 \(O(\sqrt n)\) 個。
證明：
考慮一條直線，與KDT的交集，此層最多有兩個，遞迴得到遞迴式，然後套主定理。
增刪改查
- 查詢
- 單點是否存在 \(O(\log n)\)
- 矩陣和：遞迴，只處理相交 \(O(\sqrt n)\)
剪枝：維護子樹支撐矩形。
- 最近鄰，\(k\) 近鄰 最壞 \(O(n)\)，可以用支撐矩形最優性剪枝。
- 修改
看做線段樹，區間就打懶標記
- 插入
找到單點，然後切割喵 \(O(\log n)\)。
- 刪除
為了維護樹形，打刪除懶標記，或者像 BST 一樣，找到子樹內裡當前刪除點最近的同維度的點，交換到葉子上面，然後刪葉子。
- 重構
- 暴力
- 替罪羊重構，維護子節點佔當前節點大小的比例，作為不平衡度，定義閾值重構。
- 根號重構，儲存待插入的點，每 \(B\) 次插入重構，修改均攤 \(O(\dfrac nB \log n)\)，查詢均攤 \(O(B+\log n)\)，最優 \(O(\sqrt{n\log n}\)。
- 二進位制分組，分成 \(\text{popcount}(n)\) 組 KDT，每次插入合併，均攤 \(O(n\log^2n)\)。
KDT 本質上是維護一些偏序關係，一般我們用矩形去套點。