【十天自制軟渲染器】DAY 02：畫一條直線（DDA 演算法 & Bresenham’s 演算法）

寫文不易，懇求各位觀眾老爺 點贊 ?，收藏 ?，評論 ? 三連支援一下！！！謝謝你，這對我真的很重要！

第一天我們搭建了 C++ 的執行環境並畫了一個點，根據 點 → 線 → 面 的順序，今天我們講講如何畫一條直線。

本文主要講解直線繪製演算法的推導和思路（莫擔心，只涉及到一點點的中學數學知識），最後會給出程式碼實現，大家放心的看下去就好。

1.DDA 直線演算法

1.1 簡單實現

我們先來回顧一下中學的幾何知識，如何在二維平面內表示一條直線？最常見的就是斜截式了：

$$y = kx + b$$

其中斜率是 $k$，直線在 $y$ 軸上的截距是 $b$。

斜截式在數學上是沒啥問題的，但是在實際的工程專案中，因為硬體資源是有限的，我們不可能也沒必要表示一條無限長度的直線，現實往往是已知一條線段的起點 $(x_1, y_1)$ 和終點 $(x_2, y_2$)，然後把它畫出來。

這時候用兩點式表示一根直線是最方便的，其中 $x_1 \leq x \leq x_2$，$y_1 \leq y \leq y_2$：

$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$$

把上面的式子稍作變形，可以把 $x$ 和 $y$ 用引數 $\lambda$ 表示：

$$\left.\begin{array}{l}x=\lambda\left(x_{2}-x_{1}\right)+x_{1} \\ y=\lambda\left(y_{2}-y_{1}\right)+y_{1}\end{array}\right\} 0 \leq \lambda \leq 1$$

這時候我們只要取不同的 $\lambda$，就可以得出對應的 x 和 y。

按照以上的思路，我們可以用程式碼實現一下。C++ 的實現也很簡單，如下所示（dl 表示 $d \lambda$）：

void line(
  int x1, int y1, 
  int x2, int y2, 
  TGAImage &image, TGAColor color) { 
    const float dl = 0.01;
    int dx = x2 - x1;
    int dy = y2 - y1;
    for (float t=0.0; t<1.0; t+=dl) { 
        int x = x1 + dx * t;
        int y = y1 + dy * t;
        image.set(x, y, color);
    } 
}

這個是直線演算法的初步實現，只能說「能用」，地位和排序演算法裡的「氣泡排序」一樣，目的達到了，但是效能不太好：

每畫一個點，都要執行兩次乘法
大量使用浮點運算（眾所周知，$v_{float}$ < $v_{fixed}$ < $v_{int}$）
如果 dl 取的比較小，會導致一個畫素點會被繪製多次，重複計算
如果 dl 取的比較大，會導致直線斷掉

1.2 優化

下面我們就一步一步優化上面的演算法。

首先我們注意到，對於螢幕繪製直線這個場景，理論上是連續的，但實際是離散的。

比如說 $x$ 從 $x_1$ 變化到 $x_2$ 時，每次繪製時，$x$ 都是按步長 1 增長的，也就是 $x_{new} = x_{old} + 1$。

這時候 $y_{new} = y_{old} + \frac{y_2 - y_1}{x_{2}-x_{1}} = y_{old} + k$。

我們把上面的公式寫成程式碼，就是下面這個樣子：

void line(
  int x1, int y1, 
  int x2, int y2, 
  TGAImage &image, TGAColor color) { 
  float x = x1;
  float y = y1;
  float step = std::abs(x2 - x1);
  float dlx = (x2 - x1) / step;
  float dly = (y2 - y1) / step;
  
  for (int i=1; i<step; i++) { 
    image.set(x, y, color);
    x = x + dlx;
    y = y + dlx;
  } 
}

這個演算法其實還有一點兒問題，就是繪製斜率大於 1 的直線時，繪製出的直線會斷掉。比如說從 (0, 0) 點繪製到 (2, 4) 點，按照上面的演算法只會繪製兩個點，但是我們期望的是右圖那樣，起碼各個畫素要連線起來：

不連續的線 vs 連續的線

解決方法也很簡單，繪製這種比較「陡峭」的直線時（斜率絕對值大於 1），以 y 的變化為基準，而不是以 x，這樣就可以避免上面直線不連續情況。

最後的直線演算法就是這樣：

void line(
  int x1, int y1, 
  int x2, int y2, 
  TGAImage &image, TGAColor color) { 
  float x = x1;
  float y = y1;
  int dx = x2 - x1;
  int dy = y2 - y1;
  float step;
  float dlx, dly;

  // 根據 dx 和 dy 的長度決定基準
  if (std::abs(dx) >= std::abs(dy)) {
    step = std::abs(dx);
  } else {
    step = std::abs(dy);
  }

  dlx = dx / step;
  dly = dy / step;

  for (int i=1; i<step; i++) {
    image.set(x, y, color);
    x = x + dlx;
    y = y + dly;
  }
}

然後我們用這個演算法測試一下不同起點不同斜率的直線，看效果執行良好：

這個演算法就是經典的 DDA (Digital differential analyzer) 演算法)，他比我們一開始的程式碼要高效的多：

消除了迴圈內的乘法運算
避免了重複的繪製運算
保證線段連續不會斷掉

但是它還有個很耗效能的問題：計算過程中涉及大量的浮點運算。

作為渲染器最底層的演算法，我們肯定希望是越快越好。下面我們就來學習一下，消除浮點運算的 Bresenham’s 直線演算法。

2.Bresenham’s 直線演算法

2.1 初步實現

本節內容不會從一開始就講完善版的 Bresenham’s 演算法，我們先從一個小節開始推導，最後推匯出完善的演算法。

最一開始，我們先考慮所有直線裡的一個子集，即斜率範圍在 $[0, 1]$ 之間的直線：$0 \leq k \leq 1$。

上一小節裡我們說過，對於螢幕繪製直線這個場景，理論上是連續的，但實際是離散的。我們先假設已經繪製了一個點 $(x,\ y)$，那麼在畫素螢幕上，下一個新點的位置，只可能有兩種情況：

$(x + 1,\ y)$
$(x + 1,\ y + 1)$

那麼問題就轉化為，下一個新點的位置該如何選擇？

我想大家應該都想到方案了，大體思路如下

先把 $x_{new} = x + 1$ 這個值帶入直線方程裡，算出來 $y_{new}$ 的值
然後比較 $y_{new}$ 和 $y + 0.5$ 的大小
- $y_{new} \leq y + 0.5$，選點 $(x + 1,\ y)$
- $y_{new} > y + 0.5$，選點 $(x + 1,\ y + 1)$

我們再把思路完善一下，把每次取捨時的誤差考慮進去：

day2_Bresenham_line

如上圖所示，實際上繪製的點的位置是 $(x, y)$，理論上點位置是 $(x,\ y + \epsilon)$。

當點從 $x$ 移動到 $x + 1$ 時，理論上新點的位置應該是 $(x + 1,\ y + \epsilon + k)$，其中 k 是直線的斜率。

實際繪製時，要比較 $y + \epsilon + k$ 和 $y + 0.5$ 的大小：

$y + \epsilon + k \leq y + 0.5$，選點 $(x + 1,\ y)$
$y + \epsilon + k > y + 0.5$，選點 $(x + 1,\ y + 1)$

對於下一個新點 $x + 2$，我們可以按照下式更新誤差 $\epsilon$：

若前一個點選擇的是 $(x + 1,\ y)$，則 $\epsilon_{new} = (y + \epsilon + k) - y = \epsilon + k$
若前一個點選擇的是 $(x + 1,\ y + 1)$，則 $\epsilon_{new} = (y + \epsilon + k) - (y + 1) = \epsilon + k - 1$

把上面的思考過程用虛擬碼表示一下：

$
begin{aligned}
& epsilon leftarrow 0, quad y leftarrow y_{1} \
& pmb{for} x leftarrow x_{1} pmb{to} x_{2} pmb{do} \
& quad pmb{draw} pmb{point} pmb{at} (x, y) \
& quad pmb{if} ( (epsilon + k) < 0.5) \
& quad quad epsilon leftarrow epsilon + k \
& quad pmb{else} \
& quad quad y leftarrow y + 1 \
& quad quad epsilon leftarrow epsilon + k - 1 \
& quad pmb{end} pmb{if} \
& pmb{end} pmb{for}
end{aligned}
$

2.2 消除浮點運算

觀察上面的虛擬碼，我們可以發現這裡面出現了 0.5，也就是說存在浮點運算。下面我們就通過一些等價的數學變換消除浮點數。

首先對於不等式 $\epsilon + k < 0.5$，我們給它不等號左右兩邊同時乘以 2 倍的 $\Delta x$，這樣就可以同時消除斜率除法和常量 0.5 帶來的浮點運算:

$$\epsilon + \Delta y / \Delta x < 0.5$$

$$2 \epsilon \Delta x + 2 \Delta y <\Delta x$$

然後用 $\epsilon^{\prime}$ 表示 $\epsilon\Delta x$，上式可以轉換為 $$2(\epsilon^{\prime} + \Delta y)< \Delta x$$

同樣的，我們在更新 $\epsilon$ 時，把它也替換為 $\epsilon^{\prime}$ ，也就是對於下面兩式：

$\epsilon = \epsilon + m$
$\epsilon = \epsilon + m - 1$

等號兩邊同時乘以 $\Delta x$，有：

$\epsilon \Delta x = \epsilon \Delta x+\Delta y$
$\epsilon \Delta x = \epsilon \Delta x+\Delta y-\Delta x$

然後用 $\epsilon^{\prime}$ 表示 $\epsilon\Delta x$，可以得到：

$\epsilon^{\prime} = \epsilon^{\prime}+\Delta y$
$\epsilon^{\prime} = \epsilon^{\prime}+\Delta y-\Delta x$

這時候我們就可以得到一個去掉浮點數運算的虛擬碼：

$
begin{aligned}
& epsilon^{prime} leftarrow 0, quad y leftarrow y_{1} \
& pmb{for} x leftarrow x_{1} pmb{to} x_{2} pmb{do} \
& quad pmb{draw} pmb{point} pmb{at} (x, y) \
& quad pmb{if} ( 2 (epsilon^{prime} + Delta y) < Delta x) \
& quad quad epsilon^{prime} leftarrow epsilon^{prime} + Delta y \
& quad pmb{else} \
& quad quad y leftarrow y + 1 \
& quad quad epsilon^{prime} leftarrow epsilon^{prime} + Delta y - Delta x \
& quad pmb{end} pmb{if} \
& pmb{end} pmb{for}
end{aligned}
$

C++ 實現如下：

void line(Screen &s,
  int x1, int y1,
  int x2, int y2,
  TGAImage &image, TGAColor color) {
  int y = y1;
  int eps = 0;
  int dx = x2 - x1;
  int dy = y2 - y1;

  for (int x = x1; x <= x2; x++) {
    image.set(x, y, color);
    eps += dy;
    // 這裡用位運算 <<1 代替 *2
    if((eps << 1) >= dx)  {
      y++;
      eps -= dx;
    }
  }
}

這樣我們就實現了斜率在 $[0, 1]$ 區間的高效演算法。也就是說，現在我們可以繪製 1/8 個象限的直線了。剩下範圍的直線，可以通過交換 xy 等方式實現繪製。具體的實現都是些髒活累活，就不擺出來了，感興趣的可以去 GitHub 上看程式碼的完整實現。

3.繪製模型

這一部分可以結合原英文教程學習，我只做一些細節上的補充。

前面兩個小節都是演算法基礎學習，本小節開始載入一個非洲人的 .obj 模型，然後把模型上每個三角形面的點連線起來。

OBJ 檔案是一種被廣泛使用的 3D 模型檔案格式（obj 為字尾名），用來描述一個三維模型。模型關鍵字較為繁瑣，限於篇幅本文暫不展開，大家可以自行搜尋學習。

這一節的流程也很清楚：從磁碟上載入 .obj 檔案 → 按行分析 .obj 檔案 → 構建 model → 迴圈 model 中的每個三角形 → 連線三角形的三條邊 → 渲染出圖

上訴流程的前三步已經被原作者封裝好了，我們直接把原始碼裡的 model.h 和 model.cpp 拖到主工程裡就可以了，感興趣的人可以看一下原始碼實現，非常簡單，在一個 while 迴圈裡一直 readline 就可以了，因為和圖形學關係不大，我這裡就略過了。

最後的畫三角形的程式碼如下，關鍵步驟我已經用註釋標註了：

// 例項化模型
model = new Model("obj/african_head.obj");

// 迴圈模型裡的所有三角形
for (int i = 0; i < model->nfaces(); i++) {
  std::vector<int> face = model->face(i);

  // 迴圈三角形三個頂點，每兩個頂點連一條線
  for (int j = 0; j < 3; j++) {
    Vec3f v0 = model->vert(face[j]);
    Vec3f v1 = model->vert(face[(j + 1) % 3]);
    
    // 因為模型空間取值範圍是 [-1, 1]^3，我們要把模型座標平移到螢幕座標中
    // 下面 (point + 1) * width(height) / 2 的操作學名為視口變換（Viewport Transformation）
    int x0 = (v0.x + 1.) * width / 2.;
    int y0 = (v0.y + 1.) * height / 2.;
    int x1 = (v1.x + 1.) * width / 2.;
    int y1 = (v1.y + 1.) * height / 2.;
    
    // 畫線
    line(x0, y0, x1, y1, image, white);
  }
}

最後渲染出的影像如下：

toyrenderer_day02_obj