Dependencies for Graphs 閱讀筆記

Neil_zk發表於2020-12-25

筆記

本文提出圖實體依賴關係（GEDs graph entity dependencies）

GED被定義為圖形模式和屬性依賴的組合

GEDs可以用常量文字來表示圖的函式依賴關係，以捕捉不一致，用帶有id文字的鍵來標識圖中的實體(頂點）

我們修改了對GEDs的追逐，並證明了它的教會-羅塞爾性質

我們刻畫了GED的可滿足性和蘊涵，並建立了這些問題的複雜性和GED的驗證問題，存在和不存在常量文字和id文字。

我們還開發了一個完善的、完整的、獨立的有限蘊涵幾何系統

我們用內建謂詞或析取來擴充套件GEDs，以在表達能力和複雜性之間取得平衡。

我們解決了這些擴充套件的可滿足性、蘊涵和驗證問題的複雜性

1、介紹

1.1、圖、圖模式以及匹配

此處的

Graphs. 圖G表示為其中：

V是一個有限的節點集合；E是一個有限的邊的集合，(v,ι,v′)表示從節點v到節點v'的邊，這條邊標記為 ι ，且； L表示節點的標籤，通過L(v)可以得到v的標籤，L(v)∈Γ；每個節點帶有一個元組，其中且，寫作和若則，而節點v攜帶的特殊屬性id表示其節點身份。

Graph patterns. 圖模式是一個有向圖其中：

是一個模式節點集合；是一個模式邊集合；是給和分配邊的對映；是不同變數的列表，每個變數表示中的一個節點

Matches. 使用來表示兩個標籤匹配，二者匹配需要滿足下面條件之一：（1）ι 和 ι′ 都是在 Γ，且ι = ι′ （2）ι′∈Γ 而 ι 是 ‘_ ’, 在Γ 中'_'可以用來表示任意邊

圖G中圖模式Q的匹配是用對映函式h( )使得對於屬於Q的節點v，h(v)找到G中的節點，且

匹配規則是：若（1）任意有；（2）Q中任意邊在G中存在邊使得，則同態h是圖G中模式Q的匹配，邊的匹配表示為

這的匹配規則大致為要求模式Q和圖G的節點有相同的標籤，有相同標籤的節點之間的邊也得有相同的標籤，即若v1和v2屬於模式Q，且標籤分別為 a,b，v1與v2之間的連線標籤為c，則h(v1),h(v2)的標籤也得是a,b，它倆之間的連線的標籤也得是c，否則它倆就不匹配

文字使用的是同態對映，跟Functional Dependencies for Graphs使用的同構對映不同。

1.2、圖實體依賴

圖實體依賴φ被定義為，其中是一個圖形模式；X和Y是的兩個文字集，也就是說X和Y包含於；我們稱為φ的模式，稱為φ的函式依賴；

對於文字集中的文字x,y有：1、常量文字x.A = c，其中c是U中的一個常量，A是ϒ中的一個屬性但不是id； 2、變數文字x.A = y.B，其中A和B是ϒ中的屬性，但不是id； 3、id文字 x=id = y=.id

例1、，結合Q1圖，若X1由單個常數字x.type=“video game”，Y1由單個常量字y.type = “programmer”組成，這表示電子遊戲只能由程式設計師創造。

，結合Q2圖，可以看出，若一個國家有兩個首都y,z，則y和z的名字必須相同。

，結合Q3圖，可以看出A是x的一個屬性，而若x由一個屬性A，則y也用屬性A。

，結合Q4圖，GED宣告圖形模式Q4是“不合法的”，沒有人可以同時是另一個人的孩子和父母

GED的語義解釋：

若 (a) 當a 是x.A=c則v.A存在於節點v = h(x)，並且h(x).A=c；這個可以解釋為，當模式Q的欄位x.A=c，而在圖G中找到一個節點h(x)，這個節點也有屬性A，並且屬性A也等於c

(b) 當a 是x.A=y.B，則屬性A和屬性B分別存在節點v=h(x)和w=h(y)，且v.A = w.B；可理解為在G中找到兩個結點與x,y對應，這兩個節點也滿足h(x).A = h(y).B

和 (c)當 a是x.id=y.id 則h(x)和h(y) 指的是同一個節點，我們就說a,表示滿足a. 可理解為在G中找到兩個節點，滿足h(x).id=h(y).id,那麼這兩個節點其實是同一個節點。

當滿足X中的所有欄位時,可以表示為.

若蘊含時，可以表示為

若G中Q的所有的匹配有則表示為G |= φ。而當Σ中所有的GED φ都是G |= φ，則G |=Σ。

對於，對於欄位x.A = c，h(x)可以沒有屬性A，依舊成立，因為當h(x)可以沒有屬性A時，不成立，則根據蘊含公式為假，則為真。

而若欄位x.A=c，h(x)中有屬性A並且h(x).A = c，則h(y)也必須有屬性A使得h(y)=c，不然的話就不成立。跟蘊含性質一樣，前面為真，則後面必須為真。

使用圖的鍵GKey來表示形式為的GED，其中由和組成，是同構f : 的一個拷貝，和是不相交的；由和；和是Q中指定的節點；X 可以看作有和組成的交集，可以是常量欄位、變數欄位或id欄位。

例如：就是三個GKey。X5由x.title = y.title和x′.id = y′.id組成；X6由x.title = y.title和x.release = y.release組成；X7由x′.name = y′.name和x.id = y.id組成；

看到這了，可能有人想問，為什麼要用同態，而不用同構呢？Functional Dependencies for Graphs這篇論文中同構感覺要容易讀懂一些，那麼為什麼要用同態呢？

我們假設之前的現在使用同構，那麼同構h用於模式Q5的節點x,y找到圖中的h(x')，h(y')是兩個節點，且名字不一樣x′.name 不等於 y′.name，則，由上可知滿足，但是顯然其並不滿足，所以如果使用同構的話，永遠都能滿足φ，因此選擇了同態。

下圖是本文主要使用的符號表：

2、CHASE介紹

2.1 為GEDs修改chase

在介紹等價關係前，需要介紹一下一些新的概念：

給定圖G = (V,E,L,FA)，有限的GEDs集合Σ

Equivalence relations.即等價關係

1、對於x ∈ V, 它的等價類表示為，這個等價類是被識別為x的y的集合，y ∈ V。

2、若x.A=y.B且x.A=c被Σ中的GED強制執行，則對於x的每個屬性x.A，它的等價類是屬性y.B和常數c的集合。

上述等價關係定義2可以理解為，若被GED識別為x的y有兩個G的節點y1和y2，則={x,y1,y2}，而若x.A=y.B=c被GED強制執行，則x.A的等價類={x.A,y1.B,y2.B,c}

這種等價關係是自反、傳遞、對稱的，使得：

1、若節點y∈，則節點x∈，且=；所以可以將二者合併，這個很好理解，還是跟上面紅字一樣，x的等價類是x,y1,y2,則y1的等價類也是x,y1,y2；類似的若對於屬性y.B∈，則我們有，很容易看出y.B和x.A的等價類都是{x.A,y.B,c}

2、若存在屬性y.B使得y.B∈和y.B∈ ，則 = ，類似的若c∈ 且c∈則二者相等。

3、若節點y∈且y∈，則和相等。

4、若節點y∈，則對於y的每個屬性y.B有

一致性

若存在節點y∈使得L(x) L(y)且L(y)L(x) ,則我們稱之為標籤衝突

若存在y.B∈使得x.A=c且y.B=d，c!=d，則我們稱之為屬性衝突。

當存在標籤衝突或屬性衝突時，等價關係Eq在圖G上是不一致的。否則就是一致的

Coercion 強制

對於屬於V的每個節點x，把G上一致Eq的強制定義為圖其中：

V ' 是的集合，用來表示，這個是一個節點，也就是說使用這麼個節點來表示這個集合，將被識別為相同的節點表示為同一個節點。

E ′ 是邊的集合，也就是說，因為別識別為相同的節點已經被整合成同一個節點了，那麼它們的邊也應該整合成同一條邊。

若中所有的節點都被標記為_,則也是_ ，不然的話，其中，當Eq是一致時，標籤就相等，則這些標籤融合之後還是名字相同的一個標籤，這對應一致性問題的(label conflict)

，就是將別識別為相同節點的屬性關係取並集，當Eq一致時，這些屬性關係取並集就還是一個，比如x.A=c , y.A=c，那麼並集之後就是x.A=c，這對應一致性問題的(attribute conflict).

chase

以初試等價關係Eq0開始，Eq0由和組成，其中每個節點x都屬於V，每個屬性x.A=c都屬於FA(x)；

通過來對chase進行更新，其中是一個Σ的GED；是圖G上Eq的coercion 中模式Q的匹配，使得：

（a），（b）Eq′ 跟通過增加一個欄位 m（m ∈ Y）來擴充套件Eq是等價關係，而 y 和Eq‘ 滿足以下關係之一：

（1）如果m是x.A=c且，則Eq'擴充Eq通過（a）若h(x).A不在Eq中，包含一個新的等價關係類，（b）往裡新增c

（2）如果m是x.A=y.B且，則Eq'擴充Eq通過（a）若h(x).A不在Eq中就是新增（b）往新增h(y).B

（3）如果m是x.id=y.id且，則Eq'擴充Eq通過新增h(y)到

以上過程需要重複

（1）當沒有GEDs用來擴張ρ，就結束迭代，這種情況，就說ρ是有效的且ρ=。且很容易驗證在中是不一致的

（2）當一開始就不一致，或者迭代到，但是在中是不一致的，這些情況就直接使用禁止約束結束迭代，而ρ是無效的，結果用⊥表示。

例1、考慮圖G中v1.A=v2.A=1 ，有和，={ ,}，h1為x → v1 ，h2為y→ v2，h已經滿足了X，由上述規則可知，m是x.id=y.id，h(x)=v1, 則={v1}，={v2}，明顯v2不在裡面，所以往裡面新增v2，得到，所以v1和v2被識別為兩個相同的節點，則就會把兩個節點合併成一個，邊也合併了。

考慮其中和，而，h已經滿足了X（應該X為空集），由上述規則可知，m是y.id=z.id，h(y)=v1' ，={v1'}，明顯v2'不在中，則往新增v2'，得到，所以v1'和v2'被識別為兩個相同的節點，coercion G2就是將兩個節點合併得到的結果。

因為已經沒了GED可以用來更新

2.2 chase的Church Rosser性質

本節證明了使用GEDs進行chase擁有如下的性質：

1、用GEDs chase是有限的，如果對於GEDs的所有集合Σ和所有圖G，G被Σ chase的序列都是有限的。

2、如果對於所有的Σ和G，對於G中使用Σ進行chase的所有的終止chasing序列，不管GEDs的順序如何都產生了相同的結果。也就是說要麼全都產生相同的結果，要麼結果是⊥。滿足這種情況，我們就說GEDs chase具有Church Rosser性質。

3、如果存在一個有效的由Σ引起的終端chase序列，結果為，那麼。

定理1、用GEDs追是有限的，且Church-Rosser性質。此外，對於任意一組GEDs集合Σ和圖G，如果Σ存在一個有效的G的末端追蹤序列，那麼，其中是最終結果。也可以用chase(G,Σ)來表示最終的結果。

3 關於GEDS的推理

3.1 可滿足問題

Σ的一個模型是一個圖G，這個圖G有：1、G |= Σ ； 2、每一個Σ 中的，Q在G中有一個匹配。

如果Σ有模型，那麼σ中的ged是明智的，不會相互衝突。因此，我們可以應用這些GEDs，而不用擔心它們之間的衝突。而可滿足性問題就是研究當輸入為一個有限的GEDs集合Σ 時，是否會有輸出 Σ的一個模型？如果存在，則 Σ是可滿足的，不然就是不可滿足的。可滿足性問題只要求Σ中的每個模式Q在圖G中都有一個匹配，而這些匹配不一定是不相交的。

考慮一組GEDs的集合Σ，Σ的標準圖可定義為，分別是Vi，Ei，Li的聯合，則為空