什麼樣的數學問題可以“下金蛋”？

1. 引子：什麼是好的數學問題？

美國數學家哈爾莫斯說過：“問題是數學的心臟。”這一數學名言言簡意賅地點明瞭數學問題對數學的重要性。

1900 年 8 月，在巴黎召開的第二次國際數學家大會上，德國數學家希爾伯特做了題為《數學問題》的著名演講。這一演講，成為世界數學史的重要里程碑，為 20 世紀的數學發展揭開了光輝的一頁。在這次演講中，希爾伯特提出了 23 個當時未解決的難題——後來以“希爾伯特問題”著稱，而對這些難題的研究激勵推動了 20 世紀整個數學的發展。

1985 年，美籍華裔數學大師陳省身在南開大學數學研究所成立時指出，“一定要做好的數學”“有好的數學和不好的數學之分”“要從年輕時就懂得欣賞好的數學”。

從這兩個事例中，我們可體會到好的數學問題對數學的重要性。那麼，什麼是好的數學問題呢？在陳省身看來，只有那些不斷深入、有發展前途、可以影響許多學科的數學問題才是“好的數學”，如解方程。而另一些數學問題雖然可能也蠻有意思，但難以有進一步發展，它們就是“不好的數學”，如“拿破崙定理”。在希爾伯特看來，好的數學問題在於它有用且增進知識，數學史上的重要問題就在於其能創造新方法、建立新理論、開闢新領域。簡單說，好的數學問題就是能為數學“下金蛋”的數學問題。

那麼，古往今來，哪些數學問題能為數學“下金蛋”？今天為大家介紹一本《下金蛋的數學問題》，介紹了能夠“下金蛋”的六大經典數學問題，其中穿插了數學家奇聞軼事，讀來非常過癮。

2. 六大經典數學問題

縱觀數學發展史，這類重要的、有價值的數學問題可謂不勝列舉。本書所要介紹的正是從代數、幾何、圖論、數論中採擷出的 6 個經典數學問題。

在第一章中，我們介紹多項式方程根式解問題。這一問題涉及的是代數的中心問題：解方程。通過對這一問題的介紹，我們將看到代數學是如何隨著這一問題的研究一步一步發展起來的。我們還將看到，正是問題最終的解決，將代數學引向了新的方向。

在第二章中，我們介紹幾何三大問題，即用尺規三等分角、倍立方，以及化圓為方。這一類問題屬於平面幾何，而問題的解決要以解析幾何作為工具。因此，我們在這一章中也會簡單介紹一下解析幾何。

在第三章中，我們介紹歐幾里得第五公設問題。這一問題來自歐氏平面幾何，但對它 2000 多年的探討卻促使了非歐幾何的創立。我們還將看到，非歐幾何的產生對數學的重要意義及其在相對論中的應用。

在第四章中，我們介紹四色問題。這一問題屬於拓撲學，或更確切地說，屬於圖論。我們將看到，誕生於數學遊戲的拓撲學與圖論是如何隨著四色問題的研究得到進一步發展的。最終四色問題的計算機證明，又引發了人們對數學證明等問題的深入探討。

在第五章中，我們介紹費馬問題。這一問題屬於數論。我們的介紹亦將從數論的起源開始，並簡單介紹在數論早期發展中做出重要貢獻的幾位數學家及其工作。最後，我們將以英國數學家懷爾斯的圓夢之旅作為這出精彩數學戲劇的尾聲。我們還將從中看到，早期的數論伴隨著這一問題的研究而得以擴充套件形成新的數學分支——代數數論。

在第六章中，我們介紹素數問題。這一同樣屬於數論的問題曾被列入希爾伯特 23 個問題中，也稱為希爾伯特第 8 問題。這是一個涵蓋面非常廣的問題。我們將主要介紹數學之聖盃：黎曼猜想。這一問題與本書前 5 章介紹的問題有一個重要差別：前者都是已經獲解的問題，而只有黎曼猜想，這一被許多數學家認為是最重要的數學問題至今仍是尚未有人登頂的數學高峰。

通過這幾個問題的清晰介紹，讀者可對這些問題的來龍去脈獲得清楚認識。而伴隨著這一過程，讀者的數學旅程亦將成為反覆體驗“從驚訝到思考”的快樂之旅。

3. “從驚訝到思考”的快樂之旅

首先，讀者會為這幾個著名難題擁有的“困難性和簡單性的某種巧妙組合”特徵而驚訝。簡單性，是指問題本身清楚、易於理解。正是這一特點吸引、誘惑著無數人走上尋找問題解決鑰匙的道路。同時，無數嘗試者的失敗也揭示出這些看似簡單的問題實質上極度困難。這種問題表述“非常簡單”和問題求解“極度困難”的鮮明對立，是這些問題的特別迷人之處，也是令人驚歎之處。

其次，當看到這些問題的最終解答時，讀者可能有更大的驚訝感。一方面，有些問題的答案本身出人意料，如高於四次的一般多項式方程沒有根式解。另一方面，更出人意料的是問題的解決途徑。比如，為了證明看上去很簡單的四色問題，我們不得不借助於電子計算機。再如，為了證明費馬大定理，數學家們不得不兜上一個大圈子證明谷山 - 志村猜想，而為了證明谷山 - 志村猜想，懷爾斯不得不綜合利用現代數學許多分支的成就。

最後，讀者可能驚訝於這些數學問題孵出的金蛋之多。通過書中例證，我們會清楚認識到，數學中的重要問題，往往會成為新思想發展的酵母。為了解決問題，數學家們往往要提出新概念、新思想，創立新方法，得到新發現，而這些真知灼見，甚至可能開啟一扇新分支的大門。比如，正是在研究多項式方程的根式解問題中，天才數學家伽羅瓦提出了群論。再如，在費馬大定理的研究中，德國著名數學家庫默爾提出了理想數思想，其新思想雖然沒有徹底解決費馬猜想，但極大推動了代數數論的發展。

從不斷的驚訝中，讀者不僅會對這些重要的數學問題有所認識，從中領略它們的魅力，而且可深切體會“重大而關鍵的問題是活的血液，是推動數學發展的重要動力源泉”。更重要的是，讀者在驚訝之餘，還可做多角度、多層次的深入思考。

數學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在於各個部分之間的聯絡。我們從本書的介紹中會反覆體會到：在一個領域中發展的成果，將成為解決另一個似乎無關領域中突出問題的關鍵因素。而這種穩固出現的聯絡證實了數學本質上的一致性。

一般來說，如果繼續沿著前人的老路去解決著名數學問題，小改小革難以奏效，對於有幾百年歷史的老問題尤其如此。一個歷史的經驗是，要解決問題，必須找到新方法和新途徑，特別是發現與其他領域的新關係。自然，想依靠初等方法解決這類著名難題的努力註定會是徒勞的。

我們還會體會到，抽象的與高深的數學是必要的。現代數學抽象化的趨勢，不免引起人們對數學的誤解，認為數學只是少數怪傑才能問津且遠離現實的象牙塔。實際上，數學的抽象絕不是無源之水、無本之木。書中提到的群論的誕生即是很好的例證。

真正想從事數學研究，並有志解決世界數學難題的人，應該明白自己努力的方向：打下良好的基礎，具備相當的數學知識與修養，掌握所研究領域和課題已有的成果、方法和最新文獻，在此基礎上，再做進一步的探討。也就是說，任何世界難題的解決，都建立在對前人成功與失敗的深入瞭解的基礎之上。如果認為自己可以完全獨立另造一片天空，以解決前人未能解決的問題，這隻能是白費力氣。

從驚訝到思考，我們將加深對“數學是什麼”的理解，而且還可體會到數學之美，感受到數學的無窮魅力。

另外，書中還穿插了數學家的逸事及相關的數學思想。通過這種介紹，讀者可從更多側面瞭解“數學家是什麼樣的人”，同時可對許多重要數學思想有更透徹的認識。

本書是一本數學科普讀物，可供廣大師生及所有數學愛好者閱讀。

4. 專業人士推薦

如果你喜歡數學或者正在攻讀數學系，但又不太瞭解這門學科的歷史與現狀，那這本書會對你非常有幫助。你將會穿越到過去，和書中的眾多數學家一道，在貫穿數學史的6個重要問題中不斷探索，不斷前行，收穫許多看課本和刷練習題無法學到的知識。 ——顧森（Matrix67），《思考的樂趣》作者

這本書的故事性極強，很多數學家有血有肉的性格呼之欲出：伽羅瓦的桀驁不馴、尤拉如貝多芬一樣在失明後的多產、懷爾斯的謙遜和不屈不撓、埃爾德什浪跡天涯般地與人合作……這些精彩的故事、優美的數學、深邃的思想，必將吸引廣大讀者，追隨著優雅的魔笛聲，踏入數學的神奇殿堂。 ——劉新宇，亞馬遜中國研發中心部門經理

在《下金蛋的數學問題》一書中，韓雪濤老師從數學軌跡中為我們採擷了6個經典數學問題，每一個都有自己的傳奇：它的起源如何，在數學背景下為什麼是重要的，開闢怎樣的數學分支。我們能夠透過了解這些問題迷人與偉大的意義，提高對數學的認識，鍛鍊頭腦和思維的力量，激勵自己像前人那樣頑強學習，到達更廣闊與自由的境界。 ——李想，“遇見數學”公眾號創辦人

5. 作者簡介

韓雪濤

科普作家，另著有《數學悖論與三次數學危機》《從驚訝到思考——數學悖論奇景》等，參與編寫《十萬個為什麼（第六版，數學卷）》《數學的足跡》（改變世界的科學叢書）等。

本書曾入選“2010年新聞出版總署向全國青少年推薦百種優秀圖書”書目。《數學悖論與三次數學危機》在2016年入選《環球科學》最美科學閱讀Top10書單。《數學的足跡》在2016年10月榮獲第四屆中國科普作家協會優秀科普作品獎（圖書獎）。