什麼是範疇論，為什麼會流行？ 數學不是關於數字的學問！- Katerina

我們深入數學的海洋越深，我們看到的數字就越少。
這是因為數學實際上是在解釋一般現象。數學家使用的字母被稱為“變數”，顧名思義，它們可以取不同的值，它們“變化”。在主要由字母定義的表示式中插入不同的數字會產生新的例子。用數值計算各種例子對於發現一般現象背後的趨勢和形成所謂的猜想非常有幫助。
也許這有點違反直覺，但是將某些東西剝離到其骨架上，並僅將其作為抽象結構進行研究，這通常會揭示隱藏的屬性，並有助於更深入地瞭解所討論的物件。
例如，我們知道我們有整數、有理數、實數、複數和四元數。當我們檢視每組具有哪些潛在性質時，我們推斷所有這些在二元運算加法和乘法下都是封閉的，它們在減法下都是可交換associative的和封閉的closed ，但整數在除法下不是封閉的，四元數不是可交換的（即我們在四元數中將兩個數字相乘的順序很重要——如果我們將數字輪換，我們會得到不同的結果）。
因此，當我們放眼大局並嘗試分離特定屬性時，我們會看到研究物件的真實結構。
在許多其他方面，著眼於更大的圖景使我們能夠做到以下幾點：

• a) 深入研究物件的結構；
• B) 在這個物件和其他物件之間建立意想不到的連線。

範疇論是數學的一部分
它為我們提供了討論和探索結構所需的工具。它是一種組織工具、記賬資產、地圖、日記、日記。它記錄並連線。它就像洞穴中的火炬——乍一看是一個簡單的發明，讓我們對地表之下的事物有了深刻的瞭解。
範疇論的美妙之處在於剝離所有細節，深入研究我們所研究的事物的底部，它揭示了基本的骨架。它有兩種工作方式——你可以嘗試在範疇論框架中工作，然後將發現應用於不同的數學領域，或者嘗試將特定結構的已知屬性翻譯成範疇論語言，看看這會揭示什麼。它為從一般到具體，反之亦然鋪平了道路。
 

範疇論基礎知識
一個範疇category由兩部分組成：物件和態射。
物件是我們想要考慮的元素，態射是它們之間的對映。對映也滿足一些標準條件，例如，我們可以“組合”它們，或者用人的話來說，將它們組合起來。
例如，範疇的第一個很好的例子是有限集的範疇，稱為Set。物件是有限集，態射是這些集的對映。Set是元素的集合，例如，集合 {1,2,3} 是 3 個元素的集合，其中每個元素都是一個數字。集合中元素的個數就是集合的大小。所以我們的例子 {1,2,3} 是一個大小為 3 的集合。
集合之間的對映是一種賦值，它將一個集合的元素髮送到另一個集合的元素。如果我取集合 {1,2,3} 和 {4,5,6,7,8}，我可以定義一個傳送 1 到 5、2 到 7 和 3 到 4 的對映。注意定義集合的對映你不必從相同大小的集合開始。
So the structure where objects are sets and morphisms are maps of sets defines the category Set of finite sets.
物件的結構是集合set，而morphisms 是定義這些集合之間的各種對映，透過研究這個抽象定義的結構，我們可以推匯出關於物件和態射的新屬性。我們可以將它們連線到具有不同物件和態射的範疇。
兩個範疇之間的對映稱為函子，然後我們可以研究兩個範疇之間的不同種類的函子，我們可以組合函子。我們甚至可以研究函子之間的函子，稱為自然變換natural transformations，等等。可能性是無窮無盡的。
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舉例：我們這裡有三個獨立的範疇：女孩的範疇，稱之為女孩們；男孩範疇，稱之為男孩們，還有一類飲料範疇：飲料們。由於所有這些都是離散的，我們在範疇內沒有任何關係——即，我們假設沒有任何女孩之間有任何關係，男孩和飲料也是如此。然而，我們在範疇之間有關係——即函子。
有一個從女孩們到男孩們的函子，由對映關係“最好的朋友”給出定義，還有一個從男孩們到飲料類的函子，由“喜歡早餐”給出定義。
現在請注意，要獲得從女孩們到飲料的函子，我們可以先按照女孩們到男孩們態射箭頭，然後按男孩們到飲料的態射箭頭。因此，這個函子是這些函子組合的一個例子。這就是它被稱為“最好的朋友喜歡什麼早餐”的原因。
 
範疇論為我們提供了一種研究各種事物的新語言。它為我們提供了一個統一的環境，適用於數學的各個領域，而不是研究特定的案例，透過研究某個類別，我們可以同時研究多種事物。
這個想法是革命性的，在物理學、電腦科學、程式設計、語言學、語言研究，當然還有數學本身有很多應用。範疇論本身是一個有趣的學科，但最令人興奮的部分是它展示了數學的不同領域實際上是如何相互關聯的，並給出了將學科作為一個統一的整體而不是看似分散的集合的新視角。不同的話題。