概括

這篇部落格分析了論文Indexing Metric Spaces with M-tree（後文簡稱M-Tree），我將從以下幾個方面介紹它：

1. 背景
2. M-Tree的結構
3. M-Tree的插入
4. M-Tree的分裂
5. 如何使用M-Tree進行range搜尋
6. M-Tree的程式碼

背景

M-tree被設計為了解決最近鄰搜尋問題（NN）或範圍搜尋問題。以生活中的例子作為說明，最近鄰搜尋問題（NN）指的是，給定一個地理位置，在資料集中找到距離給定位置最近的目標（比如最近的飯店，最近的銀行等等）。
範圍搜尋問題指的是，給定一個地理位置和搜尋範圍，在資料集中找到距離小於範圍的所有目標。

M-Tree核心思路

M-tree使用圓形（二維情況）覆蓋空間區域。每個圓涵蓋了一部分資料所在的區域。對於查詢目標，M-tree確定哪個圓和目標區域相交，若相交，則繼續探測對應的圓。若不相交則濾除對應的圓，這意味著該圓涵蓋的資料都不需要進行判斷，減少了需要探測的資料量。本質上，M-tree從上到下就是一個大圓包含小圓的結構。

M-Tree的結構

在這一節分析如果構建M-tree。M-Tree使用圓來劃分割槽域，因此每個結點存在一個圓心和一個半徑。M-Tree的分為兩類結點：內結點，葉結點。每個結點儲存0~M個孩子結點。每個結點的多個屬性我們用一個entry類來組織，不同型別的結點entry類是不同的：

內節點：它是包含了

• $\mathrm{entry}\left(O_r\right)=\left[O_r,\mathrm{ptr}\left(T\left(O_r\right)\right),r\left(O_r\right),d\left(O_r,P\left(O_r\right)\right)\right]$

$O_r$是結點圓心值，$d\left(O_j,P\left(O_j\right)\right)$是當前結點圓心值到父節點圓心值的距離，$r(O_r)$是圓的半徑，$ptr\left(T\left(O_r\right)\right)$是指向孩子結點的指標。

葉結點：

• $\text{ entry }\left(O_j\right)=\left[O_j,\text{ oid }\left(O_j\right),d\left(O_j,P\left(O_j\right)\right)\right]$

$O_j$是目標的值，$d\left(O_j,P\left(O_j\right)\right)$是當前結點值和父節點值的距離，$oid(O_j)$是葉節點儲存的資料在資料集中的id或指標，

M-Tree的插入

在這一節描述M-tree的插入過程。插入過程需要將一個資料插入到對應的葉節點當中（同樣地，葉節點只能存放0-M個資料）。
從根節點開始，找到插入資料對應的葉節點有以下關鍵思路：

找到正確的孩子結點（最小範圍擴大）：

• 計算每個孩子結點的圓心值和插入資料的距離dist
• 如果存在dist小於某些孩子結點的半徑（這意味著插入帶點不用擴大結點的半徑），則選擇最小dist對應的孩子結點。
• 若不存在，選擇dist減去半徑最小的孩子結點作為結果

葉節點開始分裂

• 到達葉節點後，若葉節點未滿，則直接將資料插入
• 若葉節點滿了，則需要將結點進行分裂。

M-Tree的分裂

對於一個滿的結點，我們需要將它分裂成兩個結點。然後

• 孩子結點按一定方式分配到兩個結點中
• 修改父節點的指標，使其指向兩個結點

下面我以下面的程式碼舉例分析

• 生成兩個新結點（行6-7）
• 儲存原結點的全部孩子結點和帶插入結點到陣列entrys中
• 在陣列entrys中選擇兩個結點，將其屬性更新到兩個新結點。選擇結點有很多中方式，比如最小範圍覆蓋，隨機等 (行13）
• 將陣列entrys中的全部結點劃分到兩個新結點中 (行16）
• 如果當前節點不是葉節點：
• 修改新結點和父節點的關係（行39-42）
• 將其中新結點1的全部屬性劃分到當前結點中，刪除新結點1（行44和48，注意45,46行是PM-Tree的內容，和本文無關）
• 如果父節點未滿，則將新結點二插入到父節點中（行54）
• 如果父節點滿，向上分裂父節點（行50-52）
• 如果當前節點不是葉節點：類似處理

1 void PM_Tree::Split(M_Node_St ** cur_node_ptr_address_, M_Node_St ** insert_node_address_)
2 {
3 	M_Node_St * cur_node_ = *cur_node_ptr_address_;
4 	M_Node_St * insert_node_ = *insert_node_address_;
5 	/*spilt two new nodes */
6 	M_Node_St* new_Mnode_1 = new M_Node_St(nullptr, 0, -1, -1);
7 	M_Node_St* new_Mnode_2 = new M_Node_St(nullptr, 0, -1, -1);
8 
9 	vector<M_Node_St*>  entries = cur_node_->ptr_sub_tree;
10	entries.emplace_back(insert_node_);
11	
12	/*decide featuer value of node_1 and node_2  basing on entries*/
13	Promote(entries, new_Mnode_1, new_Mnode_2);
14	
15	/*divide ertries into node_1 and node_2  */
16	Partition(entries, new_Mnode_1, new_Mnode_2);
17
18	if (Is_Root_Node(cur_node_)) {
19		M_Node_St* new_root = new M_Node_St(nullptr,0,-1,-1);
20		new_root->feature_val = new_Mnode_1->feature_val;/*update root feature value*/
21
22		/*update information*/
23		new_Mnode_1->patent_node = new_root;
24		new_Mnode_1->dist_to_parent = Cal_Dist_To_Parent(new_Mnode_1);
25		new_Mnode_2->patent_node = new_root;
26		new_Mnode_2->dist_to_parent = Cal_Dist_To_Parent(new_Mnode_2);
27		Merge_subNode_HR(new_Mnode_1);
28		Merge_subNode_HR(new_Mnode_2);
29
30
31		new_root->ptr_sub_tree.emplace_back(new_Mnode_1);
32		new_root->ptr_sub_tree.emplace_back(new_Mnode_2);
33		new_root->range = Cal_Cover_Radius(new_root);
34		Merge_subNode_HR(new_root);
35		root = new_root;
36	}
37	else {
38		/*update information*/
39		new_Mnode_1->patent_node = cur_node_->patent_node;
40		new_Mnode_1->dist_to_parent = Cal_Dist_To_Parent(new_Mnode_1);
41		new_Mnode_2->patent_node = cur_node_->patent_node;
42		new_Mnode_2->dist_to_parent = Cal_Dist_To_Parent(new_Mnode_2);
43		/*將new_Mnode_1中元素替換cur_node_元素，並更新父節點*/
44		assign_Node_All_Value(cur_node_, new_Mnode_1);
45		Merge_subNode_HR(cur_node_);
46 		Merge_subNode_HR(new_Mnode_2);
47		/*delete memory*/
48		delete(new_Mnode_1);
49
50		if (Is_Full(new_Mnode_2->patent_node)) {
51			Split(&(new_Mnode_2->patent_node), &new_Mnode_2);
52		}
53		else {		
54			new_Mnode_2->patent_node->ptr_sub_tree.emplace_back(new_Mnode_2);
55		}
56	}
57}
58

使用M-Tree進行range搜尋

M-Tree的程式碼

很早以前寫的程式碼，大致上的PM-tree是沒有問題的。在程式設計上存在血多瑕疵，希望大家多多指點
https://github.com/duoyw/PM-Tree