Goal: 藉由有趣的「海龜繪圖」學會基礎的 Python 程式設計
本課程帶領同學以 Python 實現 Logo 烏龜繪圖，藉由有趣的「烏龜繪圖」學會基礎的 Python 程式設計

part2

5 遞迴 recursive 之介紹

參考維基的 recursive 之介紹
Ref: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%92%E5%BD%92
link

費氏數列是典型的遞迴案例：

$F_0=0（初始值）$
$F_1=1（初始值）$
$F_n=F_{n-1}+F_{n-2},對所有大於1的整數n（遞迴定義）$

5.1 Python recursive 遞迴函式的寫法以 $2^n$ 為例

一般程式語言, recursive(遞迴) 函式的寫法, 就是有 函式自己呼叫自己 的結構.

以 $2^n$為例 , $2^n$ 也可以表達為遞迴案例,
因為
$$2^1=1$$
$$2^n=2^{n-1}\cdot 2$$.
如果令 $F_n=2^n$, 則有
$F_1=2（初始值）$
$F_n=F_{n-1}\cdot 2,\text{for all integer}n>1（遞迴定義）$

如果把 $F_n$ 視為函式 F(n), 令Ｆ(n)= $2^n$ 或 $F_n$, 則有
$$F(n)=F(n-1)\cdot 2$$
則我們可以寫一個 Python 函式粗略如下

可以先寫一個虛擬碼的輪廓:

定義一個函式 F(n):
，，，
，，，
返回值為: F(n-1) * 2

再用 Python 的語法重寫, 粗略如下

def F(n):
(縮排) ,,,,,,,
(縮排)  return F(n-1)\*2

遞迴函式一定要定義起始值, 例如 n=1 時該函式回應之值, 才不會形成無窮遞迴,
故必須加

if n==1:
    return 2

完整程式如下

# P-J Lai MATH NKNU 20201004

def F(n):
    if n==1:
        return 2
    return F(n-1)*2

執行, 發現確實會回 2 的次方值

>>> F(1)
2
>>> F(2)
4
>>> F(3)
8
>>> F(4)
16
>>> F(5)
32

• 以下可以等進階時再細看

Ex: 輸入 F(-5), 觀察會發生甚麼事?
Hint: 函式的輸入, 必須預期, 使用者可能會輸入不預期(不合法) 的內容, 如何防止這類事情?
輸入 Fr(-5)
程式會求 F(-6),
求 F(-6), 會需要求 F(-7), F(-8), F(-9),
則形成無窮往深處求遞迴,

搜尋: stable codes 穩健的程式碼
使用

try:
縮排 指令
except:
縮排 發生異常時處理之程動作

或是用 aasert (斷言) 會較簡潔:
assert 真假值條件, '字串'

Ans:
以下的 recur2power( * ), 就是上面的　F( * )

>>> recur2power(-5)
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#0>", line 1, in <module>
    recur2power(-5)
  File "C:\Users\user\Desktop\202009上課\新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請\recur2power.py", line 6, in recur2power
    return recur2power(n-1)*2
  File "C:\Users\user\Desktop\202009上課\新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請\recur2power.py", line 6, in recur2power
    return recur2power(n-1)*2
  File "C:\Users\user\Desktop\202009上課\新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請\recur2power.py", line 6, in recur2power
    return recur2power(n-1)*2
  [Previous line repeated 1021 more times]
  File "C:\Users\user\Desktop\202009上課\新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請\recur2power.py", line 4, in recur2power
    if n==1:
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison

以下 try except 的寫法, 重寫 recur2power(n), 為 recur2power_try_except(n)
輸入
>>>recur2power_try_except(-1)
會發生無窮報錯的狀況

# P-J Lai MATH NKNU 20201004
# 以下 try except 的寫法會無窮報錯 20201014
##Input n is not positive!
##Input n is not positive!
##Input n is not positive!
##Input n is not positive!

# 用 assert 會較適合


def recur2power_try_except(n):
    try:
        if n==1:
            return 2
        return recur2power_try_except(n-1)*2
    except:
        print('Input n is not positive!')

##except:
##        print('Input n is not positive!')
##也可以換成
##except Exception:
##        print('Input n is not positive!')

>>> recur2power_try_except(-1)
Input n is not positive!
Input n is not positive!
Input n is not positive!
Input n is not positive!
,,,,,,,

發現這個例子用 assert 較適合
以下 assert 的寫法, 重寫 recur2power(n), 為 recur2power_assert(n)

# P-J Lai MATH NKNU 20201004
# 用 try except 的寫法會無窮報錯 20201014

# 用 assert 會較適合

def recur2power_assert(n):
    assert n > 0, '輸入之 n 必須是正數'
    if n==1: 
        return 2
    return recur2power_assert(n-1)*2

>>> recur2power_assert(3)
8
>>> recur2power_assert(-1)
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#3>", line 1, in <module>
    recur2power_assert(-1)
  File "C:/Users/user/Desktop/202009上課/新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請/recur2power_assert.py", line 7, in recur2power_assert
    assert n > 0, '輸入之 n 必須是正數'
AssertionError: 輸入之 n 必須是正數

Ex: 輸入recur2power_assert(5/2), 觀察會發生甚麼事?
能否改寫, 使函式可以偵測輸入是否為整數?

>>> recur2power_assert(5/2)
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#6>", line 1, in <module>
    recur2power_assert(5/2)
  File "C:/Users/user/Desktop/202009上課/新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請/recur2power_assert.py", line 10, in recur2power_assert
    return recur2power_assert(n-1)*2
  File "C:/Users/user/Desktop/202009上課/新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請/recur2power_assert.py", line 10, in recur2power_assert
    return recur2power_assert(n-1)*2
  File "C:/Users/user/Desktop/202009上課/新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請/recur2power_assert.py", line 10, in recur2power_assert
    return recur2power_assert(n-1)*2
  File "C:/Users/user/Desktop/202009上課/新莊高中_彈性課程_高師大數學系_202003申請/recur2power_assert.py", line 7, in recur2power_assert
    assert n > 0, '輸入之 n 必須是正數'
AssertionError: 輸入之 n 必須是正數

• 以上可以等進階時再細看

Ex: 用 for 重寫以上 2 的次方之程式.

5.2 用 for 寫一個累加的程式, 再用 recursive 的方法寫一個累加的程式

Q: 寫一個函式, 對輸入的正整數 n, return 1+2+3$\cdots$+n 的值
Ans:
A. 用 for 寫
codes 如下

# P-J Lai MATH NKNU 20201004

def SUM(n):
    temp = 0
    for i in range(1, n+1):
        temp = temp + i

    return temp

執行累加 1 到 10, 跟 累加 1 到 100

>>> SUM(10)
55
>>> SUM(100)
5050

---

另一種用內建指令的方式: sum(range(1,n+1))

def sumRange(n):
	return sum(range(1,n+1))

執行

>>> sumRange(10)
55
>>> sumRange(100)
5050

---

B. 用 recursive 的方法寫
用累加的數學形態觀察
令 summation 的符號為
$$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3\cdots +n-------(1)$$
因為有
$$\begin{gathered} 1+2+3\cdots +n=(1+2+3\cdots +n-1)+n=\sum _{k=1}^{n-1}k+n \\ ------------------(2) \end{gathered}$$
則有
$$\sum _{k=1}^{n}k=(\sum _{k=1}^{n-1}k)+n-----------(3)$$
如果我們將 ${\sum }_{k=1}^{n}k$ 視為一個 n 的函式, 取名為 sumRecu(n), 則可以把以上(2)重寫為
$$\mathbf{s}\mathbf{u}\mathbf{m}\mathbf{R}\mathbf{e}\mathbf{c}\mathbf{u}(\mathbf{n})=\mathbf{s}\mathbf{u}\mathbf{m}\mathbf{R}\mathbf{e}\mathbf{c}\mathbf{u}(\mathbf{n}-1)+\mathbf{n}$$
或是用大家習慣的遞迴定義方式:
$sumRecu(1)=1（初始值）$
$sumRecu(n)=sumRecu(n-1)+n,\text{for all integer}n>1（遞迴定義）$
則參考上節, 2 的次方 ( $2^n$), 那個例子, 把recur2power(n) 視為 $2^n$, 遞迴函式就可以很快地寫下,
我們可以寫一個遞迴函式粗略如下

def recursiveSum(n):
縮排 $\cdots$
縮排 return recursiveSum(n-1)*2

def recursiveSum(n):
    ,,,
    return recursiveSum(n-1)\*2

再加一個"定義起始值", recursiveSum(1) 當然為1, 故必須加

if n==1:
    return 1

完整程式如下

# P-J Lai MATH NKNU 20201004

def recursiveSum(n):
    if n == 1:
        return 1
    return recursiveSum(n-1) + n

執行如下

>>> recursiveSum(10)
55
>>> recursiveSum(100)
5050

Ex: 用 for 寫一個累乘的程式, 再用 recursive 的方法寫一個累乘的程式

5.3 用 for 寫一個產生Fibonacci sequence 費氏數列的程式, 再用 recursive 的方法寫一個產生Fibonacci sequence 費氏數列的程式

費氏數列是典型的遞迴案例：

$F_0=0（初始值）$
$F_1=1（初始值）$
$F_n=F_{n-1}+F_{n-2},對所有大於1的整數n（遞迴定義）$

費氏數列是典型的遞迴案例：

$F(0)=0（初始值）$
$F(1)=1（初始值）$
$F(n)=F(n-1)+F(n-2),對所有大於1的整數n（遞迴定義）$

# P-J Lai MATH NKNU 20201004

def recurFibonacci(n):
    if n == 0 or n==1:
        return 1
    return recurFibonacci(n-1) + recurFibonacci(n-2)

>>> for i in range(0,11):
	print(recurFibonacci(i))

	
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89

for 的寫法:

# P-J Lai MATH NKNU 20201004

def forFibonacci(n):
    if n ==1 or n==2:
        return 1
    F_prev2 = 1
    F_prev1 = 1
    for i in range(3,n+1):
        #F_prev2, F_prev1 =F_prev1, F_prev2 + F_prev1
        temp = F_prev2
        F_prev2 = F_prev1
        F_prev1 = temp + F_prev1

    return F_prev1

或是

# P-J Lai MATH NKNU 20201004

def forFibonacci(n):
    if n ==1 or n==2:
        return 1
    F_prev2 = 1
    F_prev1 = 1
    for i in range(3,n+1):
        F_prev2, F_prev1 = F_prev1, F_prev2 + F_prev1
       
    return F_prev1

>>> for i in range(0,11):
	print(forFibonacci(i))

	
1
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55

5.4 觀摩 turtle module demo 中與碎形有關的部分: forest, fractal curves, lindenmayer, tree 等

6 以遞迴語法畫圓內部層層巢狀圓

6.1 以遞迴語法畫圓內部層層巢狀一個圓

# recursive circles, 遞迴內嵌圓
# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201020

import turtle
import random

T = turtle.Turtle()
T.shape('turtle')
T.speed(0)
T.fillcolor('green')
T.pencolor('red')
T.pensize(3)
turtle.bgcolor('black')
turtle.tracer(0,0)

T.penup()
T.goto(0, -200)
T.pendown()

def recursive_1_circle(radius, depth):
    if depth < 1:
        return
    
    T.circle(radius)

    T.penup()
    T.goto(0, -200)
    T.pendown()
    recursive_1_circle(radius*1/2,depth-1)

    return
    
recursive_1_circle(200,20)

6.2 以遞迴語法畫 chaos 中的吸子: 圓內部層層巢狀兩個圓

# recursive circles, 遞迴內嵌圓
# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201020

import turtle
import random

T = turtle.Turtle()
T.shape('turtle')
T.speed(0)
T.fillcolor('green')
T.pencolor('red')
T.pensize(2)
turtle.bgcolor('black')
turtle.tracer(0,0)
#pos=(-200,0)



def recursive_2_circle(pos,radius, depth):
    if depth < 1:
        return

    
    T.penup()
    T.goto(pos)
    T.pendown()
    T.circle(radius)
    posLocal=(pos[0]+1/2*radius, pos[1]+1/2*radius)
    #pos=T.position()
    
    
    T.penup()
    T.goto(posLocal)
    T.pendown()
    #recursive_2_circle(posLocal, radius*1/2, depth-1)
    recursive_2_circle(posLocal, radius*1/3, depth-1)

    posLocal=(pos[0]-1/2*radius, pos[1]+1/2*radius)
    T.penup()
    T.goto(posLocal)
    T.pendown()
    #recursive_2_circle(posLocal, radius*1/2, depth-1)
    recursive_2_circle(posLocal, radius*1/3, depth-1)

    return
    
recursive_2_circle((0,-200),200,5)

7 Fractal tree 碎形樹- recursive 之應用

觀摩 YouTube上講解以 JavaScript 語言模擬"碎形樹" 的影片
Ref: https://www.youtube.com/watch?v=0jjeOYMjmDU
link

Ex: 你可以用 Python 的 turtle module 重現一次
“The Coding Train” 系列中, 模擬"碎形樹" 的動畫嗎?

Python turtle 的 demo 也有:

較單純沒有隨機的樹

7.1 最簡單 2 叉碎形樹, 樹枝夾角為 45 度

因為demo 的原始碼較不好讀,
以下我們試著用自己的較單純的設計方法去實現簡單2叉碎形樹的繪製,

以下是粗略的結構

# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201007
# 以下是沒有隨機的版本


import turtle
T = Turtle()

def tree1(pos, length, angle, r):
    if length < 0.5:
        return
    
    T.goto(pos)
    T.lt(angle)
    T.fd(length)
    
    tree1(pos?, length*r, angle=angle-45)
    tree1(pos?, length*r, angle=angle+45)

    return

以下補上codes 細節
如果自己試著寫, 會發現相當困難, 牽涉到遞迴的執行, 是層層往深處呼叫, 直到最底層, 才獲得答案, 才一層一層往回給出前一層之解答,
所以必須先記錄往下疊代前, 當下的位置與角度 ( 此處如果你沒有自己試著寫, 並試著跑第一層第二層看看執行結果, 找出錯誤的原因, 嘗試錯誤, 你會不知道這段話的意義!)

# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201007
# 修改自河西朝雄的 C 程式碼
# 以下是沒有隨機的版本

import turtle
T = turtle.Turtle()
r = 0.7
#T.lt(90)

def tree1(pos, length, angle):
    if length < 10:
        return
    
    T.setheading(angle)
    T.fd(length)
    pos = T.position()
    
    angle1=angle-45
    tree1(pos, length*r, angle1)

    
    angle2=angle+45
    T.penup()
    T.goto(pos)
    T.pendown()
    tree1(pos, length*r, angle2)

    return

tree1((0,0),100, 0)

執行結果

把顏色跟角度調整一下
程式碼改一下

import turtle
T = turtle.Turtle()
r = 0.7
#T.lt(90)
T.shape('turtle')
T.pencolor('red')
T.pensize(3)
T.fillcolor("blue")
,,,,

tree1((0,0),100, 90)

以下為往正北出發, 樹枝夾角=45

7.2 樹枝夾角為 可調整

以下我們將程式碼修改成增加夾角可以調整, 不一定都要是45度,
函式增加一個輸入引數
tree1(pos, length, headingAngle, angle)

結果發現錯誤, 原因在全域變數之問題

以下為往正北出發, 樹枝夾角=30, codes有 bug 之圖

tree1_增加夾角_錯誤_全域變數之問題.py

# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201007
# 修改自河西朝雄的 C 程式碼
# 增加夾角的引數
# 以下是沒有隨機的版本


import turtle
T = turtle.Turtle()
r = 0.7
#T.lt(90)
T.shape('turtle')
T.pencolor('red')
T.pensize(3)
T.fillcolor("blue")


def tree1(pos, length, headingAngle, angle):
    if length < 10:
        return
    
    T.setheading(headingAngle)
    T.fd(length)
    pos = T.position()
    
    #headingAngle=headingAngle-45
    headingAngle1=headingAngle-angle
    tree1(pos, length*r, headingAngle1, angle)

    
    headingAngle2= headingAngle-angle
    T.penup()
    T.goto(pos)
    T.pendown()
    tree1(pos, length*r, headingAngle2, angle)

    return

#tree1((0,0),100, 0)
tree1((0,0),100, 90, 30)

修正後:
以下是修訂之後的版本, 增加一個區域性變數, 會紀錄當下的 heading angle (海龜的前進方向)

以下為往正北出發, 樹枝夾角=30, codes 正確 之圖

# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201007
# 修改自河西朝雄的 C 程式碼
# 增加夾角的引數
# 以下是沒有隨機的版本


import turtle
T = turtle.Turtle()
r = 0.7
#T.lt(90)
T.shape('turtle')
T.pencolor('red')
T.pensize(3)
T.fillcolor("blue")


def tree1(pos, length, headingAngle, angle):
    if length < 10:
        return

    headingLocal = headingAngle
    T.setheading(headingLocal)
    T.fd(length)
    pos = T.position()
    
    #headingAngle=headingAngle-45
    headingLocal_1=headingLocal - angle
    tree1(pos, length*r, headingLocal_1, angle)

    headingLocal_2= headingLocal + angle
    T.penup()
    T.goto(pos)
    T.pendown()
    tree1(pos, length*r, headingLocal_2, angle)

    return

#tree1((0,0),100, 0)
tree1((0,0),100, 90, 30)

7.3 樹枝夾角改為隨機擾動

樹枝夾角增加隨機擾動, 擾動值範圍 = 夾角的 0 ~ 0.7倍
codes 增加:

if random.randint(0,1)>0:
        randomPerturbation = random.random()*0.7
    else:
        randomPerturbation = -random.random()*0.7
        
headingLocal_1=headingLocal - angle*(1+randomPerturbation) 
    
tree1_random_angle(pos, length*r, headingLocal_1, angle)

tree1_random_angle_20201011.py

# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201007
# 修改自河西朝雄的 C 程式碼
# 增加夾角的引數
# 以下是樹枝夾角改為隨機擾動的版本


import turtle
import random
T = turtle.Turtle()
r = 0.7
#T.lt(90)
T.shape('turtle')
T.pencolor('red')
T.pensize(3)
T.fillcolor("blue")


def tree1_random_angle(pos, length, headingAngle, angle):
    if length < 10:
        return

    headingLocal = headingAngle
    T.penup()
    T.goto(pos)
    T.pendown()
    T.setheading(headingLocal)
    T.fd(length)
    pos = T.position()
    
    #headingAngle=headingAngle-45

    if random.randint(0,1)>0:
        randomPerturbation = random.random()*0.7
    else:
        randomPerturbation = -random.random()*0.7
        
    headingLocal_1=headingLocal - angle*(1+randomPerturbation) 
    
    tree1_random_angle(pos, length*r, headingLocal_1, angle)

    if random.randint(0,1)>0:
        randomPerturbation = random.random()*0.7
    else:
        randomPerturbation = -random.random()*0.7

    headingLocal_2= headingLocal + angle*(1+randomPerturbation)
    T.penup()
    T.goto(pos)
    T.pendown()
    tree1_random_angle(pos, length*r, headingLocal_2, angle)

    return

#tree1((0,0),100, 0)
tree1_random_angle((0,0),100, 90, 45)

以下是 長 200, 夾角 45 隨機小擾動, 起始位置 = (0, -300)

7.4 左右分枝不同的收縮率

以下參考河西朝雄的 ch8, 讓左右是不同的收縮率, 左邊的收縮率是右邊的 0.8 倍, 造成枝葉偏右的型態

>>>tree1_random_angle_diff_length((0,-300),150, 90, 20)

tree1_random_angle_diff_length(pos, length, headingAngle, angle)

# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201007
# 修改自河西朝雄的 C 程式碼
# 增加夾角的引數
# 以下是樹枝夾角改為隨機擾動的版本
# 以下參考河西朝雄的 ch8,  讓左右不同的縮收率, 左邊是右邊的0.8倍, 造成枝葉偏# 右的型態


import turtle
import random
T = turtle.Turtle()
right_ratio = 0.8
left_ratio = 0.64
#T.lt(90)
T.shape('turtle')
T.pencolor('red')
T.pensize(2)
T.fillcolor("blue")
T.speed(0)
turtle.tracer(0,0)


def tree1_random_angle_diff_length(pos, length, headingAngle, angle):
    if length < 10:
        return

    headingLocal = headingAngle
    T.penup()
    T.goto(pos)
    T.pendown()
    T.setheading(headingLocal)
    T.fd(length)
    pos = T.position()
    
    #headingAngle=headingAngle-45

    if random.randint(0,1)>0:
        randomPerturbation = random.random()*0.7
    else:
        randomPerturbation = -random.random()*0.7
        
    headingLocal_1=headingLocal - angle*(1+randomPerturbation) 
    
    tree1_random_angle_diff_length(pos, length*right_ratio, headingLocal_1, angle)

    if random.randint(0,1)>0:
        randomPerturbation = random.random()*0.7
    else:
        randomPerturbation = -random.random()*0.7

    headingLocal_2= headingLocal + angle*(1+randomPerturbation)
    T.penup()
    T.goto(pos)
    T.pendown()
    tree1_random_angle_diff_length(pos, length*left_ratio, headingLocal_2, angle)

    return

tree1_random_angle_diff_length((0,-300),150, 90, 20)

Ex 左右分枝的長度收縮率 隨機擾動

Ex: 之前的 codes, 左右分枝的長度收縮率是在程式裡面直接給定, 例如, right_ratio = 0.8, left_ratio = 0.64,
請同學改成, 左右分枝的長度收縮率有一個隨機擾動的範圍, 並觀察圖形是否更自然更有變化.

8 Von Koch Curve 寇赫雪花碎形曲線- recursive 之應用

修改河西朝雄 8-7 KochRei62.c

以下為遞迴 1 層

以下為遞迴 2 層

以下為遞迴 5 層

#2013/11/28  by Prof. P-J Lai MATH NKNU 修改河西朝雄8-7KochRei62之執行

from turtle import *
def koch(turtle, n,leng):   # Koch 遞迴的程式
    if (n==0):
        turtle.fd(leng)
    else: 
        koch(turtle,n-1,leng)
        turtle.lt(60)
        koch(turtle,n-1,leng)
        turtle.lt(-120)
        # self.rt(120 )
        koch(turtle,n-1,leng)
        turtle.lt(60)
        koch(turtle,n-1,leng)
    
def main():
    T=Turtle()
    T.shape('turtle')
    T.color('blue','green')
    T.speed(0)
    #以下三行只是希望將烏龜的起始位置移到(-200,0)的地方
    #以利烏龜出現在視窗較適當的位置, 當length改變時, 或是層數n 改時, 
    #此起始位置還要自己再修改

    T.penup()
    T.goto(-600,-100)
    T.pendown()
    koch(T,5,5)

main()

9. 遞迴 recursive 與 疊代 iterated (迴圈 for loop) 是否可以互相轉換?

• 迴圈 (for, while loop) 效能很高, 但是遞迴 (recursive) 的程式碼結構簡潔一目瞭然 (假設你已經很懂遞迴的語法).

• 尾遞迴效能與迴圈接近

5 那裡我們舉了 $2^n$, 累加, 費氏數列, 它們 recursive 寫法與 loop 寫法是可以互相轉換, 但是對一般的狀況, 兩者是否確實等價的?

在網路上查詢, 理論上是可以的, 但是在 知乎的文章:
所有遞迴都可以改寫成迴圈嗎？
https://www.zhihu.com/question/29373492
link
有回答:
棧底不可預見的時候，遞迴是無法有效地化為迴圈的。If you maintain your own stack it would be correct. Otherwise recursion can do things loops can’t, like walk a tree.[http://c2.com/cgi/wiki?RecursionVsLoop] link

作者：高木端
連結：https://www.zhihu.com/question/20418254/answer/15081000
來源：知乎

較常見的是將遞迴改寫成尾遞迴 tail-recursive, 尾遞迴效能類似 loop, 有許多程式之編譯器 (C, JavaScript等) 會自動把遞迴的程式最佳化為尾遞迴.

• 以下可以等進階時再細看

可以參考Baidu百科, $n!$ 的尾遞迴寫法:

Ref: https://baike.baidu.com/item/%E5%B0%BE%E9%80%92%E5%BD%92#reference-[1]-1439396-wrap link

示例3-2：

/facttail.c/

#include"facttail.h"

/facttail/

int facttail(int n, int a)
{

/*Compute a factorialina tail - recursive manner.*/
 
if (n < 0)
    return 0;    
else if (n == 0)
    return 1;    
else if (n == 1)
    return a;
else
    return facttail(n - 1, n * a);

}

Ex: 將 5 那裡我們舉了 $2^n$, 累加, 費氏數列, 用尾遞迴改寫, 並比較尾遞迴, 遞迴, for loop 三種寫法 的效能差異.

• 以上可以等進階時再細看

10. Python 物件導向介紹

Ref: Cory Althoff, The self-taught programmer, Python 程式設計無師自通,
gitHub上有原始碼, https://github.comcalthoff link
找
tstp/part2, ch12 paradigm程式設計泛式之後段,
tstp/part2, ch13 the_four_pillars_of_oop 物件導向之四大支柱,
tstp/part2, ch14 more_object_oriented_programming 更多物件導向,
以上三章之codes, 有物件導向的說明程式碼

類(class) 中的函式(function), 一般稱為 “方法 method”, 物件(object) 有時稱為例項(instance),

起手式: 定義一個類, class 類名稱 :

class 類名稱:
    變數之定義或方法之定義
    ,,,,,,,,
    ,,,,,,,

以下定義一個 橘子 class,
我們在 class 內定義一個方法 info(), 可以列印出一些基本訊息
注意 , info() 必須至少有一個引數 self, 也就是 , 用
def info( self):,

class Orange:
    def info(self):
        print("Orange object created!")

產生一個 orange 物件的方法是執行 foo1 = Orange(),

>>> foo1 = Orange()

第二式: 點語法

要讓 foo1 這個 orange 物件呼叫 info(), 列印出訊息, 就要用點語法
foo1.info()

>>> foo1.info()
Orange object created!

第三式: 初始化之方法 __init__ ( )

可以定義一個初始化之方法 __init__ ( ) , 讓 每次’產生一個 orange 物件時, 就自動執行 列印出訊息

定義一個初始化之方法 __init__ ( ), 每產生一個物件就會自動執行這個初始化方法 __init__ ( ) 的內容.
(注意: 是雙下畫線, _ _init_ _ ( ) 在鍵盤輸入時是雙下畫線, 不要有空格 )

def __init__(self):    
    方法的內容,,,,,
    ,,,,,

def init(self):
  本方法之內容
  $\cdots$

以下把 print(“Orange object created!”) 放在這個__init__ ( )內

class Orange:
    def __init__(self):
        print("Orange object created!")

每當一產生一個 orange 物件, 就自動執行 列印出訊息 print(“Orange object created!”)

>>> orange = Orange()
Orange object created!

就不需要用點語法去取用 info(), 多一個動作.

---

可以在 __init__ ( ) 裡增加 重量weight 跟顏色color 的定義

self.weight = 6
self.color = 'orange'

class Orange:
    def __init__(self):
        print("Orange object created!")
        self.weight = 6
        self.color = 'orange'

orange = Orange()
print(orange.weight)
print(orange.color)
print(orange)
print(type(orange))

>>> 
= RESTART: C:\data\NEW\網路免費軟體資料\Python教學\Python書的札記\配套資源\Python程式設計無師自通_The Self-Taught Programmer_CoryAlthoff\資源\資源\tstp-master(Old one)\tstp-master\part_II\programming_paradigms\orange.py
Orange object created!
6
orange
<__main__.Orange object at 0x038D5D78>
<class '__main__.Orange'>

Ex1: 產生一個物件, 之初始化動作

class Orange:
    def __init__(self, weight, color):
        self.weight = weight
        self.color = color
        print("Orange object created!")

orangeEx1 = Orange(10, 'yellow')
print(orangeEx1.weight)
print(orangeEx1.color)

>>> 
= RESTART: C:/data/NEW/網路免費軟體資料/Python教學/Python書的札記/配套資源/Python程式設計無師自通_The Self-Taught Programmer_CoryAlthoff/資源/資源/tstp-master(Old one)/tstp-master/part_II/programming_paradigms/orange_ex1_20201028.py
Orange object created!
10
yellow

Ex4: 用點語法更改物件的變數內容

class Orange:
    def __init__(self, weight, color):
        self.weight = weight
        self.color = color
        print("Orange object created!")

an_orange = Orange(10, "dark orange")

an_orange.weight = 100
an_orange.color = "light orange"

print(an_orange.weight)
print(an_orange.color)


>>> 
= RESTART: C:\data\NEW\網路免費軟體資料\Python教學\Python書的札記\配套資源\Python程式設計無師自通_The Self-Taught Programmer_CoryAlthoff\資源\資源\tstp-master(Old one)\tstp-master\part_II\programming_paradigms\orange_ex4.py
Orange object created!
100
light orange

orange_rot.py
增加一個腐爛值 mold

class Orange():
    def __init__(self):
        """all weights are in oz"""
        self.weight = 6
        self.color = 'orange'
        self.mold = 0

    def rot(self, days, temperature):
        self.mold = days * (temperature * .1)

orange = Orange()
print(orange.mold)
orange.rot(10, 98)
print(orange.mold)

>>> 
= RESTART: C:\data\NEW\網路免費軟體資料\Python教學\Python書的札記\配套資源\Python程式設計無師自通_The Self-Taught Programmer_CoryAlthoff\資源\資源\tstp-master(Old one)\tstp-master\part_II\programming_paradigms\orange_rot.py
0
98.0

rectangle.py
解釋類中可以定義多個方法

class Rectangle():
    def __init__(self, width, length):
        self.length = length
        self.width = width

    def calculate_area(self):
        return self.width * self.length

    def change_size(self, width, length):
        self.width = width
        self.length = length

rectangle = Rectangle(10, 20)
print(rectangle.calculate_area())
rectangle.change_size(20, 40)
print(rectangle.calculate_area())

>>> 
= RESTART: C:\data\NEW\網路免費軟體資料\Python教學\Python書的札記\配套資源\Python程式設計無師自通_The Self-Taught Programmer_CoryAlthoff\資源\資源\tstp-master(Old one)\tstp-master\part_II\programming_paradigms\rectangle.py
200
800

11. 觀摩與解析 Python turtle module demo 中碎形有關的 codes, 的物件導向的設計

12. 海龜繪圖與藝術畫

Ref: 使用python成為藝術家, https://my.oschina.net/u/4531265/blog/4278176 link

Ref: python圖形繪製庫turtle中文開發文件及示例大全
https://blog.csdn.net/A757291228/article/details/105884899 link

10.1 海龜繪圖畫 隨機線段 藝術

平行線段的版本

# Ref: A Guide to the TurtleGraphics Package for R_入門例子
# random lines
# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201012
# parallel or angle 30 版本

import turtle
import random

T = turtle.Turtle()
T.shape('turtle')
T.speed(0)
T.pensize(5)
turtle.bgcolor('black')
#turtle.tracer(0,0)
T.lt(30)

for i in range(200):
    T.penup()
    T.goto(random.randint(-500,100),random.randint(-400,400))
    T.pendown()
    T.pencolor(random.random(),random.random(),random.random())
    T.fillcolor('green')
    
    T.fd(500)
    #T.lt(random.randint(0,360))

線段的角度是隨機的版本

背景調成黑色

# random lines
# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201012

import turtle
import random

T = turtle.Turtle()
T.shape('turtle')
T.speed(0)
T.pensize(2)
turtle.tracer(0,0)

for i in range(500):
    T.penup()
    T.goto(random.randint(-300,300),random.randint(-300,300))
    T.pendown()
    T.pencolor(random.random(),random.random(),random.random())
    T.fillcolor('green')
    
    T.fd(500)
    T.lt(random.randint(0,360))
 

長度, 粗細, 也隨機
random lines_randomWidth_randomLength_5

# Ref: A Guide to the TurtleGraphics Package for R_入門例子
# random lines
# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20201012

import turtle
import random

T = turtle.Turtle()
T.shape('turtle')
T.speed(0)
T.fillcolor('green')
T.pensize(3)
turtle.bgcolor('black')
#turtle.tracer(0,0)
penSizeList = [1,2,3,4,5]

for i in range(600):
    T.penup()
    T.goto(random.randint(-400,400),random.randint(-400,400))
    T.pendown()
    T.pensize(random.choice(penSizeList))
    T.pencolor(random.random(),random.random(),random.random())

    #T.fd(500)
    T.fd(random.randint(50,600))
    T.lt(random.randint(0,360))
    
    

10.2 海龜繪圖畫 板塊 藝術

此例子, 主要用到海龜蓋章的指令!

以下用 Logo繪製之板塊藝術, 參考自 BFOIT
Introduction to Computer Programming
ref: http://guyhaas.com/bfoit/itp/Operators.html
link

我們試著用 Python 實作

以下是試做第一次之簡易版

流程設計:

• 先定義自己的板塊形狀

• 畫筆要先提起, 隨機跳躍, 再蓋章, 重複幾次
  下圖是蓋章200次的結果

先定義自己的烏龜形狀, 改成長方形
(以下用 s=turtle.Shape(“compound”) 太複雜, 後面會改成用 get_poly()的方法)

>>> import turtle
>>> T=turtle.Turtle()
>>> s=turtle.Shape("compound")
>>> poly1=((0,0),(10,0),(10,15),(0,15))
>>> s.addcomponent(poly1,"red","blue")
>>> turtle.register_shape("myshape",s)
>>> T.shape("myshape")
>>> T.fd(200)

以下畫筆要先提起, 隨機跳躍, 再蓋章, 重複幾次

>>> T.penup()
>>> import random
>>> T.goto(random.randint(1,200),random.randint(1,200))
>>> T.stamp()
(7,)
>>> T.goto(random.randint(1,200),random.randint(1,200))
>>> T.stamp()
(8,)
>>> T.goto(random.randint(1,200),random.randint(1,200))
>>> T.goto(random.randint(1,200),random.randint(1,200))
>>> T.stamp()
(9,)
>>> T.goto(random.randint(1,200),random.randint(1,200))
>>> T.stamp()
(10,)
>>> T.goto(random.randint(1,200),random.randint(1,200))

寫成一個函式

polygon_art_1.py

import turtle
T=turtle.Turtle()
s=turtle.Shape("compound")
poly1=((0,0),(10,0),(10,15),(0,15))
s.addcomponent(poly1,"red","blue")
turtle.register_shape("myshape",s)
T.shape("myshape")
T.penup()

import random
for i in range(200):
    T.goto(random.randint(-200,200),random.randint(-200,200))
    T.stamp()

以下將板塊加大, 改成正方形,

import turtle
T=turtle.Turtle()
s=turtle.Shape("compound")
poly1=((0,0),(50,0),(50,50),(0,50))
s.addcomponent(poly1,"red","blue")
turtle.register_shape("myshape",s)
T.shape("myshape")
T.penup()

import random
for i in range(100):
    T.goto(random.randint(-200,200),random.randint(-200,200))
    T.stamp()

以下改成隨機顏色
發現用 compound shape 可以結合數個多邊形, 但是顏色似乎不好更改,
如果只有一個形狀, 可以用
24.1.3.7. Special Turtle methods
begin_poly()
end_poly()
register_shape(“myshape”,get_poly())
較單純!
官網的說明:
24.1.3.7. Special Turtle methods
turtle.begin_poly()
Start recording the vertices of a polygon. Current turtle position is first vertex of polygon.
turtle.end_poly()
Stop recording the vertices of a polygon. Current turtle position is last vertex of polygon. This will be connected with the first vertex.
turtle.get_poly()
Return the last recorded polygon.

>>> turtle.home() 
>>> turtle.begin_poly() 
>>> turtle.fd(100) 
>>> turtle.left(20) 
>>> turtle.fd(30) 
>>> turtle.left(60) 
>>>turtle.fd(50) 
>>> turtle.end_poly() 
>>> p = turtle.get_poly() 
>>> register_shape("myFavouriteShape", p) 

以下改成用
get_poly()的方法
用法:
begin_poly()
烏龜畫出一個多邊形
end_poly()
再取名註冊成一個形狀
register_shape(“myshape”,get_poly())
T.shape(“myShape”)

發現順利試出

# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20200817
# polygon_art_get_poly()_color_4.py
# 發現用 compound shape 可以結合數個多邊形, 但是顏色似乎不好更改,
##如果只有一個形狀, 可以用 
##24.1.3.7. Special Turtle methods
##begin_poly()
##end_poly()
##register_shape("myshape",get_poly())
##T.shape("myShape")
##較單純!


import turtle
import random
T=turtle.Turtle()

T.home()
T.begin_poly()
T.fd(50)
T.lt(90)
T.fd(50)
T.lt(90)
T.fd(50)
T.lt(90)
T.fd(50)
T.lt(50)
T.end_poly()
myPoly=T.get_poly()
turtle.register_shape("myShape",myPoly)
T.shape("myShape")

T.reset()
T.penup()
for i in range(100):
    T.color((random.random(),random.random(),random.random()))
    T.goto(random.randint(-200,200),random.randint(-200,200))
    T.stamp()

Ex: 參考 BFOIT 站
Introduction to Computer Programming
ref: http://guyhaas.com/bfoit/itp/Operators.html
之圖

將以上 Python codes 改進成類似上圖, 板塊之形狀可以是大小不一之長方形(包含正方形).

Ex: 參考 BFOIT 站
Introduction to Computer Programming
ref: http://guyhaas.com/bfoit/itp/Operators.html
之圖

將以上 Python codes 改進成類似上圖, 板塊之形狀可以是大小不一之任意形狀或符號.

10.3 海龜繪圖模擬 紫雨無聲落下 藝術

參考 YouTube上講解以 Processing 語言模擬"紫雨" 的影片
Ref: https://youtu.be/KkyIDI6rQJI
link

Ex: 你可以用 Python 的 turtle module 重現一次
“The Coding Train” 系列中, 模擬"紫雨" 的動畫嗎?

---

以下初步試做
PythonTurtle_purpleRain_藝術_test_2.py
在 for loop 中:
重複產生單一烏龜物件, 形狀為一紫色小細長條長方型, 起始位置隨機指定, 再令他由上往下前進400單位長

## 11. 烏龜繪圖模擬紫雨藝術
# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20200921

##參考 YpuTube上講解以 Processing 模擬"紫雨" 的影片
##Ref: https://youtu.be/KkyIDI6rQJI
##[link](https://youtu.be/KkyIDI6rQJI)
##
##**Ex:** 你可以用 Python 的 turtle module 重現一次
##"The Coding Train"  模擬"紫雨" 的動畫嗎?
##
##以下初步試做



# 發現用 compound shape 可以結合數個多邊形, 但是顏色似乎不好更改,
##如果只有一個形狀, 可以用 
##24.1.3.7. Special Turtle methods
##begin_poly()
##end_poly()
##register_shape("myshape",get_poly())
##T.shape("myShape")
##較單純!


#用tracer(1,0.999999), tracer(2,10)還, tracer(2,20000)是太瞬間
#tracer(1.9,5) # 此速度較剛好 20201003



from turtle import *
import random
T=Turtle()
T.reset()
T.home()
T.speed(0)
#用tracer(1,0.999999), tracer(2,10)還, tracer(2,20000)是太瞬間
#tracer(1.9,5) # 此速度較剛好 20201003


T.begin_poly()
T.fd(3)
T.lt(90)
T.fd(30)
T.lt(90)
T.fd(3)
T.lt(90)
T.fd(30)
T.lt(90)
T.end_poly()
myPoly=T.get_poly()
register_shape("myShape",myPoly)

T.shape("myShape")
T.color(138/256, 43/256, 226/256)
purpleColor = (138/256, 43/256, 226/256)

#T.speed(0)


class purpleRain(Turtle):
    def __init__(self, shape):
        Turtle.__init__(self, shape=shape,visible=True)
        self.color(purpleColor)
        self.lt(90)
        self.penup()
        self.speed(3)
        self.hideturtle()
        self.goto(random.randint(-350,300),random.randint(-300,320))
        self.showturtle()
        

def main():
    T = purpleRain("myShape")
    #T.speed(0)
    T.bk(100)
    for i in range(20):
        T = purpleRain("myShape")
        T.bk(400)
    return

if __name__=="__main__":
    msg = main()
    print(msg)
    mainloop()

以上的效果, 造成只能序列輪流下一滴雨

---

以下我們改成先產生例如, turtleNumber = 50 個烏龜物件, 起始位置隨機指定, 再要求這 50 個烏龜物件執行上面程式碼的迴圈動作: 由上往下前進400單位長
以下是先產生 turtleNumber = 50 個烏龜物件, 起始位置隨機指定, 之初始畫面

主要修改之處如下:

def main():
    turtleNumber = 50
    Tgroup = list(range(turtleNumber))
    
    for i in range(turtleNumber):
        # Tgroup = Tgroup.append(purpleRain("myShape"))
        # 上行, 物件元素無法用append增加進list
        Tgroup[i] = purpleRain("myShape")
        
    '''
    for i in range(turtleNumber):
        #T = purpleRain("myShape")
        Tgroup[i].bk(400)
    '''
    return

接著我們把註解掉之處取消註解, 讓各物件滴落
‘’’
for i in range(turtleNumber):
#T = purpleRain(“myShape”)
Tgroup[i].bk(400)
‘’’

def main():
    turtleNumber = 50
    Tgroup = list(range(turtleNumber))
    
    for i in range(turtleNumber):
        # Tgroup = Tgroup.append(purpleRain("myShape"))
        # 上行, 物件元素無法用append增加進list
        Tgroup[i] = purpleRain("myShape")
        
    for i in range(turtleNumber):
        #T = purpleRain("myShape")
        Tgroup[i].bk(400)
    
    return

結果出現各物件依序滴落的狀況, 仍然沒辦法同時

此時我們面臨到, 如何讓多隻海龜同時(一起)移動? 的問題
Q: 如何讓多隻海龜一起移動?
我們查了網路上的解法, 在 stackoverflow 上, 提供3種解法
method 1. 每隻都動一小段, 換下一隻
method 2. 用 ontimer()
method 3. 用 thread

以下我們先嘗試用 method 1. 每隻都動一小段, 換下一隻:
只需將原先之 codes

for i in range(turtleNumber):
        #T = purpleRain("myShape")
        Tgroup[i].bk(400)

改成

for k in range(400):
        for i in range(turtleNumber):
            Tgroup[i].bk(5)

發現移動速度太慢, 即使用T.speed(0), 還是太慢
改用 tracer(20,1), 發現速度就快了

## 11. 烏龜繪圖模擬紫雨藝術
# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20200921

##參考 YpuTube上講解以 Processing 模擬"紫雨" 的影片
##Ref: https://youtu.be/KkyIDI6rQJI
##[link](https://youtu.be/KkyIDI6rQJI)
##
##**Ex:** 你可以用 Python 的 turtle module 重現一次
##"The Coding Train"  模擬"紫雨" 的動畫嗎?
##
##以下初步試做


# 發現用 compound shape 可以結合數個多邊形, 但是顏色似乎不好更改,
##如果只有一個形狀, 可以用 
##24.1.3.7. Special Turtle methods
##begin_poly()
##end_poly()
##register_shape("myshape",get_poly())
##T.shape("myShape")
##較單純!


#用tracer(1,0.999999), tracer(2,10)還, tracer(2,20000)是太瞬間
#tracer(1.9,5) # 此速度較剛好 20201003


from turtle import *
import random
T=Turtle()
T.reset()
T.home()
#T.speed(0)
#用tracer(1,0.999999), tracer(2,10)還, tracer(2,20000)是太瞬間
#tracer(1.9,5) # 此速度較剛好 20201003
tracer(20,1)

T.begin_poly()
T.fd(3)
T.lt(90)
T.fd(30)
T.lt(90)
T.fd(3)
T.lt(90)
T.fd(30)
T.lt(90)
T.end_poly()
myPoly=T.get_poly()
register_shape("myShape",myPoly)

T.shape("myShape")
T.color(138/256, 43/256, 226/256)
purpleColor = (138/256, 43/256, 226/256)



class purpleRain(Turtle):
    def __init__(self, shape):
        Turtle.__init__(self, shape=shape,visible=True)
        self.color(purpleColor)
        self.lt(90)
        self.penup()
        self.speed(5)
        self.hideturtle()
        self.goto(random.randint(-350,300),random.randint(0,320))
        self.showturtle()
        

def main():
    turtleNumber = 50
    Tgroup = list(range(turtleNumber))
    
    for i in range(turtleNumber):
        # Tgroup = Tgroup.append(purpleRain("myShape"))
        # 上行codes, 物件元素無法用append增加進list
        Tgroup[i] = purpleRain("myShape")
        
    for k in range(400):
        for i in range(turtleNumber):
            Tgroup[i].bk(5)
    
    return

if __name__=="__main__":
    msg = main()
    print(msg)
    mainloop()

---

以下幾乎完成, 使用 while, 使紫雨持續落下,
可惜速度無法調到適當之快, 感覺有點慢, 不管 tracer()是設多少值
PythonTurtle_purpleRain_藝術_test_4_while.py

## 11. 烏龜繪圖模擬紫雨藝術
# By Prof. P-J Lai MATH NKNU 20200921

##參考 YpuTube上講解以 Processing 模擬"紫雨" 的影片
##Ref: https://youtu.be/KkyIDI6rQJI
##[link](https://youtu.be/KkyIDI6rQJI)
##
##**Ex:** 你可以用 Python 的 turtle module 重現一次
##"The Coding Train"  模擬"紫雨" 的動畫嗎?
##
##以下初步試做


# 發現用 compound shape 可以結合數個多邊形, 但是顏色似乎不好更改,
##如果只有一個形狀, 可以用 
##24.1.3.7. Special Turtle methods
##begin_poly()
##end_poly()
##register_shape("myshape",get_poly())
##T.shape("myShape")
##較單純!

#用tracer(300,10), 此速度還是有點慢, tracer(1000,10) 較快 20201017

from turtle import *
import random
T=Turtle(visible=False)

T.hideturtle()
T.penup()
#T.speed(0)
#用tracer(1,0.999999), tracer(2,10)還, tracer(2,20000)是太瞬間
#tracer(1.9,5) # 此速度較剛好 20201003
tracer(1000,10)

T.begin_poly()
T.fd(2)
T.lt(90)
T.fd(30)
T.lt(90)
T.fd(2)
T.lt(90)
T.fd(30)
T.lt(90)
T.end_poly()
myPoly=T.get_poly()
register_shape("myShape",myPoly)

T.shape("myShape")
T.color(138/256, 43/256, 226/256)
purpleColor = (138/256, 43/256, 226/256)

class purpleRain(Turtle):
    def __init__(self, shape):
        Turtle.__init__(self, shape=shape,visible=False)
        self.color(purpleColor)
        self.lt(90)
        self.penup()
        self.speed(0)
        self.hideturtle()
        self.goto(random.randint(-400,400),random.randint(400,1400))
        self.showturtle()
        
def main():
    turtleNumber = 500
    Tgroup = list(range(turtleNumber))
    
    for i in range(turtleNumber):
        Tgroup[i] = purpleRain("myShape")

    while True:    
        for k in range(400):
            for i in range(turtleNumber):
                Tgroup[i].bk(5)
                if Tgroup[i].ycor() < -400:
                    Tgroup[i].goto(random.randint(-400,400),random.randint(400,600))                    
    return

if __name__=="__main__":
    msg = main()
    print(msg)
    mainloop()