ZJNU 2448 Spiderman

題意

給一個長n陣列hi和k，對每個hi求有幾個hj滿足是hi % hj == k。
hi 最大1e6

思路

求 hi % hj == k

等價於求 (hi - k) % hj == 0

這中間就有許多隱含條件：

• hj > k
• hi >= k
  • 如果 hi == k, ans[i] 就是求多少 j 滿足 hj > k
  • 如果 hi > k, ans[i] 就是有多少 j 滿足 (hi - k) % hj == 0 並且 hj 不是 hi 的因子

考慮數值範圍不大，可以用篩法，統計 hi 的個數 cnt[hi]，加給 hi 所有的倍數 cnt[d*hi]。

由於除數hj必須要大於k，所以我們的篩的起點從k + 1開始。

基於這個特性，我們可以通過cnt[hi - k] 得到合法除數hj的個數，並且已經保證hj不是hi的因子。

因為已保證 (hi - k) % hj == 0 且 hj > k
k % hj > 0
(hi - k) % hj + k % hj > 0
hi % hj > 0

K是0的時候要特判一下， 因為此時就是求每個數的因子個數。

複雜度，根據調和級數，可得是$O(Nlog(N))$ （1e6數量級）

程式碼

int n, k;
int h[MAXN];
int v[MAXN];
int ans[MAXN];
int cnt[MAXN];
int maxhi = 0;
int moreThanK = 0;

inline void read(int &x) {
    char ch;
    bool flag = false;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch); ch = getchar())if (ch == '-') flag = true;
    for (x = 0; isdigit(ch); x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar());
    x = flag ? -x : x;
}

void solve(int kaseId = -1) {
    read(n);
    read(k);

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        read(h[i]);
        v[h[i]]++;
        moreThanK += int(h[i] > k);
        maxhi = max(maxhi, h[i]);
    }

    for (int i = k + 1; i <= maxhi; ++i) {
        if (v[i] == 0) continue;
        for (int j = i; j <= maxhi; j += i) {
            cnt[j] += v[i];
        }
    }

    if (k == 0) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans[i] = cnt[h[i]] - 1;
        }
    } else {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (h[i] < k) {
                ans[i] = 0;
            } else if (h[i] == k) {
                ans[i] = moreThanK;
            } else if (h[i] > k) {
                ans[i] = cnt[h[i] - k];
            }
        }
    }
//    debug(vector<int>(cnt, cnt + maxhi + 1));
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == n]);
    }
}