前言
今天整理以前的競賽筆記時，發現了當時寫的一個模板：
列舉{0,1,…,n-1}所包含的所有大小為k的子集：
int comb = (1 << k) - 1; while (comb < 1 << n) { //進行鍼對組合的處理 int x = comb & -comb, y = comb + x; comb = ((comb&~y) / x >> 1) | y; }
我愣是看了半天，也沒想明白當時我想表達什麼(lll￢ω￢)
然後就百度了一下，結合一些描述，終於想起來這貌似是從小白書上扒下來的
話說我小白書已經失蹤一年了，到現在還沒找到......
以防以後又把它忘了，特此記錄
什麼是“列舉{0,1,…,n-1}所包含的所有大小為k的子集”
“列舉{0,1,…,n-1}所包含的所有大小為k的子集”與二進位制狀態壓縮關係密切，其本質為利用二進位制與位元算表示和操作集合，舉個例子：
含有n個元素的集合{0,1,…,n-1}，就有n個二進位制位，第i個二進位制位代表第i個元素，第i個二進位制位為1代表第i個元素存在於集合，第i位二進位制位為0代表第i個元素不存在於集合。（i<=n）
含有3個元素的集合{0,1,2}，全部子集有0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111，其中0000代表空集∅。
二進位制數與集合對應關係如下：
我們不難得出，列舉集合{0,1,…,n-1}的所有子集的方法：
for (int S = 0; S < 1 << n; S++) {
//對子集的操作
}
S < 1 << n等同於S <= ( (1<<n)-1 ),(1<<n)-1為含有n個元素的集合{0,1,…,n-1}。
解決“列舉{0,1,…,n-1}所包含的所有大小為k的子集”，我們只需弄清什麼是“大小為k的子集”。
“大小為k的子集”就是有k個元素的子集，也就是二進位制中有k個1。
含有3個元素的集合{0,1,2}所包含的所有大小為2的子集：
如何列舉？
為了將所有情況列舉出來，我們可以列舉集合{0,1,…,n-1}的所有子集，在列舉時加入判斷，判斷當前子集是否滿足“大小為k的子集”。
從實現上來看，這是可行的：
int n, k;
int getsum(int S) {// 統計二進位制中1的個數
int ans = 0;
while (S){
if (S & 1)
ans++;
S >>= 1;
}
return ans;
}
for (int S = 0; S < 1 << n; S++) {
if (getsum(S) == k) {
// 對子集的操作
}
}
但這不夠優秀，不如說相當低效，這時我們需要找到一種更優秀的列舉方法。
白書上提供了一種思路：
int comb = (1 << k) - 1;
while (comb < 1 << n) {
//進行鍼對組合的處理
int x = comb & -comb, y = comb + x;
comb = ((comb&~y) / x >> 1) | y;
}
comb是按字典序排列的最小子集，在while迴圈中，comb會一直增大，直到找完所有大小為k的子集。
我們利用剛剛的例子，來模擬演算法找“含有3個元素的集合{0,1,2}所包含的所有大小為2的子集”的過程：
（此例中 k=2，n=3）
第一次迴圈，我們找到了按字典序排列的最小子集，也就是comb的初始值0011，之後comb“按演算法提供方法”增大，comb的值變為0101。
第二次迴圈，我們找到的是0101，之後comb“按演算法提供方法”增大，comb的值變為0110。
第三次迴圈，我們找到的是0110，之後comb“按演算法提供方法”增大，comb的值變為1001。
此時，comb的值不滿足“comb < 1<<n”即不滿足"1001 < 1000"，演算法結束於第四次迴圈的開始。
“按演算法提供方法”也就是每次求下一個子集的方法如下：
（以1100 1100到其下一個子集1101 0001為例）
int comb = (1 << k) - 1; while (comb < 1 << n) { //進行鍼對組合的處理 int x = comb & -comb, y = comb + x; comb = ((comb&~y) / x >> 1) | y; }
我們將核心程式碼提取並拆解：
int x = comb & -comb; //步驟(2)
int y = comb + x; //步驟(3)
int z = comb & ~y; //步驟(1)
int b = (z / x) >> 1; //步驟(4)，'z/x'相當於去掉右側多餘的0，'>>1'則使剩下的1的個數減少一個
comb = b | y; //步驟(5)
（1）取出字典序最小的1的連續區間，1100 1100 → 0000 1100
（2）找到字典序最小的1的位置，1100 1100 → 0000 0100
（3）將字典序最小的1的連續區間置為0，並將區間左側第一個0置為1，1100 1100 → 1101 0000
（4）將 (1) 取出的區間右移，直至區間中1的個數減少一個，0000 1100 → 0000 0001
（5）將 (4) 的結果與 (3) 的結果取並集，0000 0001 | 1101 0000 → 1101 0001
按照這種方法，我們不難找出後續的子集：
1101 0010、1101 0100、1101 1000、1110 0001、1110 0010、1110 0100、1110 1000、1111 0000...
（正文完）
後記
發現這個演算法人也太優秀了吧！！太巧妙了！
（小白書：挑戰程式設計競賽）