[每日一題] 第六題：不用加減乘除做加法

寫一個函式，求兩個整數之和，要求在函式體內不得使用 “+”、“-”、“*”、“/” 四則運算子號。

示例:

輸入: a = 1, b = 1
輸出: 2

提示：

a, b 均可能是負數或 0
結果不會溢位 32 位整數

方法一：位運算

解題思路

本題考查對位運算的靈活使用，即使用位運算實現加法。

設兩數字的二進位制形式 a，b，其求和 s = a + b，a(i) 代表 a 的二進位制第 i 位，則分為以下四種情況：

觀察發現，無進位和 與 異或運算 規律相同，進位 與 與運算 規律相同（並需左移一位）。因此，無進位和 n 與進位 c 的計算公式如下：

n = a ⊕ b 非進位和：異或運算
c = a & b << 1 進位：與運算 + 左移一位

（和 s）= （非進位和 n） + （進位 c）。即可將 s = a + b 轉化為：s = a + b => s = n + c

迴圈求 n 和 c，直至進位 c = 0；此時 s = n，返回 n 即可。

Q ： 若數字 aa 和 bb 中有負數，則變成了減法，如何處理？

A ： 在計算機系統中，數值一律用 補碼 來表示和儲存。補碼的優勢： 加法、減法可以統一處理（CPU只有加法器）。因此，以上方法 同時適用於正數和負數的加法 。

程式碼

class Solution {
    public int add(int a, int b) {
        while(b != 0) { // 當進位為 0 時跳出
            int c = (a & b) << 1;  // c = 進位
            a ^= b; // a = 非進位和
            b = c; // b = 進位
        }
        return a;
    }
}

複雜度分析

時間複雜度O(1) ：最差情況下（例如 a = 0x7fffffff，b = 1 時），需迴圈 32 次，使用 O(1) 時間；每輪中的常數次位操作使用 O(1) 時間。

空間複雜度O(1) ：使用常數大小的額外空間。

個人理解

以 9 + 7 為例，詳細手動模擬一下步驟：

十進位制模擬

第一次迴圈，計算 9 + 7：

無進位和：9 + 7 = 6。

進位：個位進一位為 1，進到十位了，所以要 * 10，即 10。

第二次迴圈，計算 6 + 10：

無進位和：

個位：0 + 6 = 6

十位：1 + 0 = 1

結果為 16

進位：個位無進位，十位無進位，

所以最終結果為 16。

二進位制模擬

9 的二進位制為：1001

7 的二進位制位：111

第一次迴圈，計算 1001 + 111：

無進位和（異或）：1001 ^ 111 = 1110

進位（與）：1001 & 111 = 1

十進位制進位就應該 x10，二進位制進位就得左移一位，所以 1 << 1 = 10

第二次迴圈，計算 1110 + 10：

無進位和（異或）：1110 ^ 10 = 1100

進位（與）：1110 & 10 << 1 = 10 < < 1 = 100

第三次迴圈，計算 1100 + 100：

無進位和（異或）：1100 ^ 100 = 1000

進位（與）：1100 & 100 << 1 = 100 < < 1 = 1000

第四次迴圈，計算 1000 + 1000：

無進位和（異或）：1000 ^ 1000 = 0000

進位（與）：1000 & 1000 << 1 = 1000 < < 1 = 10000

第五次迴圈，計算 0000 + 10000：

無進位和（異或）：0000 ^ 10000 = 10000

進位（與）：0000 & 10000 << 1 = 00000 < < 1 = 000000

這個時候就該結束了，因為此時無進位了。

此時 10000 的值就是最終結果，換成十進位制為 16。

為什麼十進位制相加迴圈次數這麼少？而二進位制迴圈次數這麼多呢？ 因為二進位制位數多，碰到特別情況，比如該情況，一位一位向上進，所以迴圈次數就多了。

那麼什麼時候結束迴圈呢？ 就是沒有進位的時候，不需要再加了。

為什麼要有迴圈呢？ 因為相加就會產生進位，進位了說明沒算完，需要繼續加上進位，知道沒有進位。

題解來源

作者：jyd

連結：leetcode-cn.com/problems/bu-yong-j...

來源：力扣（LeetCode）

方法二：奇思妙想解法

程式碼

真沒有運算子！！

class Solution:
    def add(self, a: int, b: int) -> int:
        result = [a,b]
        return sum(result)

題解來源

作者：luyao777

連結：leetcode-cn.com/problems/bu-yong-j...

來源：力扣（LeetCode）

來源：力扣（LeetCode）

連結：leetcode-cn.com/problems/bu-yong-j...

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