網路最大流
目錄
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前言
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雙倍經驗
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網路流初步
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網路最大流
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\(EK\)增廣路演算法
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\(Dinic\)演算法
前言
這篇題解是當做學習記錄寫的，所以會對網路最大流這個概念進行講解（\(dalao\)們可以忽略蒟蒻\(orz\)）
雙倍經驗\(Time\)
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洛谷P3376 【模板】 （\(Ek\)演算法 / \(Dinic\)演算法）
網路流初步
這裡主要討論一下網路流演算法可能會涉及到的一些概念性問題
- 定義
對於任意一張有向圖（也就是網路），其中有\(N\)個點、\(M\)條邊以及源點\(S\)和匯點\(T\)
然後我們把\(c(x,y)\)稱為邊的容量
- 轉換
為了通俗易懂，我們來結合生活實際理解上面網路的定義：
將有向圖理解為我們城市的水網，有\(N\)戶家庭、\(M\)條管道以及供水點\(S\)和匯合點\(T\)
是不是好理解一點？現在給出一張網路（圖醜勿怪啊QAQ）：
\(S->C->D->E->T\)就是該網路的一個流，\(2\)這個流的流量
- 流函式
和上面的\(c\)差不多，我們把\(f(x,y)\)稱為邊的流量，則\(f\)稱為網路的流函式，它滿足三個條件：
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\(s(x,y)≤c(x,y)\)
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\(f(x,y)=-f(y,x)\)
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\(\forall\) \(x\)≠\(S\)，\(x≠T\), \(\sum_{(u,x)∈E }f(u,x)=\sum_{(x,v)∈E }f(x,v)\)
這三個條件其實也是流函式的三大性質：
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容量限制：每條邊的流量總不可能大於該邊的容量的（不然水管就爆了）
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斜對稱：正向邊的流量=反向邊的流量（反向邊後面會具體講）
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流量守恆：正向的所有流量和=反向的所有流量和（就是總量始終不變）
- 殘量網路
在任意時刻，網路中所有節點以及剩餘容量大於\(0\)的邊構成的子圖被稱為殘量網路
最大流
對於上面的網路，合法的流函式有很多，其中使得整個網路流量之和最大的流函式稱為網路的最大流，此時的流量和被稱為網路的最大流量
最大流能解決許多實際問題，比如：一條完整運輸道路（含多條管道）的一次最大運輸流量，還有二分圖（蒟蒻還沒學二分圖，學了之後會更新的qwq）
下面就來介紹計算最大流的兩種演算法：\(EK\)增廣路演算法和\(Dinic\)演算法
\(Edmonds-Karp\)增廣路演算法
（為了簡便，習慣稱為\(EK\)演算法）
- 首先來講增廣路是什麼：
若一條從\(S\)到\(T\)的路徑上所有邊的剩餘容量都大於0，則稱這樣的路徑為一條增廣路（剩餘流量：\(c(x,y)-f(x,y)\)）
- 然後就是\(EK\)演算法的核心思想啦：
如上，顯然我們可以讓一股流沿著增廣路從\(S\)流到\(T\)，然後使網路的流量增大
\(EK\)演算法的思想就是不斷用BFS尋找增廣路並不斷更新最大流量值，直到網路上不存在增廣路為止
- 再來講理論實現過程：
在\(BFS\)尋找一條增廣路時，我們只需要考慮剩餘流量不為\(0\)的邊，然後找到一條從\(S\)到\(T\)的路徑，同時計算出路徑上各邊剩餘容量值的最小值\(dis\)，則網路的最大流量就可以增加\(dis\)（經過的正向邊容量值全部減去\(dis\)，反向邊全部加上\(dis\)）
- 反向邊
插入講解一下反向邊這個概念，這是網路流中的一個重點
為什麼要建反向邊？
因為可能一條邊可以被包含於多條增廣路徑，所以為了尋找所有的增廣路經我們就要讓這一條邊有多次被選擇的機會
而構建反向邊則是這樣一個機會，相當於給程式一個反悔的機會！
為什麼是反悔？
因為我們在找到一個\(dis\)後，就會對每條邊的容量進行減法操作，而直接更改值就會影響到之後尋找另外的增廣路！
還不好理解？那我們舉個通俗易懂的例子吧：
原本\(A\)到\(B\)的正邊權是1、反邊權是0，在第一次經過該邊後（假設\(dis\)值為1），則正邊權變為0，反邊權變為1
當我們需要第二次經過該邊時，我們就能夠通過走反向邊恢復這條邊的原樣（可能有點繞，大家好好理解一下）
以上都是我個人的理解，現在給出《演算法競賽進階指南》上關於反向邊的證明：
“當一條邊的流量\(f(x,y)>0\)時，根據斜對稱性質，它的反向邊流量\(f(y,x)<0\)，此時必定有\(f(y,x)<c(y,x)\)，所以\(EK\)演算法除了遍歷原圖的正向邊以外還要考慮遍歷每條反向邊”
- 鄰接表“成對儲存”
我們將正向邊和反向邊存在“2和3”、“4和5”、“6和7”····
為什麼？
因為在更新邊權的時候，我們就可以直接使用\(xor 1\)的方式，找到對應的正向邊和反向邊（奇數異或1相當於-1，偶數異或1相當於+1）
程式碼實現如下（整個更新邊權的操作函式）：
inline void update() {
int x=t;
while(x!=s) {
int v=pre[x];
e[v].val-=dis[t];
e[v^1].val+=dis[t];
x=e[v^1].to;
}
ans+=dis[t];
}
- 適用範圍
時間複雜度為\(O(nm^2)\)，一般能處理\(10^3\)~\(10^4\)規模的網路
- 程式碼\(Code\)
（以本道模板題的程式碼為準，其他題可以將\(longlong\)換成\(int\)並且可以去掉處理重邊操作）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s,t,u,v;
long long w,ans,dis[520010];
int tot=1,vis[520010],pre[520010],head[520010],flag[2510][2510];
struct node {
int to,net;
long long val;
} e[520010];
inline void add(int u,int v,long long w) {
e[++tot].to=v;
e[tot].val=w;
e[tot].net=head[u];
head[u]=tot;
e[++tot].to=u;
e[tot].val=0;
e[tot].net=head[v];
head[v]=tot;
}
inline int bfs() { //bfs尋找增廣路
for(register int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0;
queue<int> q;
q.push(s);
vis[s]=1;
dis[s]=2005020600;
while(!q.empty()) {
int x=q.front();
q.pop();
for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
if(e[i].val==0) continue; //我們只關心剩餘流量>0的邊
int v=e[i].to;
if(vis[v]==1) continue; //這一條增廣路沒有訪問過
dis[v]=min(dis[x],e[i].val);
pre[v]=i; //記錄前驅，方便修改邊權
q.push(v);
vis[v]=1;
if(v==t) return 1; //找到了一條增廣路
}
}
return 0;
}
inline void update() { //更新所經過邊的正向邊權以及反向邊權
int x=t;
while(x!=s) {
int v=pre[x];
e[v].val-=dis[t];
e[v^1].val+=dis[t];
x=e[v^1].to;
}
ans+=dis[t]; //累加每一條增廣路經的最小流量值
}
int main() {
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(register int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
if(flag[u][v]==0) { //處理重邊的操作（加上這個模板題就可以用Ek演算法過了）
add(u,v,w);
flag[u][v]=tot;
}
else {
e[flag[u][v]-1].val+=w;
}
}
while(bfs()!=0) { //直到網路中不存在增廣路
update();
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
\(Dinic\)演算法
\(EK\)演算法每次都可能會遍歷整個殘量網路，但只找出一條增廣路
是不是有點不划算？能不能一次找多條增廣路呢？
答案是可以的：\(Dinic\)演算法
- 分層圖&\(DFS\)
根據\(BFS\)寬度優先搜尋，我們知道對於一個節點\(x\)，我們用\(d[x]\)來表示它的層次，即\(S\)到\(x\)最少需要經過的邊數。在殘量網路中，滿足\(d[y]=d[x]+1\)的邊\((x,y)\)構成的子圖被稱為分層圖（相信大家已經接觸過了吧），而分層圖很明顯是一張有向無環圖
為什麼要建分層圖？
講這個原因之前， 我們還要知道一點：\(Dinic\)演算法還需要\(DFS\)
現在再放上第一張圖，我們來理解
根據層次的定義，我們可以得出：
第0層：S
第1層：A、C
第2層：B、D
第3層：E、T
在\(DFS\)中，從\(S\)開始，每次我們向下一層次隨便找一個點，直到到達\(T\)，然後再一層一層回溯回去，繼續找這一層的另外的點再往下搜尋
這樣就滿足了我們同時求出多條增廣路的需求！
- \(Dinic\)演算法框架
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在殘量網路上\(BFS\)求出節點的層次，構造分層圖
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在分層圖上\(DFS\)尋找增廣路，在回溯時同時更新邊權
- 適用範圍
時間複雜度：\(O(n^2m)\)，一般能夠處理\(10^4\)~\(10^5\)規模的網路
相較於\(EK\)演算法，顯然\(Dinic\)演算法的效率更優也更快：雖然在稀疏圖中區別不明顯，但在稠密圖中\(Dinic\)的優勢便凸顯出來了（所以\(Dinic\)演算法用的更多）
此外，\(Dinic\)演算法求解二分圖最大匹配的時間複雜度為\(O(m\sqrt{n})\)
- 程式碼\(Code\)
這份程式碼是本模板題的AC程式碼，但是使用到了\(Dinic\)演算法的兩個優化：當前弧優化+剪枝
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long inf=2005020600;
int n,m,s,t,u,v;
long long w,ans,dis[520010];
int tot=1,now[520010],head[520010];
struct node {
int to,net;
long long val;
} e[520010];
inline void add(int u,int v,long long w) {
e[++tot].to=v;
e[tot].val=w;
e[tot].net=head[u];
head[u]=tot;
e[++tot].to=u;
e[tot].val=0;
e[tot].net=head[v];
head[v]=tot;
}
inline int bfs() { //在慘量網路中構造分層圖
for(register int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;
queue<int> q;
q.push(s);
dis[s]=0;
now[s]=head[s];
while(!q.empty()) {
int x=q.front();
q.pop();
for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
int v=e[i].to;
if(e[i].val>0&&dis[v]==inf) {
q.push(v);
now[v]=head[v];
dis[v]=dis[x]+1;
if(v==t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
inline int dfs(int x,long long sum) { //sum是整條增廣路對最大流的貢獻
if(x==t) return sum;
long long k,res=0; //k是當前最小的剩餘容量
for(register int i=now[x];i&∑i=e[i].net) {
now[x]=i; //當前弧優化
int v=e[i].to;
if(e[i].val>0&&(dis[v]==dis[x]+1)) {
k=dfs(v,min(sum,e[i].val));
if(k==0) dis[v]=inf; //剪枝，去掉增廣完畢的點
e[i].val-=k;
e[i^1].val+=k;
res+=k; //res表示經過該點的所有流量和（相當於流出的總量）
sum-=k; //sum表示經過該點的剩餘流量
}
}
return res;
}
int main() {
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(register int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
}
while(bfs()) {
ans+=dfs(s,inf); //流量守恆（流入=流出）
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
- 當前弧優化
對於一個節點\(x\)，當它在\(DFS\)中走到了第\(i\)條弧時，前\(i-1\)條弧到匯點的流一定已經被流滿而沒有可行的路線了
那麼當下一次再訪問\(x\)節點時，前\(i-1\)條弧就沒有任何意義了
所以我們可以在每次列舉節點\(x\)所連的弧時，改變列舉的起點，這樣就可以刪除起點以前的所有弧，來達到優化剪枝的效果
對應到程式碼中，就是\(now\)陣列
後序
終於寫完了....現在來特別感謝一些：@那一條變阻器 對於使用\(EK\)演算法過掉本題的幫助 以及 @取什麼名字 講解\(Dinic\)演算法的\(DFS\)部分內容
如果本篇題解有任何錯誤或您有任何不懂的地方，歡迎留言區評論，我會及時回覆、更正，謝謝大家orz！