HMM-前向後向演算法

周若梣發表於2020-05-11

HMM演算法

基本要素

狀態 \(N\)個
狀態序列 \(S = s_1,s_2,...\)
觀測序列 \(O=O_1,O_2,...\)
\(\lambda(A,B,\pi)\)
- 狀態轉移概率 \(A = \{a_{ij}\}\)
- 發射概率 \(B = \{b_{ik}\}\)
- 初始概率分佈 \(\pi = \{\pi_i\}\)
觀測序列生成過程
- 初始狀態
- 選擇觀測
- 狀態轉移
- 返回step2

HMM三大問題

概率計算問題（評估問題）

給定觀測序列 \(O=O_1O_2...O_T\)，模型 \(\lambda (A,B,\pi)\)，計算 \(P(O|\lambda)\)，即計算觀測序列的概率

解碼問題

給定觀測序列 \(O=O_1O_2...O_T\)，模型 \(\lambda (A,B,\pi)\)，找到對應的狀態序列 \(S\)

學習問題

給定觀測序列 \(O=O_1O_2...O_T\)，找到模型引數 \(\lambda (A,B,\pi)\)，以最大化 \(P(O|\lambda)\)，

概率計算問題

給定模型 \(\lambda\) 和觀測序列 \(O\)，如何計算\(P(O| \lambda)\)？

暴力列舉每一個可能的狀態序列 \(S\)

對每一個給定的狀態序列

\[P(O|S,\lambda) = \prod^T_{t=1} P(O_t|s_t,\lambda) =\prod^T_{t=1} b_{s_tO_t} \]
一個狀態序列的產生概率

\[P(S|\lambda) = P(s_1)\prod^T_{t=2}P(s_t|s_{t-1})=\pi_1\prod^T_{t=2}a_{s_{t-1}s_t} \]
聯合概率

\[P(O,S|\lambda) = P(S|\lambda)P(O|S,\lambda) =\pi_1\prod^T_{t=2}a_{s_{t-1}s_t}\prod^T_{t=1} b_{s_tO_t} \]
考慮所有的狀態序列

\[P(O|\lambda)=\sum_S\pi_1b_{s_1O_1}\prod^T_{t=2}a_{s_{t-1}s_t}b_{s_tO_t} \]

\(O\) 可能由任意一個狀態得到，所以需要將每個狀態的可能性相加。

這樣做什麼問題？時間複雜度高達 \(O(2TN^T)\)。每個序列需要計算 \(2T\) 次，一共 \(N^T\) 個序列。

前向演算法

在時刻 \(t\)，狀態為 \(i\) 時，前面的時刻觀測到 \(O_1,O_2, ..., O_t\) 的概率，記為 \(\alpha _i(t)\) ：

\[\alpha_{i}(t)=P\left(O_{1}, O_{2}, \ldots O_{t}, s_{t}=i | \lambda\right) \]

當 \(t=1\) 時，輸出為 \(O_1\)，假設有三個狀態，\(O_1\) 可能是任意一個狀態發出，即

\[P(O_1|\lambda) = \pi_1b_1(O_1)+\pi_2b_2(O_1)+\pi_2b_3(O_1) = \alpha_1(1)+\alpha_2(1)+\alpha_3(1) \]

當 \(t=2\) 時，輸出為 \(O_1O_2\) ，\(O_2\) 可能由任一個狀態發出，同時產生 \(O_2\) 對應的狀態可以由 \(t=1\) 時刻任意一個狀態轉移得到。假設 \(O_2\) 由狀態 1 發出，如下圖

\[P(O_1O_2,s_2=q_1|\lambda) = \pi_1b_1(O_1)a_{11}b_1(O_2)+\pi_2b_2(O_1)a_{21}b_1(O_2)+\pi_2b_3(O_1)a_{31}b_1(O_2) \\=\bold{\alpha_1(1)}a_{11}b_1(O_2)+\bold{\alpha_2(1)}a_{21}b_1(O_2)+\bold{\alpha_3(1)}a_{31}b_1(O_2) = \bold{\alpha_1(2)} \]

同理可得 \(\alpha_2(2),\alpha_3(2)\)

\[\bold{\alpha_2(2)} = P(O_1O_2,s_2=q_2|\lambda) =\bold{\alpha_1(1)}a_{12}b_1(O_2)+\bold{\alpha_2(1)}a_{22}b_1(O_2)+\bold{\alpha_3(1)}a_{32}b_1(O_2)\\\bold{\alpha_3(2)} = P(O_1O_2,s_2=q_3|\lambda) =\bold{\alpha_1(1)}a_{13}b_1(O_2)+\bold{\alpha_2(1)}a_{23}b_1(O_2)+\bold{\alpha_3(1)}a_{33}b_1(O_2) \]

所以

\[P(O_1O_2|\lambda) =P(O_1O_2,s_2=q_1|\lambda)+ P(O_1O_2,s_2=q_2|\lambda) +P(O_1O_2,s_2=q_3|\lambda)\\= \alpha_1(2)+\alpha_2(2)+\alpha_3(2) \]

所以前向演算法過程如下：

step1：初始化 \(\alpha_i(1)= \pi_i*b_i(O_1)\)

step2：計算 \(\alpha(t) = (\sum^{N}_{i=1} \alpha_i(t-1)a_{ij})b_j(O_{t})\)

step3：\(P(O|\lambda) = \sum^N_{i=1}\alpha_i(t)\)

相比暴力法，時間複雜度降低了嗎？

當前時刻有 \(N\) 個狀態，每個狀態可能由前一時刻 \(N\) 個狀態中的任意一個轉移得到，所以單個時刻的時間複雜度為 \(O(N^2)\),總時間複雜度為 \(O(TN^2)\)

後向演算法

在時刻 \(t\)，狀態為 \(i\) 時，觀測到 \(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T\) 的概率，記為 \(\beta _i(t)\) ：

\[\beta_{i}(t)=P\left(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T | s_{t}=i, \lambda\right) \]

當 \(t=T\) 時，由於 \(T\) 時刻之後為空，沒有觀測，所以 \(\beta_i(t)=1\)

當 \(t = T-1\) 時，觀測 \(O_T\) ，\(O_T\) 可能由任意一個狀態產生

\[\beta_i(T-1) = P(O_T|s_{t}=i,\lambda) = a_{i1}b_1(O_T)\beta_1(T)+a_{i2}b_2(O_T)\beta_2(T)+a_{i3}b_3(O_T)\beta_3(T) \]

當 \(t=1\) 時，觀測為 \(O_{2},O_{3}, ..., O_T\)

\[\begin{aligned}\beta_1(1) &= P(O_{2},O_{3}, ..., O_T|s_1=1,\lambda)\\&=a_{11}b_1(O_2)\beta_1(2)+a_{12}b_2(O_2)\beta_2(2)+a_{13}b_3(O_2)\beta_3(2)\\\quad\\\beta_2(1) &= P(O_{2},O_{3}, ..., O_T|s_1=2,\lambda)\\&=a_{21}b_1(O_2)\beta_1(2)+a_{22}b_2(O_2)\beta_2(2)+a_{23}b_3(O_2)\beta_3(2)\\\quad\\\beta_3(1) &=P(O_{2},O_{3}, ..., O_T|s_1=3,\lambda)\\&=a_{31}b_1(O_2)\beta_1(2)+a_{32}b_2(O_2)\beta_2(2)+a_{33}b_3(O_2)\beta_3(2)\end{aligned} \]

所以

\[P(O_{2},O_{3}, ..., O_T|\lambda) = \beta_1(1)+\beta_2(1)+\beta_3(1) \]

後向演算法過程如下：

step1：初始化 \(\beta_i(T=1)\)

step2：計算 \(\beta_i(t) = \sum^N_{j=1}a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_j(t+1)\)

step3：\(P(O|\lambda) = \sum^N_{i=1}\pi_ib_i(O_1)\beta_i(1)\)

時間複雜度 \(O(N^2T)\)

前向-後向演算法

回顧前向、後向變數：

\(a_i(t)\) 時刻 \(t\)，狀態為 \(i\) ，觀測序列為 \(O_1,O_2, ..., O_t\) 的概率
\(\beta_i(t)\) 時刻 \(t\)，狀態為 \(i\) ，觀測序列為 \(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T\) 的概率

\[\begin{aligned}P(O,s_t=i|\lambda)&= P(O_1,O_2, ..., O_T,s_t=i|\lambda)\\&= P(O_1,O_2, ..., O_t,s_t=i,O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T|\lambda)\\&= P(O_1,O_2, ..., O_t,s_t=i|\lambda)*P(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T|O_1,O_2, ..., O_t,s_t=i,\lambda) \\&= P(O_1,O_2, ..., O_t,s_t=i|\lambda)*P(O_{t+1},O_{t+2}, ..., O_T,s_t=i|\lambda)\\&= a_i(t)*\beta_i(t)\end{aligned} \]

即在給定的狀態序列中，\(t\) 時刻狀態為 \(i\) 的概率。

使用前後向演算法可以計算隱狀態，記 \(\gamma_i(t) = P(s_t=i|O,\lambda)\) 表示時刻 \(t\) 位於隱狀態 \(i\) 的概率

\[P\left(s_{t}=i, O | \lambda\right)=\alpha_{i}(t) \beta_{i}(t) \]

\[\begin{aligned}\gamma_{i}(t)&=P\left(s_{t}={i} | O, \lambda\right)=\frac{P\left(s_{t}={i}, O | \lambda\right)}{P(O | \lambda)} \\&=\frac{\alpha_{i}(t) \beta_{i}(t)}{P(O | \lambda)}=\frac{\alpha_{i}(t) \beta_{i}(t)}{\sum_{i=1}^{N} \alpha_{i}(t) \beta_{i}(t)}\end{aligned} \]

未完待續。。。