解析Linux環境下RAID 6的Q校驗演算法

【前言】

RAID 為廉價磁碟冗餘陣列（ Redundant Array of Inexpensive Disks ）， RAID 技術將一個個單獨的磁碟以不同的組合方式形成一個邏輯硬碟，從而提高了磁碟讀取的效能和資料的安全性。不同的組合方式用 RAID 級別來標識，常見 RAID 的級別有 、 1 、 01 、 10 、 5 、 6 等等。具體實現的資料儲存的原理請參考相關文章。本章主要概述 Linux 環境下 RAID 6 級別的儲存原理。 Linux 環境下配置 RAID 的命令是 “mdadm” 。

【 RAID 6 概述】

       RAID 6 是指帶有兩種分佈儲存的奇偶校驗碼（既 P 和 Q ）的獨立硬碟結構。與 RAID 5 相比， RAID 6 增加了第二個獨立校驗碼（ Q ）資訊塊，兩個獨立的奇偶校驗系統使用不同的演算法，資料的可靠性非常高，即使兩塊硬碟同時失效也不會影響資料的使用，主要是用於要求資料絕對安全的場合。如下圖：

上圖中 Q 為 RAID 6 的第二個校驗資訊塊，採用的是非常複雜的 “ 伽羅華域 ” 演算法，稍後會講到。

【 RAID 6 的 P 校驗概述】

      其實 RAID 6 的 P 校驗和 RAID 5 的校驗是一樣的，都是採用的 “ 異或 ” 運算。異或運算子的原則就是相同為 ，不同為 1 的。在 RAID 5 的環境中只能掉一塊硬碟，但是 RAID 6 在 RAID 5 的基礎上新增了 Q 校驗，因此 RAID 6 支援同時掉兩塊盤。異或運算如下：

P = A + B + C = A xor B xor C

A = P - B - C = P xor B xor C

注意：上述的加減法都是異或運算。

【 RAID 6 的 Q 校驗概述】

      說到 Q 校驗就有點複雜了，它採用上面所提到的 “ 伽羅華域 ” 演算法。 “ 伽羅華域 ” 實際上就是 “0-255” 的一個有限域 GF(2^8) ，在 GF(2^8) 內不管是是加、減、乘、除都不會超過這個範圍。並且，加減法可逆，乘除法可逆，而且計算的值在 GF(2^8) 內是唯一的。注意：此處提到的加、減、乘、除法不是日常使用的加減乘除，而是 “ 伽羅華域 ” 內的運算。在 GF(2^8) 中，如果 2 的 n 次方大於某個值（本原多項式）就會對該值（本原多項式）取餘，結果又會返回到 GF(2^8) 中。因此，保證了 2^0 到 2^255 的結果值在 GF(2^8) 內是唯一的。

在 GF(2^8) 中一共有 16 個本原多項式，分別如下：

1     x8+x7+x6+x5+x4+x2+1              1 1111 0101 = 0x1F5  

2     x8+x7+x6+x5+x2+x+1               1 1110 0111 = 0x1E7

3     x8+x7+x6+x3+x2+x+1               1 1100 1111 = 0x1CF

4     x8+x7+x6+x+1                     1 1100 0011 = 0x1C3

5     x8+x7+x5+x3+1                    1 1010 1001 = 0x1A9

6     x8+x7+x3+x2+1                    1 1000 1101 = 0x18D

7     x8+x7+x2+x+1                     1 1000 0111 = 0x187

8     x8+x6+x5+x4+1                    1 0111 0001 = 0x171

9     x8+x6+x5+x3+1                    1 0110 1001 = 0x169

10    x8+x6+x5+x2+1                    1 0110 0101 = 0x165

11    x8+x6+x5+x+1                     1 0110 0011 = 0x163

12    x8+x6+x4+x3+x2+x+1               1 0101 1111 = 0x15F

13    x8+x6+x3+x2+1                    1 0100 1101 = 0x14D

14    x8+x5+x3+x2+1                    1 0010 1101 = 0x12D

15    x8+x5+x3+x+1                     1 0010 1011 = 0x12B

16    x8+x4+x3+x2+1                    1 0001 1101 = 0x11D

RAID 6 常用的本原多項式為 0X11D ，既上列中最後一個。 Linux 環境中的 RAID 6 也是如此。

好了回到 Q 校驗上， Q 校驗和 P 校驗結合正好組成了一個二元一次方程， K1 、 K2 、 K3 為 GF(2^8) 中多項式的數值。

P = A + B + C

Q = A*K1 + B*K2 + C*K3

【伽羅華域的乘除法運算】

      伽羅華域中的加減法也是異或運算，所以就不做詳細解釋了，重點解釋一下乘除法。透過上面的 Q 校驗知道 Q 校驗的生成需要伽羅華域中的乘法運算，計算乘法運算是一件非常複雜的事情，最好的解決辦法就是將 GF(2^8) 中所有多項式的值生成表格，透過查表得知乘法運算的值。

1 、生成正表 GFILOG

透過下表的方法生成正表 GFILOG ，注意：此表的本原多項式為 0X11D 。

如下：是正表 GFILOG

2 、生成反表 GFLOG

    有了正向變換表，要得到逆向表就很簡單了，把正向中的表變換值做為索引，在把正向表中的索引作為值就 OK 了。如下表：

3 、計算乘除法運算（查表法）

乘法： A * K1 = GFILOG[(GFLOG[A]+GFLOG[K1]) mod 255];

除法： A / K1 = GFILOG[(GFLOG[A]-GFLOG[K1]+255) mod 255];

現在知道了伽羅華域的乘除法，那麼我們計算 Q 校驗就方便了許多。

【根據 Q 校驗生成丟失的資料】

當 RAID 6 中壞掉兩塊磁碟，那該如何生成丟失的資料呢？用 RAID 6 的一個條帶舉例說明。

1 、如果某個條帶中丟失的兩塊資料是 P 和 Q ，那麼正好，資料沒有丟失，正常提取即可。

2 、如果某個條帶中丟失的兩塊資料是 P 和 A ，那麼可以根據 Q 校驗計算出 A 的資料。

P = A*K1 + B*K2 + C*K3

A*K1 = P + B*K2 + C*K3

A = （ P + B*K2 + C*K3 ） / K1   // 注： K1 可以同過查表獲取

3 、如果某個條帶中丟失的兩塊資料是 Q 和 A ，那麼可以根據校驗 P 計算出 A 的資料。

P = A + B + C

A = P + B + C

4 、如果某個條帶中丟失的兩塊資料是 A 和 B ，那麼可以根據校驗 P 和 Q 計算出 A 和 B 的資料。

P = A + B + C

Q =  A*K1 + B*K2 + C*K3

A = P + B + C

Q = (P + B + C)*K1 + B*K2 +C*K3

Q = P*K1 + B*K1 + C*K1 + B*K2 + C*K3

Q = P*K1 + C*K1 + C*K3 + B*K1 + B*K2

Q + P*K1 + C*K1 + C*K3 = (K1+K2) * B

B = ( Q + P*K1 + C*K1 + C*K3) / (K1+K2)

計算出 B 的值以後，再根據 P 校驗和計算出 A 的值就容易很多了。

A = P + B + C

【 Linux 環境下的 RAID 6 】

    根據前的內容已經知道 RAID 6 的大致原理了。因為伽羅華域的本原多項式有 16 種，因此 RAID 6 的種類有很多，再加上 K 值的不固定。因此計算某個 RAID 6 的 Q 校驗值會變的很複雜。不過 Linux 環境下的 RAID 6 的 K 值經過測試，其值根據夠成 RAID 6 陣列的磁碟數，從本原多項式 0X11D 的開始取（ RAID 6 總磁碟數 -2 ）個多項式的值作為 K 的值。