x->0時，高階+低階等價於低階？為什麼

步驟1: 理解高階與低階項

• 在數學中，當我們談論函式的高階和低階項時，通常是指在一個函式的展開式中，高階項比低階項增長得更快。例如，對於 f(x)=x+x2f(x) = x + x^2f(x)=x+x2，x2x^2x2 是高階項，xxx 是低階項，因為 x2x^2x2 比 xxx 增長得更快。

步驟2: 討論極限 x→0x \to 0x→0 時的行為

• 當 x→0x \to 0x→0 時，高階項（如 x2x^2x2）的值比低階項（如 xxx）的值小得多。這是因為高階項中的 xxx 的次冪更高，因此它的值衰減得更快。例如，當 x=0.01x = 0.01x=0.01 時，x2=0.0001x^2 = 0.0001x2=0.0001，比 x=0.01x = 0.01x=0.01 小得多。

步驟3: 證明高階+低階等價於低階

• 令 f(x)=x+x2f(x) = x + x^2f(x)=x+x2。我們考察 x→0x \to 0x→0 時 f(x)f(x)f(x) 的行為：

lim⁡x→0f(x)x=lim⁡x→0x+x2x=lim⁡x→0(1+x)=1\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + x^2}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 + x\right) = 1x→0lim​xf(x)​=x→0lim​xx+x2​=x→0lim​(1+x)=1

• 這表明，當 x→0x \to 0x→0 時，f(x)=x+x2f(x) = x + x^2f(x)=x+x2 和 xxx 在極限中是等價的，因為高階項 x2x^2x2 對整體結果的影響可以忽略不計。

最終答案 當 x→0x \to 0x→0 時，高階+低階等價於低階，因為高階項的影響在極限中可以忽略不計。

關鍵概念 泰勒展開與漸近分析。

關鍵概念解釋 泰勒展開用於將函式表示為多項式的形式，其中每一項是某個階的導數。在 x→0x \to 0x→0 的情況下，高階項的次冪更高，因此其值衰減得更快，可以忽略。漸近分析是研究函式在極限過程中的行為，通常用於近似複雜的函式。