計數好題。關鍵點在於一步轉化，然而我並沒有發現。
首先期望轉計數，對於這類問題，我們有很經典的處理手法：\(\sum_r\sum_S [f(S)=r]r=\sum_r\sum_S [f(S)\ge r]\)。
但是我並沒有發現這一步的意義。事實上，這個條件寫到樹上就是，存在一個點，使得離它最近的非空閒點距離 \(>r\)。
然後就可以 tree dp 了，設 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 子樹內離 \(i\) 最近的非空閒點距離為 \(j\)，\(g_{i,j}\) 表示 \(i\) 子樹內已經滿足其子樹內部 \(>r\) 限制的點中，離 \(i\) 最遠的距離為 \(j\)。初始 \(f_{u,0}=g_{u,0}=1\)。對應空閒/非空閒。
轉移：
- \(f_{u,j}\times f_{v,k}\to f_{u,\min(j,k+1)}\)。
- \(f_{u,j}\times g_{v,k}\)，若 \(j+k+1>r\) 則轉移到 \(g_{u,k+1}\)，反之轉移到 \(f_{u,j}\)。
- \(g_{u,j}\times f_{v,k}\)，類似。
- \(g_{u,j}\times g_{v,k}\to g_{u,\max(j,k+1)}\)。
轉移弱於樹上揹包，單次 \(\mathcal O(n^2)\)，總複雜度 \(\mathcal O(n^3)\)。
總結：計數物件貢獻形式的轉化可能蘊含著限制條件的轉化，時刻關注每一步對問題的影響。