MATLAB入門教程

1．MATLAB的基本知識

1-1、基本運算與函式

在MATLAB下進行基本數學運算，只需將運算式直接打入提示號（>>）之後，並按入Enter鍵即可。例如：

>> (5*2+1.3-0.8)*10/25

ans =4.2000

MATLAB會將運算結果直接存入一變數ans，代表MATLAB運算後的答案（Answer）並顯示其數值於螢幕上。

小提示： ">>"是MATLAB的提示符號（Prompt），但在PC中文視窗系統下，由於編碼方式不同，此提示符號常會消失不見，但這並不會影響到MATLAB的運算結果。

我們也可將上述運算式的結果設定給另一個變數x：

x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25

x = 42

此時MATLAB會直接顯示x的值。由上例可知，MATLAB認識所有一般常用到的加（+）、減（-）、乘（*）、除（/）的數學運算子號，以及冪次運算（^）。

小提示： MATLAB將所有變數均存成double的形式，所以不需經過變數宣告（Variabledeclaration）。MATLAB同時也會自動進行記憶體的使用和回收，而不必像C語言,必須由使用者一一指定.這些功能使的MATLAB易學易用，使用者可專心致力於撰寫程式，而不必被軟體枝節問題所干擾。

若不想讓MATLAB每次都顯示運算結果，只需在運算式最後加上分號（；）即可，如下例：

y = sin(10)*exp(-0.3*4^2);

若要顯示變數y的值，直接鍵入y即可：

>>y

y =-0.0045

在上例中，sin是正弦函式，exp是指數函式，這些都是MATLAB常用到的數學函式。

下表即為MATLAB常用的基本數學函式及三角函式：

小整理：MATLAB常用的基本數學函式

abs(x)：純量的絕對值或向量的長度

angle(z)：復數z的相角(Phase angle)

sqrt(x)：開平方

real(z)：複數z的實部

imag(z)：複數z的虛部

conj(z)：複數z的共軛複數

round(x)：四捨五入至最近整數

fix(x)：無論正負，捨去小數至最近整數

floor(x)：地板函式，即捨去正小數至最近整數

ceil(x)：天花板函式，即加入正小數至最近整數

rat(x)：將實數x化為分數表示

rats(x)：將實數x化為多項分數展開

sign(x)：符號函式 (Signum function)。

當x<0時，sign(x)=-1；

當x=0時，sign(x)=0;

當x>0時，sign(x)=1。

> 小整理：MATLAB常用的三角函式

sin(x)：正弦函式

cos(x)：餘弦函式

tan(x)：正切函式

asin(x)：反正弦函式

acos(x)：反餘弦函式

atan(x)：反正切函式

atan2(x,y)：四象限的反正切函式

sinh(x)：超越正弦函式

cosh(x)：超越餘弦函式

tanh(x)：超越正切函式

asinh(x)：反超越正弦函式

acosh(x)：反超越餘弦函式

atanh(x)：反超越正切函式

變數也可用來存放向量或矩陣，並進行各種運算，如下例的列向量（Row vector）運算：

x = [1 3 5 2];

y = 2*x+1

y = 3 7 11 5

小提示：變數命名的規則

1.第一個字母必須是英文字母 2.字母間不可留空格 3.最多隻能有19個字母，MATLAB會忽略多餘字母

我們可以隨意更改、增加或刪除向量的元素：

y(3) = 2 % 更改第三個元素

y =3 7 2 5

y(6) = 10 % 加入第六個元素

y = 3 7 2 5 0 10

y(4) = [] % 刪除第四個元素，

y = 3 7 2 0 10

在上例中，MATLAB會忽略所有在百分比符號（%）之後的文字，因此百分比之後的文字均可視為程式的註解（Comments）。MATLAB亦可取出向量的一個元素或一部份來做運算：

x(2)*3+y(4) % 取出x的第二個元素和y的第四個元素來做運算

ans = 9

y(2:4)-1 % 取出y的第二至第四個元素來做運算

ans = 6 1 -1

在上例中，2:4代表一個由2、3、4組成的向量

若對MATLAB函式用法有疑問，可隨時使用help來尋求線上支援（on-line help）：helplinspace

小整理：MATLAB的查詢命令

help：用來查詢已知命令的用法。例如已知inv是用來計算反矩陣，鍵入help inv即可得知有關inv命令的用法。（鍵入help help則顯示help的用法，請試看看！） lookfor：用來尋找未知的命令。例如要尋找計算反矩陣的命令，可鍵入 lookfor inverse，MATLAB即會列出所有和關鍵字inverse相關的指令。找到所需的命令後，即可用help進一步找出其用法。（lookfor事實上是對所有在搜尋路徑下的M檔案進行關鍵字對第一註解行的比對，詳見後敘。）

將行向量轉置（Transpose）後，即可得到列向量（Column vector）：

z = x'

z = 4.0000

5.2000

6.4000

7.6000

8.8000

10.0000

不論是行向量或列向量，我們均可用相同的函式找出其元素個數、最大值、最小值等：

length(z) % z的元素個數

ans = 6

max(z) % z的最大值

ans = 10

min(z) % z的最小值

ans = 4

小整理：適用於向量的常用函式有：

min(x): 向量x的元素的最小值

max(x): 向量x的元素的最大值

mean(x): 向量x的元素的平均值

median(x): 向量x的元素的中位數

std(x): 向量x的元素的標準差

diff(x): 向量x的相鄰元素的差

sort(x): 對向量x的元素進行排序（Sorting）

length(x): 向量x的元素個數

norm(x): 向量x的歐氏（Euclidean）長度

sum(x): 向量x的元素總和

prod(x): 向量x的元素總乘積

cumsum(x): 向量x的累計元素總和

cumprod(x): 向量x的累計元素總乘積

dot(x, y): 向量x和y的內積

cross(x, y): 向量x和y的外積（大部份的向量函式也可適用於矩陣，詳見下述。）

若要輸入矩陣，則必須在每一列結尾加上分號（；），如下例：

A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 1011 12];

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

同樣地，我們可以對矩陣進行各種處理：

A(2,3) = 5 % 改變位於第二列，第三行的元素值

A =

1 2 3 4

5 6 5 8

9 10 11 12

B = A(2,1:3) % 取出部份矩陣B

B = 5 6 5

A = [A B'] % 將B轉置後以列向量併入A

A =

1 2 3 4 5

5 6 5 8 6

9 10 11 12 5

A(:, 2) = [] % 刪除第二行（：代表所有列）

A =

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

A = [A; 4 3 2 1] % 加入第四列

A =

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

4 3 2 1

A([1 4], :) = [] % 刪除第一和第四列（：代表所有行）

A =

5 5 8 6

9 11 12 5

這幾種矩陣處理的方式可以相互疊代運用，產生各種意想不到的效果，就看各位的巧思和創意。

小提示：在MATLAB的內部資料結構中,每一個矩陣都是一個以行為主（Column-oriented ）的陣列（Array）因此對於矩陣元素的存取，我們可用一維或二維的索引（Index）來定址。舉例來說，在上述矩陣A中，位於第二列、第三行的元素可寫為A(2,3) （二維索引）或A(6)（一維索引，即將所有直行進行堆疊後的第六個元素）。

此外，若要重新安排矩陣的形狀，可用reshape命令：

B = reshape(A, 4, 2) % 4是新矩陣的行數，2是新矩陣的列數

B =

5 8

9 12

5 6

11 5

小提示： A(:)就是將矩陣A每一行堆疊起來，成為一個列向量，而這也是MATLAB變數的內部儲存方式。以前例而言，reshape(A, 8, 1)和A(:)同樣都會產生一個8x1的矩陣。

MATLAB可在同時執行數個命令，只要以逗號或分號將命令隔開：

x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10,

z =

7.5000

若一個數學運算是太長，可用三個句點將其延伸到下一行：

z = 10*sin(pi/3)* ...

sin(pi/3);

若要檢視現存於工作空間（Workspace）的變數，可鍵入who：

who

Your variables are:

testfile x

這些是由使用者定義的變數。若要知道這些變數的詳細資料，可鍵入：

whos

Name Size Bytes Class

A 2x4 64 double array

B 4x2 64 double array

ans 1x1 8 double array

x 1x1 8 double array

y 1x1 8 double array

z 1x1 8 double array

Grand total is 20 elements using 160 bytes

使用clear可以刪除工作空間的變數：

clear A

A

??? Undefined function or variable 'A'.

另外MATLAB有些永久常數（Permanent constants），雖然在工作空間中看不到，但使用者可直接取用，例如：

pi

ans = 3.1416

下表即為MATLAB常用到的永久常數。

小整理：MATLAB的永久常數 i或j：基本虛數單位

eps：系統的浮點（Floating-point）精確度

inf：無限大，例如1/0 nan或NaN：非數值（Not a number），例如0/0

pi：圓周率 p（= 3.1415926...）

realmax：系統所能表示的最大數值

realmin：系統所能表示的最小數值

nargin: 函式的輸入引數個數

nargin: 函式的輸出引數個數

1-2、重複命令

最簡單的重複命令是for圈（for-loop），其基本形式為：

for 變數 = 矩陣；

運算式；

end

其中變數的值會被依次設定為矩陣的每一行，來執行介於for和end之間的運算式。因此,若無意外情況，運算式執行的次數會等於矩陣的行數。

舉例來說，下列命令會產生一個長度為6的調和數列（Harmonic sequence）：

x = zeros(1,6); % x是一個16的零矩陣

for i = 1:6,

x(i) = 1/i;

end

在上例中，矩陣x最初是一個16的零矩陣，在for圈中，變數i的值依次是1到6，因此矩陣x的第i個元素的值依次被設為1/i。我們可用分數來顯示此數列：

format rat % 使用分數來表示數值

disp(x)

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

for圈可以是多層的，下例產生一個16的Hilbert矩陣h，其中為於第i列、第j行的元素為

h = zeros(6);

for i = 1:6,

for j = 1:6,

h(i,j) = 1/(i+j-1);

end

disp(h)

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8

1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10

1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11

小提示：預先配置矩陣在上面的例子，我們使用zeros來預先配置（Allocate）了一個適當大小的矩陣。若不預先配置矩陣，程式仍可執行，但此時MATLAB需要動態地增加（或減小）矩陣的大小，因而降低程式的執行效率。所以在使用一個矩陣時，若能在事前知道其大小，則最好先使用zeros或ones等命令來預先配置所需的記憶體（即矩陣）大小。

在下例中，for圈列出先前產生的Hilbert矩陣的每一行的平方和：

for i = h,

disp(norm(i)^2); % 印出每一行的平方和

end

1299/871

282/551

650/2343

524/2933

559/4431

831/8801

在上例中，每一次i的值就是矩陣h的一行，所以寫出來的命令特別簡潔。

令一個常用到的重複命令是while圈，其基本形式為：

while 條件式；

運算式；

end

也就是說，只要條件示成立，運算式就會一再被執行。例如先前產生調和數列的例子，我們可用while圈改寫如下：

x = zeros(1,6); % x是一個16的零矩陣

i = 1;

while i <= 6,

x(i) = 1/i;

i = i+1;

end

format short

1-3、邏輯命令

最簡單的邏輯命令是if, ..., end，其基本形式為：

if 條件式；

運算式；

end

if rand(1,1) > 0.5,

disp('Given random number is greater than 0.5.');

end

Given random number is greater than 0.5.

1-4、集合多個命令於一個M檔案

若要一次執行大量的MATLAB命令，可將這些命令存放於一個副檔名為m的檔案，並在 MATLAB提示號下鍵入此檔案的主檔名即可。此種包含MATLAB命令的檔案都以m為副檔名，因此通稱M檔案（M-files）。例如一個名為test.m的M檔案，包含一連串的MATLAB命令，那麼只要直接鍵入test，即可執行其所包含的命令：

pwd % 顯示現在的目錄

ans =

D:\MATLAB5\bin

cd c:\data\mlbook % 進入test.m所在的目錄

type test.m % 顯示test.m的內容

% This is my first test M-file.

% Roger Jang, March 3, 1997

fprintf('Start of test.m!\n');

for i = 1:3,

fprintf('i = %d ---> i^3 = %d\n', i, i^3);

end

fprintf('End of test.m!\n');

test % 執行test.m

Start of test.m!

i = 1 ---> i^3 = 1

i = 2 ---> i^3 = 8

i = 3 ---> i^3 = 27

End of test.m!

小提示：第一註解行（H1 help line） test.m的前兩行是註解，可以使程式易於瞭解與管理。特別要說明的是，第一註解行通常用來簡短說明此M檔案的功能，以便lookfor能以關鍵字比對的方式來找出此M檔案。舉例來說，test.m的第一註解行包含test這個字，因此如果鍵入lookfor test，MATLAB即可列出所有在第一註解行包含test的M檔案，因而test.m也會被列名在內。

嚴格來說，M檔案可再細分為命令集（Scripts）及函式（Functions）。前述的test.m即為命令集，其效用和將命令逐一輸入完全一樣，因此若在命令集可以直接使用工作空間的變數，而且在命令集中設定的變數，也都在工作空間中看得到。函式則需要用到輸入引數（Input arguments）和輸出引數（Output arguments）來傳遞資訊，這就像是C語言的函式,或是FORTRAN語言的副程式（Subroutines）。舉例來說，若要計算一個正整數的階乘（Factorial），我們可以寫一個如下的MATLAB函式並將之存檔於fact.m：

function output = fact(n)

% FACT Calculate factorial of a given positive integer.

output = 1;

for i = 1:n,

output = output*i;

end

其中fact是函式名，n是輸入引數，output是輸出引數，而i則是此函式用到的暫時變數。要使用此函式，直接鍵入函式名及適當輸入引數值即可：

y = fact(5)

y = 120

（當然，在執行fact之前，你必須先進入fact.m所在的目錄。）在執行fact(5)時，

MATLAB會跳入一個下層的暫時工作空間（Temperary workspace），將變數n的值設定為5，然後進行各項函式的內部運算，所有內部運算所產生的變數（包含輸入引數n、暫時變數i，以及輸出引數output）都存在此暫時工作空間中。運算完畢後，MATLAB會將最後輸出引數output的值設定給上層的變數y，並將清除此暫時工作空間及其所含的所有變數。換句話說，在呼叫函式時，你只能經由輸入引數來控制函式的輸入，經由輸出引數來得到函式的輸出，但所有的暫時變數都會隨著函式的結束而消失，你並無法得到它們的值。

小提示：有關階乘函式前面（及後面）用到的階乘函式只是純粹用來說明MATLAB的函式觀念。若實際要計算一個正整數n的階乘（即n!）時，可直接寫成prod(1:n)，或是直接呼叫gamma函式：gamma(n-1)。

MATLAB的函式也可以是遞式的（Recursive），也就是說，一個函式可以呼叫它本身。

舉例來說，n! = n*(n-1)!，因此前面的階乘函式可以改成遞式的寫法：

function output = fact(n)

% FACT Calculate factorial of a given positive integerrecursively.

if n == 1, % Terminating condition

output = 1;

return;

end

output = n*fact(n-1);

在寫一個遞函式時，一定要包含結束條件（Terminating condition），否則此函式將會一再呼叫自己，永遠不會停止，直到電腦的記憶體被耗盡為止。以上例而言，n==1即滿足結束條件，此時我們直接將output設為1，而不再呼叫此函式本身。

1-5、搜尋路徑

在前一節中，test.m所在的目錄是d:\mlbook。如果不先進入這個目錄，MATLAB就找不到你要執行的M檔案。如果希望MATLAB不論在何處都能執行test.m，那麼就必須將d:\mlbook加入MATLAB的搜尋路徑（Search path）上。要檢視MATLAB的搜尋路徑，鍵入path即可：

path

MATLABPATH

d:\matlab5\toolbox\matlab\general

d:\matlab5\toolbox\matlab\ops

d:\matlab5\toolbox\matlab\lang

d:\matlab5\toolbox\matlab\elmat

d:\matlab5\toolbox\matlab\elfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\specfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\matfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\datafun

d:\matlab5\toolbox\matlab\polyfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\funfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\sparfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\graph2d

d:\matlab5\toolbox\matlab\graph3d

d:\matlab5\toolbox\matlab\specgraph

d:\matlab5\toolbox\matlab\graphics

d:\matlab5\toolbox\matlab\uitools

d:\matlab5\toolbox\matlab\strfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\iofun

d:\matlab5\toolbox\matlab\timefun

d:\matlab5\toolbox\matlab\datatypes

d:\matlab5\toolbox\matlab\dde

d:\matlab5\toolbox\matlab\demos

d:\matlab5\toolbox\tour

d:\matlab5\toolbox\simulink\simulink

d:\matlab5\toolbox\simulink\blocks

d:\matlab5\toolbox\simulink\simdemos

d:\matlab5\toolbox\simulink\dee

d:\matlab5\toolbox\local

此搜尋路徑會依已安裝的工具箱（Toolboxes）不同而有所不同。要查詢某一命令是在搜尋路徑的何處，可用which命令：

which expo

d:\matlab5\toolbox\matlab\demos\expo.m

很顯然c:\data\mlbook並不在MATLAB的搜尋路徑中，因此MATLAB找不到test.m這個M檔案：

which test

c:\data\mlbook\test.m

要將d:\mlbook加入MATLAB的搜尋路徑，還是使用path命令：

path(path, 'c:\data\mlbook');

此時d:\mlbook已加入MATLAB搜尋路徑（鍵入path試看看），因此MATLAB已經"看"得到

test.m:

which test

c:\data\mlbook\test.m

現在我們就可以直接鍵入test，而不必先進入test.m所在的目錄。

小提示：如何在其啟動MATLAB時，自動設定所需的搜尋路徑？如果在每一次啟動MATLAB後都要設定所需的搜尋路徑，將是一件很麻煩的事。有兩種方法，可以使MATLAB啟動後，即可載入使用者定義的搜尋路徑：

1.MATLAB的預設搜尋路徑是定義在matlabrc.m（在c:\matlab之下，或是其他安裝MATLAB 的主目錄下），MATLAB每次啟動後，即自動執行此檔案。因此你可以直接修改matlabrc.m ，以加入新的目錄於搜尋路徑之中。

2.MATLAB在執行matlabrc.m時，同時也會在預設搜尋路徑中尋找startup.m，若此檔案存在，則執行其所含的命令。因此我們可將所有在MATLAB啟動時必須執行的命令（包含更改搜尋路徑的命令），放在此檔案中。

每次MATLAB遇到一個命令（例如test）時，其處置程式為：

1.將test視為使用者定義的變數。

2.若test不是使用者定義的變數，將其視為永久常數。

3.若test不是永久常數，檢查其是否為目前工作目錄下的M檔案。

4.若不是，則由搜尋路徑尋找是否有test.m的檔案。

5.若在搜尋路徑中找不到，則MATLAB會發出嗶嗶聲並印出錯誤訊息。

以下介紹與MATLAB搜尋路徑相關的各項命令。

1-6、資料的儲存與載入

有些計算曠日廢時，那麼我們通常希望能將計算所得的儲存在檔案中，以便將來可進行其他處理。MATLAB儲存變數的基本命令是save，在不加任何選項（Options）時，save會將變數以二進位制（Binary）的方式儲存至副檔名為mat的檔案，如下述：

save：將工作空間的所有變數儲存到名為matlab.mat的二進位制檔案。

save filename：將工作空間的所有變數儲存到名為filename.mat的二進位制檔案。 save filename x y z ：將變數x、y、z儲存到名為filename.mat的二進位制檔案。

以下為使用save命令的一個簡例：

who % 列出工作空間的變數

Your variables are:

B h j y

ans i x z

save test B y % 將變數B與y儲存至test.mat

dir % 列出現在目錄中的檔案

. 2plotxy.doc fact.m simulink.doc test.m ~$1basic.doc

.. 3plotxyz.doc first.doc temp.doc test.mat

1basic.doc book.dot Go.m template.doc testfile.dat

delete test.mat % 刪除test.mat

以二進位制的方式儲存變數，通常檔案會比較小，而且在載入時速度較快，但是就無法用普通的文書軟體（例如pe2或記事本）看到檔案內容。若想看到檔案內容，則必須加上-ascii選項，詳見下述：

save filename x -ascii：將變數x以八位數存到名為filename的ASCII檔案。

Save filename x -ascii -double：將變數x以十六位數存到名為filename的ASCII檔案。

另一個選項是-tab，可將同一列相鄰的數目以定位鍵（Tab）隔開。

小提示：二進位制和ASCII檔案的比較在save命令使用-ascii選項後，會有下列現象:save命令就不會在檔案名稱後加上mat的副檔名。

因此以副檔名mat結尾的檔案通常是MATLAB的二進位資料檔。

若非有特殊需要，我們應該儘量以二進位制方式儲存資料。

load命令可將檔案載入以取得儲存之變數：

load filename：load會尋找名稱為filename.mat的檔案，並以二進位制格式載入。若找不到filename.mat，則尋找名稱為filename的檔案，並以ASCII格式載入。load filename-ascii：load會尋找名稱為filename的檔案，並以ASCII格式載入。

若以ASCII格式載入，則變數名稱即為檔案名稱（但不包含副檔名）。若以二進位制載入，則可保留原有的變數名稱，如下例：

clear all; % 清除工作空間中的變數

x = 1:10;

save testfile.dat x -ascii % 將x以ASCII格式存至名為testfile.dat的檔案

load testfile.dat % 載入testfile.dat

who % 列出工作空間中的變數

Your variables are:

testfile x

注意在上述過程中，由於是以ASCII格式儲存與載入，所以產生了一個與檔案名稱相同的變數testfile，此變數的值和原變數x完全相同。

1-7、結束MATLAB

有三種方法可以結束MATLAB：

1.鍵入exit

2.鍵入quit

3.直接關閉MATLAB的命令視窗（Command window）

2．數值分析

2．1微分

diff函式用以演算一函式的微分項，相關的函式語法有下列4個：

diff(f) 傳回f對預設獨立變數的一次微分值

diff(f,'t') 傳回f對獨立變數t的一次微分值

diff(f,n) 傳回f對預設獨立變數的n次微分值

diff(f,'t',n) 傳回f對獨立變數t的n次微分值

數值微分函式也是用diff，因此這個函式是靠輸入的引數決定是以數值或是符號微分，如果引數為向量則執行數值微分，如果引數為符號表示式則執行符號微分。

先定義下列三個方程式，接著再演算其微分項：

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';

>>S2 = 'sin(a)';

>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';

>>diff(S1)

ans=18*x^2-8*x+b

>>diff(S1,2)

ans= 36*x-8

>>diff(S1,'b')

ans= x

>>diff(S2)

ans=

cos(a)

>>diff(S3)

ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3

>>simplify(diff(S3))

ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2

2．2積分

int函式用以演算一函式的積分項，這個函式要找出一符號式 F 使得diff(F)=f。如果積

分式的解析式(analytical form, closed form) 不存在的話或是MATLAB無法找到，則int 傳回原輸入的符號式。相關的函式語法有下列 4個：

int(f) 傳回f對預設獨立變數的積分值

int(f,'t') 傳回f對獨立變數t的積分值

int(f,a,b) 傳回f對預設獨立變數的積分值，積分割槽間為[a,b]，a和b為數值式

int(f,'t',a,b) 傳回f對獨立變數t的積分值，積分割槽間為[a,b]，a和b為數值式

int(f,'m','n') 傳回f對預設變數的積分值，積分割槽間為[m,n]，m和n為符號式

我們示範幾個例子：

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';

>>S2 = 'sin(a)';

>>S3 = 'sqrt(x)';

>>int(S1)

ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x

>>int(S2)

ans= -cos(a)

>>int(S3)

ans= 2/3*x^(3/2)

>>int(S3,'a','b')

ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)

>>int(S3,0.5,0.6)

ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)

>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函式可以計算積分的數值

ans= 0.0741

2．3求解常微分方程式

MATLAB解常微分方程式的語法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且須以Dy代表一階微分項y'　D2y代表二階微分項y''　，

condition則為初始條件。

假設有以下三個一階常微分方程式和其初始條件

y'=3x2, y(2)=0.5

y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25

y'=3y+exp(2x), y(0)=3

對應上述常微分方程式的符號運算式為：

>>soln_1 = dsolve('Dy =3*x^2','y(2)=0.5')

ans= x^3-7.500000000000000

>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看這個函式的長相

>>soln_2 = dsolve('Dy =2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')

ans= atan(x^2+1)

>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y +exp(2*x)',' y(0) = 3')

ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)

2．4非線性方程式的實根

要求任一方程式的根有三步驟：

先定義方程式。要注意必須將方程式安排成 f(x)=0 的形態，例如一方程式為sin(x)=3，

則該方程式應表示為f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定義方程式。

代入適當範圍的 x, y(x) 值，將該函式的分佈圖畫出，藉以瞭解該方程式的「長相」。

由圖中決定y(x)在何處附近(x0)與 x 軸相交，以fzero的語法fzero('function',x0)即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定義的函式名稱。如果從函式分佈圖看出根不只一個，則須再代入另一個在根附近的 x0，再求出下一個根。

以下分別介紹幾數個方程式，來說明如何求解它們的根。

例一、方程式為

sin(x)=0

我們知道上式的根有，求根方式如下：

>> r=fzero('sin',3) % 因為sin(x)是內建函式，其名稱為sin，因此無須定義它,選擇 x=3 附近求根

r=3.1416

>> r=fzero('sin',6) % 選擇 x=6 附近求根

r = 6.2832

例二、方程式為MATLAB 內建函式 humps，我們不須要知道這個方程式的形態為何，不過我們可以將它劃出來，再找出根的位置。求根方式如下：

>> x=linspace(-2,3);

>> y=humps(x);

>> plot(x,y), grid % 由圖中可看出在0和1附近有二個根

>> r=fzero('humps',1.2)

r = 1.2995

例三、方程式為y=x.^3-2*x-5

這個方程式其實是個多項式，我們說明除了用 roots 函式找出它的根外，也可以用這節介紹的方法求根，注意二者的解法及結果有所不同。求根方式如下：

% m-function, f_1.m

function y=f_1(x) % 定義 f_1.m 函式

y=x.^3-2*x-5;

>> x=linspace(-2,3);

>> y=f_1(x);

>> plot(x,y), grid % 由圖中可看出在2和-1附近有二個根

>> r=fzero('f_1',2); % 決定在2附近的根

r = 2.0946

>> p=[1 0 -2 -5]

>> r=roots(p) % 以求解多項式根方式驗證

r =

2.0946

-1.0473 + 1.1359i

-1.0473 - 1.1359i

2．5線性代數方程（組）求解

我們習慣將上組方程式以矩陣方式表示如下

AX=B

其中 A 為等式左邊各方程式的係數項，X 為欲求解的未知項，B 代表等式右邊之已知項

要解上述的聯立方程式，我們可以利用矩陣左除 \ 做運算，即是 X=A\B。

如果將原方程式改寫成 XA=B

其中 A 為等式左邊各方程式的係數項，X 為欲求解的未知項，B 代表等式右邊之已知項

注意上式的 X, B 已改寫成列向量，A其實是前一個方程式中 A 的轉置矩陣。上式的 X 可以矩陣右除 / 求解，即是 X=B/A。

若以反矩陣運算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改寫成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。

我們直接以下面的例子來說明這三個運算的用法：

>> A=[3 2-1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 將等式的左邊係數鍵入

>> B=[10 5 -1]'; % 將等式右邊之已知項鍵入，B要做轉置

>> X=A\B % 先以左除運算求解

X = % 注意X為行向量

-2

5

6

>> C=A*X % 驗算解是否正確

C = % C=B

10

5

-1

>> A=A'; % 將A先做轉置

>> B=[10 5 -1];

>> X=B/A % 以右除運算求解的結果亦同

X = % 注意X為列向量

10 5 -1

>> X=B*inv(A); % 也可以反矩陣運算求解

3.基本xy平面繪圖命令

MATLAB不但擅長於矩陣相關的數值運算，也適合用在各種科學目視表示（Scientificvisualization）。

本節將介紹MATLAB基本xy平面及xyz空間的各項繪圖命令，包含一維曲線及二維曲面的繪製、列印及存檔。

plot是繪製一維曲線的基本函式，但在使用此函式之前，我們需先定義曲線上每一點的x 及y座標。

下例可畫出一條正弦曲線：

close all;

x=linspace(0, 2*pi, 100); % 100個點的x座標

y=sin(x); % 對應的y座標

plot(x,y);

小整理：MATLAB基本繪圖函式

plot: x軸和y軸均為線性刻度（Linear scale）

loglog: x軸和y軸均為對數刻度（Logarithmic scale）

semilogx: x軸為對數刻度，y軸為線性刻度

semilogy: x軸為線性刻度，y軸為對數刻度

若要畫出多條曲線，只需將座標對依次放入plot函式即可：

plot(x, sin(x), x, cos(x));

若要改變顏色，在座標對後面加上相關字串即可：

plot(x, sin(x), 'c', x, cos(x), 'g');

若要同時改變顏色及圖線型態（Line style），也是在座標對後面加上相關字串即可：

plot(x, sin(x), 'co', x, cos(x), 'g*');

小整理：plot繪圖函式的叄數字元顏色字元圖線型態y 黃色. 點k 黑色o 圓w 白色x xb 藍色+ +g 綠色* *r 紅色- 實線c 亮青色: 點線m 錳紫色-. 點虛線-- 虛線

圖形完成後，我們可用axis([xmin,xmax,ymin,ymax])函式來調整圖軸的範圍：

axis([0, 6, -1.2, 1.2]);

此外，MATLAB也可對圖形加上各種註解與處理：

xlabel('Input Value'); % x軸註解

ylabel('Function Value'); % y軸註解

title('Two Trigonometric Functions'); % 圖形標題

legend('y = sin(x)','y = cos(x)'); % 圖形註解

grid on; % 顯示格線

我們可用subplot來同時畫出數個小圖形於同一個視窗之中：

subplot(2,2,1); plot(x, sin(x));

subplot(2,2,2); plot(x, cos(x));

subplot(2,2,3); plot(x, sinh(x));

subplot(2,2,4); plot(x, cosh(x));

MATLAB還有其他各種二維繪圖函式，以適合不同的應用，詳見下表。

小整理：其他各種二維繪圖函式

bar 長條圖

errorbar 圖形加上誤差範圍

fplot 較精確的函式圖形

polar 極座標圖

hist 累計圖

rose 極座標累計圖

stairs 階梯圖

stem 針狀圖

fill 實心圖

feather 羽毛圖

compass 羅盤圖

quiver 向量場圖

以下我們針對每個函式舉例。

當資料點數量不多時，長條圖是很適合的表示方式：

close all; % 關閉所有的圖形視窗

x=1:10;

y=rand(size(x));

bar(x,y);

如果已知資料的誤差量，就可用errorbar來表示。下例以單位標準差來做資的誤差量：

x = linspace(0,2*pi,30);

y = sin(x);

e = std(y)*ones(size(x));

errorbar(x,y,e)

對於變化劇烈的函式，可用fplot來進行較精確的繪圖，會對劇烈變化處進行較密集的取樣，如下例：

fplot('sin(1/x)', [0.02 0.2]); % [0.02 0.2]是繪圖範圍

若要產生極座標圖形，可用polar：

theta=linspace(0, 2*pi);

r=cos(4*theta);

polar(theta, r);

對於大量的資料，我們可用hist來顯示資料的分　情況和統計特性。下面幾個命令可用來驗證randn產生的高斯亂數分　：

x=randn(5000, 1); % 產生5000個 m=0，s=1 的高斯亂數

hist(x,20); % 20代表長條的個數

rose和hist很接近，只不過是將資料大小視為角度，資料個數視為距離，並用極座標繪製

表示：

x=randn(1000, 1);

rose(x);

stairs可畫出階梯圖：

x=linspace(0,10,50);

y=sin(x).*exp(-x/3);

stairs(x,y);

stems可產生針狀圖，常被用來繪製數位訊號：

x=linspace(0,10,50);

y=sin(x).*exp(-x/3);

stem(x,y);

stairs將資料點視為多邊行頂點，並將此多邊行塗上顏色：

x=linspace(0,10,50);

y=sin(x).*exp(-x/3);

fill(x,y,'b'); % 'b'為藍色

feather將每一個資料點視複數，並以箭號畫出：

theta=linspace(0, 2*pi, 20);

z = cos(theta)+i*sin(theta);

feather(z);

compass和feather很接近，只是每個箭號的起點都在圓點：

theta=linspace(0, 2*pi, 20);

z = cos(theta)+i*sin(theta);

compass(z);

4．基本XYZ立體繪圖命令

在科學目視表示（Scientific visualization）中，三度空間的立體圖是一個非常重要的技巧。本章將介紹MATLAB基本XYZ三度空間的各項繪圖命令。

mesh和plot是三度空間立體繪圖的基本命令，mesh可畫出立體網狀圖，plot則可畫出立體曲面圖，兩者產生的圖形都會依高度而有不同顏色。

下列命令可畫出由函式<圖片>形成的立體網狀圖:

x=linspace(-2, 2, 25); % 在x軸上取25點

y=linspace(-2, 2, 25); % 在y軸上取25點

[xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是21x21的矩陣

zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 計算函式值，zz也是21x21的矩陣

mesh(xx, yy, zz); % 畫出立體網狀圖

surf和mesh的用法類似：

x=linspace(-2, 2, 25); % 在x軸上取25點

y=linspace(-2, 2, 25); % 在y軸上取25點

[xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是21x21的矩陣

zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 計算函式值，zz也是21x21的矩陣

surf(xx, yy, zz); % 畫出立體曲面圖

為了方便測試立體繪圖，MATLAB提供了一個peaks函式，可產生一個凹凸有致的曲面，包含了三個區域性極大點及三個區域性極小點

要畫出此函式的最快方法即是直接鍵入peaks：

peaks

z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)

我們亦可對peaks函式取點，再以各種不同方法進行繪圖。

meshz可將曲面加上圍裙：

[x,y,z]=peaks;

meshz(x,y,z);