λ演算簡介

定義：Expression -> Constant | Variable | Expression Expression | λ Variable. Expression

α替換：λx.λy.x + y ≡ λa.λy.a + y （不出現命名衝突的情況下的重新命名）

β化簡：(λx.M) N -> [x / N] M （應用時“實參”到“形參”的替換過程）

η化簡：(λx.M) x -> M （似乎只是文字意義上的一種簡化）

---

⊥(Bottom)

⊥用於表示計算沒有結果（沒有β-nf）的表示式的語義，下面用Haskell中的unedfined作為一個⊥的例項。

每一個ADT都有一個額外的值：“⊥”，但newtype型別不會追加“⊥”

例：

有型別定義：

newtype N = N Int
data D = D Int

函式定義：

n (N i) = 42
d (D i) = 42

有如下應用：

n undefined
d undefined

結果為

42
undefined

可以認為newtype定義的型別（N）和它的第一個值構造子所容納的型別（Int）的是同構的，newtype不追加“⊥”的原因也是為了這種同構，但是一個接受N型別的函式也可能有“⊥”作為輸入，這時參考根據上面同構的想法，可以很自然的理解newtype會把“⊥”“轉嫁”給自己包裹的型別，於是undefined被“轉嫁”給i，而i不必被求值，於是第一個函式返回42。 （對newtype的解釋主要來自這裡）

而d因為模式匹配要對傳入引數進行計算，即使i的值無所謂，但還是要計算D值構造子，於是會對undefined進行計算，結果就undefined了。

當函式引數為⊥時，如果函式結果為⊥（⊥在語法上是有型別的，但在語義上我們不區分），稱函式嚴格，否則非嚴格。E.g. n是非嚴格的，d是嚴格的。

d (D undefined) --undefined為Int型別的一個值，故函式返回42（沒有對D值構造子計算內容）。
d' (D !i) = 42 --如果想要求值構造子的引數，型別前加“！”。

seq 以及 $!

seq : : a -> b -> b --會直接返回第二個引數，但會對第一個引數嚴格計算。
($!) :: (a -> b) -> a -> b --同($)但會嚴格計算第二個引數。  

---

表示式形態和thunk

WHNF：

形如F M1 M2 M3 的表示式

1. F為常量（值，內建函式，值構造子）

2. F為λ表示式，但後跟M1到Mn不能使其完全應用而導致不能化簡。

   • 表示式可以寫成樹狀結構，此處的F為頂層，由於它引數不夠，內部子樹不必計算。
   • 總結為表示式樹的頂層無法化簡時，表示式為WHNF。

HNF：為WHNF真子集

形如λx1.λx2. ... λxn.(v M1 M2 ... Mm)

1. (v M1 M2 ... Mm) ：同WHNF1.
2. 當λ部分退化時，即為(v M1 M2 ... Mm).
3. 否則， 要求完全β化簡，即不允許WHNF中的外圍（F後的）M1到Mn，並且F的引數巢狀層同樣要求如此
   
   • λx.(λy.y + x) 3 ：此處（λy.y + x) 3可以繼續化簡。不為HNF。
   • λx.x ((λy.y) 5) ：此處處於λ的內部表示式(v M1 M2 ... Mm)，不作要求，為HNF。

NF：為HNF的真子集

• 表示式的任意部分都完全化簡。
• 相對於上面兩個，主要是(v M1 ... Mn)部分，NF要求Mx本身是最簡的。

沒搞清的地方

內建函式何時求值？

• 以上三者都是定義在lambda操作上的化簡，內建函式何時求值？ 作者說seq會將表示式求值到HNF，(+) 1 1 應為HNF（甚至NF），但是seq會將其求值為2。