函數語言程式設計入門教程

你可能聽說過函數語言程式設計（Functional programming），甚至已經使用了一段時間。

但是，你能說清楚，它到底是什麼嗎？

網上搜尋一下，你會輕鬆找到好多答案。

• 與物件導向程式設計（Object-oriented programming）和程式式程式設計（Procedural programming）並列的程式設計正規化。
• 最主要的特徵是，函式是第一等公民。
• 強調將計算過程分解成可複用的函式，典型例子就是map方法和reduce方法組合而成 MapReduce 演算法。
• 只有純的、沒有副作用的函式，才是合格的函式。

上面這些說法都對，但還不夠，都沒有回答下面這個更深層的問題。

為什麼要這樣做？

這就是，本文要解答的問題。我會通過最簡單的語言，幫你理解函數語言程式設計，並且學會它那些基本寫法。

需要宣告的是，我不是專家，而是一個初學者，最近兩年才真正開始學習函數語言程式設計。一直苦於看不懂各種資料，立志要寫一篇清晰易懂的教程。下面的內容肯定不夠嚴密，甚至可能包含錯誤，但是我發現，像下面這樣解釋，初學者最容易懂。

另外，本文比較長，閱讀時請保持耐心。結尾還有 Udacity 的《前端工程師認證課程》的推廣，非常感謝他們對本文的贊助。

一、範疇論

函數語言程式設計的起源，是一門叫做範疇論（Category Theory）的數學分支。

理解函數語言程式設計的關鍵，就是理解範疇論。它是一門很複雜的數學，認為世界上所有的概念體系，都可以抽象成一個個的"範疇"（category）。

1.1 範疇的概念

什麼是範疇呢？

維基百科的一句話定義如下。

"範疇就是使用箭頭連線的物體。"（In mathematics, a category is an algebraic structure that comprises "objects" that are linked by "arrows". ）

也就是說，彼此之間存在某種關係的概念、事物、物件等等，都構成"範疇"。隨便什麼東西，只要能找出它們之間的關係，就能定義一個"範疇"。

上圖中，各個點與它們之間的箭頭，就構成一個範疇。

箭頭表示範疇成員之間的關係，正式的名稱叫做"態射"（morphism）。範疇論認為，同一個範疇的所有成員，就是不同狀態的"變形"（transformation）。通過"態射"，一個成員可以變形成另一個成員。

1.2 數學模型

既然"範疇"是滿足某種變形關係的所有物件，就可以總結出它的數學模型。

• 所有成員是一個集合
• 變形關係是函式

也就是說，範疇論是集合論更上層的抽象，簡單的理解就是"集合 + 函式"。

理論上通過函式，就可以從範疇的一個成員，算出其他所有成員。

1.3 範疇與容器

我們可以把"範疇"想象成是一個容器，裡面包含兩樣東西。

• 值（value）
• 值的變形關係，也就是函式。

下面我們使用程式碼，定義一個簡單的範疇。

class Category {
  constructor(val) { 
    this.val = val; 
  }

  addOne(x) {
    return x + 1;
  }
}

上面程式碼中，Category是一個類，也是一個容器，裡面包含一個值（this.val）和一種變形關係（addOne）。你可能已經看出來了，這裡的範疇，就是所有彼此之間相差1的數字。

注意，本文後面的部分，凡是提到"容器"的地方，全部都是指"範疇"。

1.4 範疇論與函數語言程式設計的關係

範疇論使用函式，表達範疇之間的關係。

伴隨著範疇論的發展，就發展出一整套函式的運算方法。這套方法起初只用於數學運算，後來有人將它在計算機上實現了，就變成了今天的"函數語言程式設計"。

本質上，函數語言程式設計只是範疇論的運算方法，跟數理邏輯、微積分、行列式是同一類東西，都是數學方法，只是碰巧它能用來寫程式。

所以，你明白了嗎，為什麼函數語言程式設計要求函式必須是純的，不能有副作用？因為它是一種數學運算，原始目的就是求值，不做其他事情，否則就無法滿足函式運演算法則了。

總之，在函數語言程式設計中，函式就是一個管道（pipe）。這頭進去一個值，那頭就會出來一個新的值，沒有其他作用。

二、函式的合成與柯里化

函數語言程式設計有兩個最基本的運算：合成和柯里化。

2.1 函式的合成

如果一個值要經過多個函式，才能變成另外一個值，就可以把所有中間步驟合併成一個函式，這叫做"函式的合成"（compose）。

上圖中，X和Y之間的變形關係是函式f，Y和Z之間的變形關係是函式g，那麼X和Z之間的關係，就是g和f的合成函式g·f。

下面就是程式碼實現了，我使用的是 JavaScript 語言。注意，本文所有示例程式碼都是簡化過的，完整的 Demo 請看《參考連結》部分。

合成兩個函式的簡單程式碼如下。

const compose = function (f, g) {
  return function (x) {
    return f(g(x));
  };
}

函式的合成還必須滿足結合律。

compose(f, compose(g, h))
// 等同於
compose(compose(f, g), h)
// 等同於
compose(f, g, h)

合成也是函式必須是純的一個原因。因為一個不純的函式，怎麼跟其他函式合成？怎麼保證各種合成以後，它會達到預期的行為？

前面說過，函式就像資料的管道（pipe）。那麼，函式合成就是將這些管道連了起來，讓資料一口氣從多個管道中穿過。

2.2 柯里化

f(x)和g(x)合成為f(g(x))，有一個隱藏的前提，就是f和g都只能接受一個引數。如果可以接受多個引數，比如f(x, y)和g(a, b, c)，函式合成就非常麻煩。

這時就需要函式柯里化了。所謂"柯里化"，就是把一個多引數的函式，轉化為單引數函式。

// 柯里化之前
function add(x, y) {
  return x + y;
}

add(1, 2) // 3

// 柯里化之後
function addX(y) {
  return function (x) {
    return x + y;
  };
}

addX(2)(1) // 3

有了柯里化以後，我們就能做到，所有函式只接受一個引數。後文的內容除非另有說明，都預設函式只有一個引數，就是所要處理的那個值。

三、函子

函式不僅可以用於同一個範疇之中值的轉換，還可以用於將一個範疇轉成另一個範疇。這就涉及到了函子（Functor）。

3.1 函子的概念

函子是函數語言程式設計裡面最重要的資料型別，也是基本的運算單位和功能單位。

它首先是一種範疇，也就是說，是一個容器，包含了值和變形關係。比較特殊的是，它的變形關係可以依次作用於每一個值，將當前容器變形成另一個容器。

上圖中，左側的圓圈就是一個函子，表示人名的範疇。外部傳入函式f，會轉成右邊表示早餐的範疇。

下面是一張更一般的圖。

上圖中，函式f完成值的轉換（a到b），將它傳入函子，就可以實現範疇的轉換（Fa到Fb）。

3.2 函子的程式碼實現

任何具有map方法的資料結構，都可以當作函子的實現。

class Functor {
  constructor(val) { 
    this.val = val; 
  }

  map(f) {
    return new Functor(f(this.val));
  }
}

上面程式碼中，Functor是一個函子，它的map方法接受函式f作為引數，然後返回一個新的函子，裡面包含的值是被f處理過的（f(this.val)）。

一般約定，函子的標誌就是容器具有map方法。該方法將容器裡面的每一個值，對映到另一個容器。

下面是一些用法的示例。

(new Functor(2)).map(function (two) {
  return two + 2;
});
// Functor(4)

(new Functor('flamethrowers')).map(function(s) {
  return s.toUpperCase();
});
// Functor('FLAMETHROWERS')

(new Functor('bombs')).map(_.concat(' away')).map(_.prop('length'));
// Functor(10)

上面的例子說明，函數語言程式設計裡面的運算，都是通過函子完成，即運算不直接針對值，而是針對這個值的容器----函子。函子本身具有對外介面（map方法），各種函式就是運算子，通過介面接入容器，引發容器裡面的值的變形。

因此，學習函數語言程式設計，實際上就是學習函子的各種運算。由於可以把運算方法封裝在函子裡面，所以又衍生出各種不同型別的函子，有多少種運算，就有多少種函子。函數語言程式設計就變成了運用不同的函子，解決實際問題。

四、of 方法

你可能注意到了，上面生成新的函子的時候，用了new命令。這實在太不像函數語言程式設計了，因為new命令是物件導向程式設計的標誌。

函數語言程式設計一般約定，函子有一個of方法，用來生成新的容器。

下面就用of方法替換掉new。

Functor.of = function(val) {
  return new Functor(val);
};

然後，前面的例子就可以改成下面這樣。

Functor.of(2).map(function (two) {
  return two + 2;
});
// Functor(4)

這就更像函數語言程式設計了。

五、Maybe 函子

函子接受各種函式，處理容器內部的值。這裡就有一個問題，容器內部的值可能是一個空值（比如null），而外部函式未必有處理空值的機制，如果傳入空值，很可能就會出錯。

Functor.of(null).map(function (s) {
  return s.toUpperCase();
});
// TypeError

上面程式碼中，函子裡面的值是null，結果小寫變成大寫的時候就出錯了。

Maybe 函子就是為了解決這一類問題而設計的。簡單說，它的map方法裡面設定了空值檢查。

class Maybe extends Functor {
  map(f) {
    return this.val ? Maybe.of(f(this.val)) : Maybe.of(null);
  }
}

有了 Maybe 函子，處理空值就不會出錯了。

Maybe.of(null).map(function (s) {
  return s.toUpperCase();
});
// Maybe(null)

六、Either 函子

條件運算if...else是最常見的運算之一，函數語言程式設計裡面，使用 Either 函子表達。

Either 函子內部有兩個值：左值（Left）和右值（Right）。右值是正常情況下使用的值，左值是右值不存在時使用的預設值。

class Either extends Functor {
  constructor(left, right) {
    this.left = left;
    this.right = right;
  }

  map(f) {
    return this.right ? 
      Either.of(this.left, f(this.right)) :
      Either.of(f(this.left), this.right);
  }
}

Either.of = function (left, right) {
  return new Either(left, right);
};

下面是用法。

var addOne = function (x) {
  return x + 1;
};

Either.of(5, 6).map(addOne);
// Either(5, 7);

Either.of(1, null).map(addOne);
// Either(2, null);

上面程式碼中，如果右值有值，就使用右值，否則使用左值。通過這種方式，Either 函子表達了條件運算。

Either 函子的常見用途是提供預設值。下面是一個例子。

Either
.of({address: 'xxx'}, currentUser.address)
.map(updateField);

上面程式碼中，如果使用者沒有提供地址，Either 函子就會使用左值的預設地址。

Either 函子的另一個用途是代替try...catch，使用左值表示錯誤。

function parseJSON(json) {
  try {
    return Either.of(null, JSON.parse(json));
  } catch (e: Error) {
    return Either.of(e, null);
  }
}

上面程式碼中，左值為空，就表示沒有出錯，否則左值會包含一個錯誤物件e。一般來說，所有可能出錯的運算，都可以返回一個 Either 函子。

七、ap 函子

函子裡面包含的值，完全可能是函式。我們可以想象這樣一種情況，一個函子的值是數值，另一個函子的值是函式。

function addTwo(x) {
  return x + 2;
}

const A = Functor.of(2);
const B = Functor.of(addTwo)

上面程式碼中，函子A內部的值是2，函子B內部的值是函式addTwo。

有時，我們想讓函子B內部的函式，可以使用函子A內部的值進行運算。這時就需要用到 ap 函子。

ap 是 applicative（應用）的縮寫。凡是部署了ap方法的函子，就是 ap 函子。

class Ap extends Functor {
  ap(F) {
    return Ap.of(this.val(F.val));
  }
}

注意，ap方法的引數不是函式，而是另一個函子。

因此，前面例子可以寫成下面的形式。

Ap.of(addTwo).ap(Functor.of(2))
// Ap(4)

ap 函子的意義在於，對於那些多引數的函式，就可以從多個容器之中取值，實現函子的鏈式操作。

function add(x) {
  return function (y) {
    return x + y;
  };
}

Ap.of(add).ap(Maybe.of(2)).ap(Maybe.of(3));
// Ap(5)

上面程式碼中，函式add是柯里化以後的形式，一共需要兩個引數。通過 ap 函子，我們就可以實現從兩個容器之中取值。它還有另外一種寫法。

Ap.of(add(2)).ap(Maybe.of(3));

八、Monad 函子

函子是一個容器，可以包含任何值。函子之中再包含一個函子，也是完全合法的。但是，這樣就會出現多層巢狀的函子。

Maybe.of(
  Maybe.of(
    Maybe.of({name: 'Mulburry', number: 8402})
  )
)

上面這個函子，一共有三個Maybe巢狀。如果要取出內部的值，就要連續取三次this.val。這當然很不方便，因此就出現了 Monad 函子。

Monad 函子的作用是，總是返回一個單層的函子。它有一個flatMap方法，與map方法作用相同，唯一的區別是如果生成了一個巢狀函子，它會取出後者內部的值，保證返回的永遠是一個單層的容器，不會出現巢狀的情況。

class Monad extends Functor {
  join() {
    return this.val;
  }
  flatMap(f) {
    return this.map(f).join();
  }
}

上面程式碼中，如果函式f返回的是一個函子，那麼this.map(f)就會生成一個巢狀的函子。所以，join方法保證了flatMap方法總是返回一個單層的函子。這意味著巢狀的函子會被鋪平（flatten）。

九、IO 操作

Monad 函子的重要應用，就是實現 I/O （輸入輸出）操作。

I/O 是不純的操作，普通的函數語言程式設計沒法做，這時就需要把 IO 操作寫成Monad函子，通過它來完成。

var fs = require('fs');

var readFile = function(filename) {
  return new IO(function() {
    return fs.readFileSync(filename, 'utf-8');
  });
};

var print = function(x) {
  return new IO(function() {
    console.log(x);
    return x;
  });
}

上面程式碼中，讀取檔案和列印本身都是不純的操作，但是readFile和print卻是純函式，因為它們總是返回 IO 函子。

如果 IO 函子是一個Monad，具有flatMap方法，那麼我們就可以像下面這樣呼叫這兩個函式。

readFile('./user.txt')
.flatMap(print)

這就是神奇的地方，上面的程式碼完成了不純的操作，但是因為flatMap返回的還是一個 IO 函子，所以這個表示式是純的。我們通過一個純的表示式，完成帶有副作用的操作，這就是 Monad 的作用。

由於返回還是 IO 函子，所以可以實現鏈式操作。因此，在大多數庫裡面，flatMap方法被改名成chain。

var tail = function(x) {
  return new IO(function() {
    return x[x.length - 1];
  });
}

readFile('./user.txt')
.flatMap(tail)
.flatMap(print)

// 等同於
readFile('./user.txt')
.chain(tail)
.chain(print)

上面程式碼讀取了檔案user.txt，然後選取最後一行輸出。

十、參考連結

• JS 函數語言程式設計指南
• Taking Things Out of Context: Functors in JavaScript
• Functor.js
• Maybe, Either & Try Functors in ES6
• Why Category Theory Matters

（正文完）

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（完）