詳解基於圖卷積的半監督學習（附程式碼）

和之前討論的求和規則和平均規則相比，譜傳播規則的不同之處在於聚合函式。它使用提升到負冪的度矩陣D對聚合進行歸一化這一點與平均規則類似，但是它的歸一化是不對稱的。讓我們一起來看看。

Aggregation as a weighted sum

我們可以理解，前面提到的聚合函式是加權和，其中每個聚合規則選擇不同的權重。在講解spectral rule之前，先看看平均規則的過程。

The Sum Rule

使用求和規則計算第i個節點的聚合特徵，計算過程如下：

如方程式1a所示，第i個節點的聚合特徵表示為向量矩陣乘積，我們可以將這個矩陣乘積表示為一個簡單的加權和，如方程1b所示，對X中的每一行求和。

1b中，第j個節點在聚合中的權重由A的第i行、第j列的值確定。由於A是鄰接矩陣，當節點j與節點i為鄰居時，該值為1，否則為0。因此，1b簡化為對第i個節點的鄰居節點的特徵表示求和。

總的來說，每個鄰居的貢獻取決於鄰接矩陣定義的鄰域。

The Mean Rule

要了解平均規則如何聚合節點表示，我們還是看如何計算第i行，現在使用平均規則。為了簡單起見，我們只考慮“原始”鄰接矩陣上的平均規則，而不考慮A和矩陣I之間的加法，這僅僅對應於向圖中新增自迴圈。

看上面的公式，求導過程明顯更長了。在方程2a中，我們首先轉換鄰接矩陣A，把它乘上D（度矩陣）的逆矩陣。在2b中有更加明確的計算。D-1是一個對角矩陣，沿對角線的值是節點的反度（inverse degree），也就是說位置（i,i）的值是節點i的反度（inverse degree）。因此，我們可以移除其中一個求和符號，得到方程2c。2c可以進一步變形得到2d和2e。

如方程2e所示，我們再次鄰接矩陣中的每一行求和。在求和過程中提到的，這相當於對每個節點的鄰居求和。不同的是，我們要保證2e中的加權和的權重於第i個節點的度相加等於1。因此，2e對應第i個節點的鄰居特徵表示的平均值。

The Spectral Rule

那麼現在我們來看看Spectral 規則。

平均規則中，我們使用度矩陣D轉換鄰接矩陣A。上圖中的3a所示，我們將D的冪提高到-0.5，然後乘上矩陣A的每一邊。該操作如3b所示，D是對角矩陣，因此我們可以進一步簡化方程3b，得到3d。

方程3e很有趣，當我們計算第i個節點的聚合特徵表示時，我們不僅要考慮節點i的度，還要考慮節點j的度。

類似平均規則，Spectral 規則對聚合結果進行歸一化，使得聚合特徵表示與輸入特徵大致保持相同的比例。不同的是，如果鄰居的度低，則加權和中的權重高，如果鄰居的度高，則加權和中的權重低。當低度鄰居提供比高度鄰居更有用的資訊時，這種處理便起作用了。

用GCN進行半監督分類

除了Spectral 規則，Kipf和Welling還演示了GCNs用來進行半監督分類。在半監督學習中，我們希望既有標記樣本，也有未標記樣本。也就是說，我們知道所有的節點，但是不知道所有節點的標籤。

在上述的規則中，我們聚合節點鄰域，因此共享鄰居的節點往往具有相似的特徵表示。如果圖具有同質性，這屬性將很有用，即有連線的節點往往相似（即有相同的標籤）。同質性在很多真實的網路中都存在，特別是社交網路。

即使是隨機初始化的GCN，僅僅通過使用圖結構，也可以很好地分離同質圖中節點的特徵表示。我們可以在標記節點上訓練GCN，通過更新所有節點共享的權重矩陣，有效的將節點標籤資訊傳播給為標記的節點，從而進一步推進上述步驟。具體如下：

1、通過GCN執行前向傳播；

2、在GCN最後一層逐行應用sigmoid函式；

3、計算已知節點標籤上的交叉熵損失；

4、反向傳播損失並更新每層中的權重矩陣W。

空手道俱樂部的社交網路預測

空手道俱樂部

Zachary空手道俱樂部是一個小型的社交網路，在這裡，俱樂部管理員和教練之間會發生衝突。任務是預測，當衝突發生時，俱樂部成員會站在哪一邊。俱樂部社交網路圖表示如下：

每個節點表示俱樂部的每個成員，成員之間的連線表示他們在俱樂部外進行的互動。管理員用是節點A，教練是節點I。

Spectral Graph Convolutions in MXNet

我使用MXNet實現Spectral 規則，MXNet是一個容易實現的高效的深度學習框架，具體如下：

class SpectralRule(HybridBlock):    
    def __init__(self,                 
                 A, in_units, out_units,                 
                 activation, **kwargs):        
       super().__init__(**kwargs)        
       I = nd.eye(*A.shape)        
       A_hat = A.copy() + I        
       D = nd.sum(A_hat, axis=0)        
       D_inv = D**-0.5        
       D_inv = nd.diag(D_inv)        
       A_hat = D_inv * A_hat * D_inv                
       self.in_units, self.out_units = in_units, out_units                
       with self.name_scope():            
           self.A_hat = self.params.get_constant('A_hat', A_hat)            
           self.W = self.params.get(                
               'W', shape=(self.in_units, self.out_units)            
           )            
           if activation == 'ident':                
               self.activation = lambda X: X            
           else:                
               self.activation = Activation(activation)    
   def hybrid_forward(self, F, X, A_hat, W):        
       aggregate = F.dot(A_hat, X)        
       propagate = self.activation(            
           F.dot(aggregate, W))        
       return propagate

建立GCN

根據上面的程式碼，可以實現Spectral 規則，我們將這些層疊在一起。使用一個兩層架構，其中第一個隱藏層有4個單元，第二個隱藏層有兩個單元。這種架構可以輕鬆地顯示最終的二維嵌入。有三個值得注意的地方：

1、我們使用的是Spectral 規則；

2、啟用函式：第一層使用tanh 啟用函式，不然的話，死亡神經元的概率很高；第二層使用identity 啟用函式，因為最後一層我們要分類節點。

最後，我們在GCN頂部加上邏輯迴歸層進行節點分類。上述體系結構的python實現如下：

def build_model(A, X):    
    model = HybridSequential()    
    with model.name_scope():        
        features = build_features(A, X)        
        model.add(features)        
        classifier = LogisticRegressor()        
        model.add(classifier)        
        model.initialize(Uniform(1))    
    return model, features

訓練GCN

程式碼如下：

def train(model, features, X, X_train, y_train, epochs):    
    cross_entropy = SigmoidBinaryCrossEntropyLoss(from_sigmoid=True)    
    trainer = Trainer(        
        model.collect_params(), 'sgd',        
        {'learning_rate': 0.001, 'momentum': 1})    
    feature_representations = [features(X).asnumpy()]    
    for e in range(1, epochs + 1):        
        for i, x in enumerate(X_train):            
            y = array(y_train)[i]            
            with autograd.record():                
                pred = model(X)[x] # Get prediction for sample x                
                loss = cross_entropy(pred, y)            
            loss.backward()            
            trainer.step(1)        
       feature_representations.append(features(X).asnumpy())    
    return feature_representations

值得注意的是，圖中節點只有管理員和教練才打了標籤，其餘的節點沒有。GCN可以找到標記的節點和沒有標記的節點表示，並在訓練中利用這兩種資訊來進行半監督學習。具體地，在半監督學習中，GCN通過聚合節點的標籤和節點未標記的鄰居來產生節點的特徵表示。訓練過程中，我們反向傳播二進位制交叉熵損失，以更新所有節點之間的共享權重。而這種損失取決於標記節點的特徵表示，而該特徵表示又取決於有標籤的節點和未標記的節點。

視覺化特徵

正如上面所說，每個時間的特徵表示被儲存，我們可以看到特徵表示在訓練期間如何變化。我考慮了兩種輸入特徵表示。

表示一

在第一種表示中，我們簡單地使用稀疏34 x 34單位矩陣I，作為特徵矩陣X，即one-hot encoding圖中的每個節點。這樣表示的好處是，可以適用於任何圖，但網路中的每個節點都需要輸入引數，這需要大量記憶體和計算能力來訓練，並且可能過擬合。幸好空手道俱樂部的網路很小。

表示1中出現的分類錯誤

通過對網路中的所有節點進行集體分類，我們得到了網路中錯誤的分佈情況，如上所示。這裡，黑色表示錯誤分類。儘管將近一半( 41 % )的節點被錯誤分類，但與管理員或教練(但不是兩者)密切相關的節點傾向於正確分類。

使用表示1，訓練過程中特徵表示的變化

上面我已經說明訓練過程中特徵表示是如何變化的。最初，節點是密集的聚集在一起，隨著訓練，教練和管理員被拉開，同時它們拖動一些節點。

雖然教練和管理員的表示不同，但是它們拖動的節點並不一定完全屬於它們的社群。

這是因為圖卷積嵌入了在特徵空間中共享鄰居的節點，但是共享鄰居的兩個節點可能並不等同的連線到管理員和教練。特別是，使用對角矩陣作為特徵矩陣導致每個節點高度區域性的表示，也就是說在圖中相同區域的節點可能緊密嵌入在一起。這使得網路很難以歸納的方式在全域性上共享知識。

表示二

我們將改進表示1，改進的方法是增加兩個特徵，這兩個特徵不具體到任何一個節點或者網路中的區域，是衡量教練和管理員的連通性。為此，我們計算了網路中每個節點到管理員和教練的最短路徑，並將這兩個特徵連線到前面的表示中。

表示2中出現的分類錯誤

如前面所述，我們對網路中的所有節點進行了總體分類，並繪製了上圖。表示2只有4個節點被錯誤分類，與表示1相比有了很大的提高。仔細檢查特徵矩陣後，原因可能是因為這些節點在最短路徑上的距離更靠近教練，但它實際上屬於管理員社群。

表示2訓練過程中特徵表示的變化

如上所示，節點最初是緊密的聚集在一起，但是在訓練開始之前，它在某種程度上已經分成了兩個社群，隨著訓練過程，社群之間的距離增大。

參考連結

原文連結：

https://towardsdatascience.com/how-to-do-deep-learning-on-graphs-with-graph-convolutional-networks-62acf5b143d0

資料連結：

https://github.com/TobiasSkovgaardJepsen/posts/tree/master/HowToDoDeepLearningOnGraphsWithGraphConvolutionalNetworks/Part2_SemiSupervisedLearningWithSpectralGraphConvolutions