title: RMQ_第一彈_Sparse Table
date: 2018-09-21 21:33:45
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概述

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)

從英文便可以看出這個演算法的主要是詢問一個區間內的最值問題，，，

暑假集訓的時候學習了 線段樹 ，，，

也可以對給定陣列查詢任意區間的最值問題，，，，

這兩個主要的區別就是 線段樹 可以進行單點的修改操作，，，而 Sparse Table 演算法不能進行點修改，，

或者說這樣修改一次重預處理一次不划算，，，

所以說，，要是題目只是單純的多次查詢任意區間的最值，，，Sparse Table 首選，，畢竟，，畢竟寫起來比線段樹簡單得多了，，，

預處理

演算法原理

基本思想是dp,,,,

dp的狀態 : 對於陣列 a[1−n]a[1−n] , F[i,j]F[i,j]表示從第 ii 個位置開始 ， 長度 為2j2j 個數這個區間中的最值，，，;

dp的初始值 : F[i,0]=a[i]F[i,0]=a[i];

狀態轉移方程 : F[i,j]=max(F[i,j−1],F[i+2j−1,j−1])F[i,j]=max(F[i,j−1],F[i+2j−1,j−1]);

思想 : F[i,j]F[i,j] 就是不斷取他的左右這兩段的最值，，這兩段的長度相等，都為 2j−12j−1 個元素，，

實現

const int maxn = 5e4 + 10;
int n , q;
int a[maxn];
int mx[maxn][20];
int mi[maxn][20];
void rmq()
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        mx[i][0] = mi[i][0] = a[i];

    for (int j = 1; (1 << j) <= n; ++j)
    {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
        {
            mx[i][j] = max(mx[i][j - 1] , mx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            mi[i][j] = min(mi[i][j - 1] , mi[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}

這裡我們需要注意的是迴圈的順序，我們發現外層是j，內層所i，這是為什麼呢？可以是i在外，j在內嗎？
答案是不可以。因為我們需要理解這個狀態轉移方程的意義。

狀態轉移方程的含義是：先更新所有長度為F[i,0]即1個元素，然後通過2個1個元素的最值，獲得所有長度為F[i,1]即2個元素的最值，然後再通過2個2個元素的最值，獲得所有長度為F[i,2]即4個元素的最值，以此類推更新所有長度的最值。

而如果是i在外，j在內的話，我們更新的順序就是F[1,0],F[1,1],F[1,2],F[1,3],表示更新從1開始1個元素，2個元素，4個元素，8個元素（A[0],A[1],....A[7]）的最值，這裡F[1,3] = max(max(A[0],A[1],A[2],A[3]),max(A[4],A[5],A[6],A[7]))的值，但是我們根本沒有計算max(A[0],A[1],A[2],A[3])和max(A[4],A[5],A[6],A[7])，所以這樣的方法肯定是錯誤的。

本段來自某大佬部落格

---

查詢

思想

假如我們需要查詢的區間為(i,j)，那麼我們需要找到覆蓋這個閉區間(左邊界取i，右邊界取j)的最小冪（可以重複，比如查詢5，6，7，8，9，我們可以查詢5678和6789）。

因為這個區間的長度為 j−i+1j−i+1 ,所以我們可以取 k=log2(j−i+1)k=log2(j−i+1) ，則有：RMQ(A,i,j)=max(F[i,k],F[j−2k+1,k])RMQ(A,i,j)=max(F[i,k],F[j−2k+1,k])。

舉例說明，要求區間[2，8]的最大值，k=log2（8−2+1）=2k=log2（8−2+1）=2，即求 max(F[2,2]，F[8−22+1,2])=max(F[2,2]，F[5,2])max(F[2,2]，F[8−22+1,2])=max(F[2,2]，F[5,2])；

實現

int ans(int l , int r)
{
    int k = 0;
    int len = r - l + 1;
    while ((1 << (k + 1)) <= len)
        ++k;

    return max (mx[l][k] , mx[r - (1 << k) + 1][k]) - min (mi[l][k] , mi[r - (1 << k) + 1][k]);
}

實戰

題目連結

題目大意: 給定的數列a[1 - n] , 求出[l , r]這個區間內的極差 ， 即最大值與最小值的差

直接套板子，，，，

ac程式碼:

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 5e4 + 10;
int n , q;
int a[maxn];
int mx[maxn][20];
int mi[maxn][20];
void rmq()
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        mx[i][0] = mi[i][0] = a[i];

    for (int j = 1; (1 << j) <= n; ++j)
    {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
        {
            mx[i][j] = max(mx[i][j - 1] , mx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            mi[i][j] = min(mi[i][j - 1] , mi[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}
int ans(int l , int r)
{
    int k = 0;
    int len = r - l + 1;
    while ((1 << (k + 1)) <= len)
        ++k;

    return max (mx[l][k] , mx[r - (1 << k) + 1][k]) - min (mi[l][k] , mi[r - (1 << k) + 1][k]);
}
using namespace std;
int main(){ 
    while (scanf("%d%d" , &n , &q) != EOF)
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%d" , &a[i]);

        rmq();
        
        while (q--)
        {
            int l , r;
            scanf("%d%d" , &l , &r);
            printf("%d\n" , ans(l , r));
        }
    }
    return 0;
}

kuangbin的板子:

一維:

const int MAXN = 50010;
int dp[MAXN][20];
int mm[MAXN];
//初始化 RMQ, b 陣列下標從 1 開始，從 0 開始簡單修改
void initRMQ(int n,int b[])
{
    mm[0] = −1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        mm[i] = ((i&(i−1)) == 0)?mm[i−1]+1:mm[i−1];
        dp[i][0] = b[i];
    }
    for(int j = 1; j <= mm[n]; j++)
        for(int i = 1; i + (1<<j) −1 <= n; i++)
            dp[i][j] = max(dp[i][j−1],dp[i+(1<<(j−1))][j−1]);
}
 //查詢最大值
int rmq(int x,int y)
{
    int k = mm[y−x+1];
    return max(dp[x][k],dp[y−(1<<k)+1][k]);
}

來源：https://www.cnblogs.com/31415926535x/p/9688994.html

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