陣列中的峰值元素對於許多演算法都很重要，可以提供對資料集特徵的寶貴見解。在本教程中，我們將探討峰元素的概念，解釋其重要性並探索在單峰和多峰場景中識別它們的有效方法。
什麼是峰值元素？
陣列中的峰值元素定義為嚴格大於其相鄰元素的元素。如果邊緣元素大於其唯一的相鄰元素，則認為它們處於峰值位置。
在元素相等的情況下，不存在嚴格的峰值。相反，峰值是元素超過其鄰居的第一個例項。
為了更好地理解峰值元素的概念，請看以下示例：
示例1：
List: [1, 2, 20, 3, 1, 0]
Peak Element: 20
這裡，20 是一個峰值，因為它大於其相鄰元素。
示例2：
List: [5, 13, 15, 25, 40, 75, 100]
Peak Element: 100
100 是一個峰值，因為它大於 75 並且其右側沒有元素。
示例3：
List: [9, 30, 13, 2, 23, 104, 67, 12]
Peak Element: 30 or 104, as both are valid peaks
30 和 104 都符合峰值。
查詢單峰元素
當陣列僅包含一個峰值元素時，一種簡單的方法是利用線性搜尋。該演算法掃描陣列元素，將每個元素與其相鄰元素進行比較，直到找到峰值。此方法的時間複雜度為O(n)，其中 n 是陣列的大小。
public class SinglePeakFinder {
public static OptionalInt findSinglePeak(int[] arr) {
int n = arr.length;
if (n < 2) {
return n == 0 ? OptionalInt.empty() : OptionalInt.of(arr[0]);
}
if (arr[0] >= arr[1]) {
return OptionalInt.of(arr[0]);
}
for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
if (arr[i] >= arr[i - 1] && arr[i] >= arr[i + 1]) {
return OptionalInt.of(arr[i]);
}
}
if (arr[n - 1] >= arr[n - 2]) {
return OptionalInt.of(arr[n - 1]);
}
return OptionalInt.empty();
}
}
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該演算法從索引 1 到 n-2 迭代陣列，檢查當前元素是否大於其鄰居。如果找到峰值，則返回包含該峰值的OptionalInt 。此外，該演算法還處理峰值位於陣列極值的邊緣情況。public class SinglePeakFinderUnitTest {
@Test
void findSinglePeak_givenArrayOfIntegers_whenValidInput_thenReturnsCorrectPeak() {
int[] arr = {0, 10, 2, 4, 5, 1};
OptionalInt peak = SinglePeakFinder.findSinglePeak(arr);
assertTrue(peak.isPresent());
assertEquals(10, peak.getAsInt());
}
@Test
void findSinglePeak_givenEmptyArray_thenReturnsEmptyOptional() {
int[] arr = {};
OptionalInt peak = SinglePeakFinder.findSinglePeak(arr);
assertTrue(peak.isEmpty());
}
@Test
void findSinglePeak_givenEqualElementArray_thenReturnsCorrectPeak() {
int[] arr = {-2, -2, -2, -2, -2};
OptionalInt peak = SinglePeakFinder.findSinglePeak(arr);
assertTrue(peak.isPresent());
assertEquals(-2, peak.getAsInt());
}
}
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對於雙調陣列（其特徵是單調遞增序列隨後是單調遞減序列），可以更有效地找到峰值。透過應用改進的二分搜尋技術，我們可以在O(log n)時間內找到峰值，從而顯著降低複雜性。需要注意的是，確定陣列是否是雙調的需要進行檢查，在最壞的情況下，可能會接近線性時間。因此，當陣列的雙調性質已知時，二分搜尋方法的效率增益最有影響力。
查詢多個峰元素
識別陣列中的多個峰值元素通常需要檢查每個元素與其相鄰元素的關係，從而產生時間複雜度為O(n)的線性搜尋演算法。這種方法確保不會忽略任何潛在峰值，使其適用於一般陣列。
在特定場景中，當陣列結構允許分割成可預測的模式時，可以應用修改的二分搜尋技術來更有效地查詢峰值。讓我們使用修改後的二分搜尋演算法來實現O(log n)的時間複雜度。
演算法說明：
- 初始化指標：從兩個指標開始，low和high，代表陣列的範圍。
- 二分查詢：計算當前範圍的中間索引。
- 將 Mid 與鄰居進行比較：檢查索引mid處的元素是否大於其鄰居。
- 如果true，則 mid為峰值。
- 如果為false，則向具有更大鄰居的一側移動，確保我們向潛在的峰值移動。
重複：繼續該過程，直到範圍縮小為單個元素。
public class MultiplePeakFinder {
public static List<Integer> findPeaks(int[] arr) {
List<Integer> peaks = new ArrayList<>();
if (arr == null || arr.length == 0) {
return peaks;
}
findPeakElements(arr, 0, arr.length - 1, peaks, arr.length);
return peaks;
}
private static void findPeakElements(int[] arr, int low, int high, List<Integer> peaks, int length) {
if (low > high) {
return;
}
int mid = low + (high - low) / 2;
boolean isPeak = (mid == 0 || arr[mid] > arr[mid - 1]) && (mid == length - 1 || arr[mid] > arr[mid + 1]);
boolean isFirstInSequence = mid > 0 && arr[mid] == arr[mid - 1] && arr[mid] > arr[mid + 1];
if (isPeak || isFirstInSequence) {
if (!peaks.contains(arr[mid])) {
peaks.add(arr[mid]);
}
}
findPeakElements(arr, low, mid - 1, peaks, length);
findPeakElements(arr, mid + 1, high, peaks, length);
}
}
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MultiplePeakFinder類採用改進的二分搜尋演算法來有效識別陣列中的多個峰元素。findPeaks方法初始化兩個指標low和high，表示陣列的範圍。
它計算中間索引 ( mid ) 並檢查mid處的元素是否大於其鄰居。如果為true ，則它將mid標記為峰值，並繼續在潛在的峰值豐富區域中搜尋。
public class MultiplePeakFinderUnitTest {
@Test
void findPeaks_givenArrayOfIntegers_whenValidInput_thenReturnsCorrectPeaks() {
MultiplePeakFinder finder = new MultiplePeakFinder();
int[] array = {1, 13, 7, 0, 4, 1, 4, 45, 50};
List<Integer> peaks = finder.findPeaks(array);
assertEquals(3, peaks.size());
assertTrue(peaks.contains(4));
assertTrue(peaks.contains(13));
assertTrue(peaks.contains(50));
}
}
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二分搜尋查詢峰值的效率取決於陣列的結構，允許在不檢查每個元素的情況下進行峰值檢測。然而，在不知道陣列的結構或者缺乏合適的二分搜尋模式的情況下，線性搜尋是最可靠的方法，保證不會忽略任何峰值。處理邊緣情況
理解和解決邊緣情況對於確保峰元演算法的穩健性和可靠性至關重要。
無峰陣列
在陣列不包含峰元素的情況下，必須指出這種不存在。當沒有找到峰值時，我們返回一個空陣列：
public class PeakElementFinder {
public List<Integer> findPeakElements(int[] arr) {
int n = arr.length;
List<Integer> peaks = new ArrayList<>();
if (n == 0) {
return peaks;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (isPeak(arr, i, n)) {
peaks.add(arr[i]);
}
}
return peaks;
}
private boolean isPeak(int[] arr, int index, int n) {
return arr[index] >= arr[index - 1] && arr[index] >= arr[index + 1];
}
}
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findPeakElement方法迭代陣列，利用isPeak輔助函式來識別峰值。如果未找到峰值，則返回一個空陣列。public class PeakElementFinderUnitTest {
@Test
void findPeakElement_givenArrayOfIntegers_whenValidInput_thenReturnsCorrectPeak() {
PeakElementFinder finder = new PeakElementFinder();
int[] array = {1, 2, 3, 2, 1};
List<Integer> peaks = finder.findPeakElements(array);
assertEquals(1, peaks.size());
assertTrue(peaks.contains(3));
}
@Test
void findPeakElement_givenArrayOfIntegers_whenNoPeaks_thenReturnsEmptyList() {
PeakElementFinder finder = new PeakElementFinder();
int[] array = {};
List<Integer> peaks = finder.findPeakElements(array);
assertEquals(0, peaks.size());
}
}
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極值處具有峰值的陣列
當第一個或最後一個元素存在峰值時，需要特別考慮以避免未定義的鄰居比較。讓我們在isPeak方法中新增條件檢查來處理這些情況：
private boolean isPeak(int[] arr, int index, int n) {
if (index == 0) {
return n > 1 ? arr[index] >= arr[index + 1] : true;
} else if (index == n - 1) {
return arr[index] >= arr[index - 1];
}
return arr[index] >= arr[index - 1] && arr[index] >= arr[index + 1];
}
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此修改可確保正確識別極端處的峰值，而無需嘗試與未定義的鄰居進行比較。public class PeakElementFinderUnitTest {
@Test
void findPeakElement_givenArrayOfIntegers_whenPeaksAtExtremes_thenReturnsCorrectPeak() {
PeakElementFinder finder = new PeakElementFinder();
int[] array = {5, 2, 1, 3, 4};
List<Integer> peaks = finder.findPeakElements(array);
assertEquals(2, peaks.size());
assertTrue(peaks.contains(5));
assertTrue(peaks.contains(4));
}
}
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處理高原（連續相等元素）
在陣列包含連續相等元素的情況下，返回第一次出現的索引至關重要。isPeak函式透過跳過連續的相等元素來處理此問題：
private boolean isPeak(int[] arr, int index, int n) {
if (index == 0) {
return n > 1 ? arr[index] >= arr[index + 1] : true;
} else if (index == n - 1) {
return arr[index] >= arr[index - 1];
} else if (arr[index] == arr[index + 1] && arr[index] > arr[index - 1]) {
int i = index;
while (i < n - 1 && arr[i] == arr[i + 1]) {
i++;
}
return i == n - 1 || arr[i] > arr[i + 1];
} else {
return arr[index] >= arr[index - 1] && arr[index] >= arr[index + 1];
}
}
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findPeakElement函式會跳過連續的相等元素，確保在識別峰值時返回第一次出現的索引。public class PeakElementFinderUnitTest {
@Test
void findPeakElement_givenArrayOfIntegers_whenPlateaus_thenReturnsCorrectPeak() {
PeakElementFinder finder = new PeakElementFinder();
int[] array = {1, 2, 2, 2, 3, 4, 5};
List<Integer> peaks = finder.findPeakElements(array);
assertEquals(1, peaks.size());
assertTrue(peaks.contains(5));
}
}
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結論
瞭解查詢峰值元素的技術使開發人員能夠在設計高效且有彈性的演算法時做出明智的決策。發現峰值元素的方法有多種，這些方法提供不同的時間複雜度，例如 O(log n) 或 O(n)。
這些方法的選擇取決於具體要求和應用限制。選擇正確的演算法與應用程式要實現的效率和效能目標相一致。