上節課我們主要介紹了邏輯迴歸，以輸出概率的形式來處理二分類問題。我們介紹了邏輯迴歸的Cost function表示式，並使用梯度下降演算法來計算最小化Cost function時對應的引數w和b。通過計算圖的方式來講述了神經網路的正向傳播和反向傳播兩個過程。本節課我們將來探討Python和向量化的相關知識。
1. Vectorization
深度學習演算法中，資料量很大，在程式中應該儘量減少使用loop迴圈語句，而可以使用向量運算來提高程式執行速度。
向量化（Vectorization）就是利用矩陣運算的思想，大大提高運算速度。例如下面所示在Python中使用向量化要比使用迴圈計算速度快得多。
import numpy as np
import time
a = np.random.rand(1000000)
b = np.random.rand(1000000)
tic = time.time()
c = np.dot(a,b)
toc = time.time()
print(c)
print("Vectorized version:" + str(1000*(toc-tic)) + "ms")
c = 0
tic = time.time()
for i in range(1000000):
c += a[i]*b[i]
toc = time.time()
print(c)
print("for loop:" + str(1000*(toc-tic)) + "ms")
輸出結果類似於：
250286.989866
Vectorized version:1.5027523040771484ms
250286.989866
For loop:474.29513931274414ms
從程式執行結果上來看，該例子使用for迴圈執行時間是使用向量運算執行時間的約300倍。因此，深度學習演算法中，使用向量化矩陣運算的效率要高得多。
為了加快深度學習神經網路運算速度，可以使用比CPU運算能力更強大的GPU。事實上，GPU和CPU都有並行指令（parallelization instructions），稱為Single Instruction Multiple Data（SIMD）。SIMD是單指令多資料流，能夠複製多個運算元，並把它們打包在大型暫存器的一組指令集。SIMD能夠大大提高程式執行速度，例如python的numpy庫中的內建函式（built-in function）就是使用了SIMD指令。相比而言，GPU的SIMD要比CPU更強大一些。
2. More Vectorization Examples
上一部分我們講了應該儘量避免使用for迴圈而使用向量化矩陣運算。在python的numpy庫中，我們通常使用np.dot()函式來進行矩陣運算。
我們將向量化的思想使用在邏輯迴歸演算法上，儘可能減少for迴圈，而只使用矩陣運算。值得注意的是，演算法最頂層的迭代訓練的for迴圈是不能替換的。而每次迭代過程對J，dw，b的計算是可以直接使用矩陣運算。
3. Vectorizing Logistic Regression
在《神經網路與深度學習》課程筆記（2）中我們介紹過，整個訓練樣本構成的輸入矩陣X的維度是（n_x，m），權重矩陣w的維度是（n_x，1），b是一個常數值，而整個訓練樣本構成的輸出矩陣Y的維度為（1，m）。利用向量化的思想，所有m個樣本的線性輸出Z可以用矩陣表示：
Z=w^TX+b
在python的numpy庫中可以表示為：
Z = np.dot(w.T,X) + b
A = sigmoid(Z)
其中，w.T表示w的轉置。
這樣，我們就能夠使用向量化矩陣運算代替for迴圈，對所有m個樣本同時運算，大大提高了運算速度。
4. Vectorizing Logistic Regression’s Gradient Output
再來看邏輯迴歸中的梯度下降演算法如何轉化為向量化的矩陣形式。對於所有m個樣本，dZ的維度是（1，m），可表示為：
dZ=A-Y
db可表示為：
db=\frac1m \sum_{i=1}^mdz^{(i)}
對應的程式為：
db = 1/m*np.sum(dZ)
dw可表示為：
dw=\frac1m X\cdot dZ^T
對應的程式為：
dw = 1/m*np.dot(X,dZ.T)
這樣，我們把整個邏輯迴歸中的for迴圈儘可能用矩陣運算代替，對於單次迭代，梯度下降演算法流程如下所示：
Z = np.dot(w.T,X) + b
A = sigmoid(Z)
dZ = A-Y
dw = 1/m*np.dot(X,dZ.T)
db = 1/m*np.sum(dZ)
w = w - alpha*dw
b = b - alpha*db
其中，alpha是學習因子，決定w和b的更新速度。上述程式碼只是對單次訓練更新而言的，外層還需要一個for迴圈，表示迭代次數。
5. Broadcasting in Python
下面介紹使用python的另一種技巧：廣播（Broadcasting）。python中的廣播機制可由下面四條表示：
- 讓所有輸入陣列都向其中shape最長的陣列看齊，shape中不足的部分都通過在前面加1補齊
-
輸出陣列的shape是輸入陣列shape的各個軸上的最大值
-
如果輸入陣列的某個軸和輸出陣列的對應軸的長度相同或者其長度為1時，這個陣列能夠用來計算，否則出錯
-
當輸入陣列的某個軸的長度為1時，沿著此軸運算時都用此軸上的第一組值
簡而言之，就是python中可以對不同維度的矩陣進行四則混合運算，但至少保證有一個維度是相同的。下面給出幾個廣播的例子，具體細節可參閱python的相關手冊，這裡就不贅述了。
值得一提的是，在python程式中為了保證矩陣運算正確，可以使用reshape()函式來對矩陣設定所需的維度。這是一個很好且有用的習慣。
6. A note on python/numpy vectors
接下來我們將總結一些python的小技巧，避免不必要的code bug。
python中，如果我們用下列語句來定義一個向量：
a = np.random.randn(5)
這條語句生成的a的維度是（5，）。它既不是行向量也不是列向量，我們把a叫做rank 1 array。這種定義會帶來一些問題。例如我們對a進行轉置，還是會得到a本身。所以，如果我們要定義（5，1）的列向量或者（1，5）的行向量，最好使用下來標準語句，避免使用rank 1 array。
a = np.random.randn(5,1)
b = np.random.randn(1,5)
除此之外，我們還可以使用assert語句對向量或陣列的維度進行判斷，例如：
assert(a.shape == (5,1))
assert會對內嵌語句進行判斷，即判斷a的維度是不是（5，1）的。如果不是，則程式在此處停止。使用assert語句也是一種很好的習慣，能夠幫助我們及時檢查、發現語句是否正確。
另外，還可以使用reshape函式對陣列設定所需的維度：
a.reshape((5,1))
7. Quick tour of Jupyter/iPython Notebooks
Jupyter notebook（又稱IPython notebook）是一個互動式的筆記本，支援執行超過40種程式語言。本課程所有的程式設計練習題都將在Jupyter notebook上進行，使用的語言是python。
關於Jupyter notebook的簡介和使用方法可以看我的另外兩篇部落格：
8. Explanation of logistic regression cost function(optional)
在上一節課的筆記中，我們介紹過邏輯迴歸的Cost function。接下來我們將簡要解釋這個Cost function是怎麼來的。
首先，預測輸出\hat y的表示式可以寫成：
\hat y=\sigma(w^Tx+b)
其中，\sigma(z)=\frac{1}{1+exp(-z)}。\hat y可以看成是預測輸出為正類（+1）的概率：
\hat y=P(y=1|x)
那麼，當y=1時：
p(y|x)=\hat y
當y=0時：
p(y|x)=1-\hat y
我們把上面兩個式子整合到一個式子中，得到：
P(y|x)=\hat y^y(1-\hat y)^{(1-y)}
由於log函式的單調性，可以對上式P(y|x)進行log處理：
log\ P(y|x)=log\ \hat y^y(1-\hat y)^{(1-y)}=y\ log\ \hat y+(1-y)log(1-\hat y)
我們希望上述概率P(y|x)越大越好，對上式加上負號，則轉化成了單個樣本的Loss function，越小越好，也就得到了我們之前介紹的邏輯迴歸的Loss function形式。
L=-(y\ log\ \hat y+(1-y)log(1-\hat y))
如果對於所有m個訓練樣本，假設樣本之間是獨立同分布的（iid），我們希望總的概率越大越好：
max\ \prod_{i=1}^m\ P(y^{(i)}|x^{(i)})
同樣引入log函式，加上負號，將上式轉化為Cost function：
J(w,b)=-\frac1m\sum_{i=1}^mL(\hat y^{(i)},y^{(i)})=-\frac 1m\sum_{i=1}^my^{(i)}\ log\ \hat y^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-\hat y^{(i)})
上式中，\frac1m表示對所有m個樣本的Cost function求平均，是縮放因子。
9. Summary
本節課我們主要介紹了神經網路基礎——python和向量化。在深度學習程式中，使用向量化和矩陣運算的方法能夠大大提高執行速度，節省時間。以邏輯迴歸為例，我們將其演算法流程包括梯度下降轉換為向量化的形式。同時，我們也介紹了python的相關程式設計方法和技巧。
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