AT_dwacon6th_prelims_c Cookie Distribution 題解

組合意義保平安。

思路

發現 \(\prod\) 的貢獻不好統計。

我們可以考慮 \(\prod\) 的組合意義。

容易發現：

\[\prod c_i=\prod \sum_{j=1}^{c_i}1 \]

那麼依照分配律，我們發現這個東西的組合意義是每個人從獲得的餅乾中選一個出來的方案。

這樣就會變好統計很多。

設 \(dp_{i,j}\) 為前 \(i\) 天，有 \(j\) 個人已經選出了代表的餅乾。

那麼：

\[dp_{i,j}=\sum_{k=0}^{j}dp_{i-1,k}\binom{n-k}{j}\binom{n-j}{a_i-j} \]

時間複雜度：\(O(n^2)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 1e9 + 7;

int n, k;
int f[1010];
int g[1010];
int c[1010][1010];

signed main() {
  cin >> n >> k;
  f[0] = 1;
  for (int i = 0; i <= n; i++) c[i][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
      c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
  for (int i = 1; i <= k; i++) {
    int a;
    cin >> a;
    memset(g, 0, sizeof g);
    for (int j = 0; j <= n; j++) {
      for (int k = 0; k <= a; k++) {
        if (j + k > n) break;
        g[j + k] = (g[j + k] + f[j] * c[n - j][k] % mod * c[n - k][a - k]) % mod;
      }
    }
    memcpy(f, g, sizeof g);
  }
  cout << f[n] << "\n";
}