這是價值學習高階技巧第三篇，前兩篇主要是針對 TD 演算法的改進，而Dueling Network 對 DQN 的結構進行改進，能夠大幅度改進DQN的效果。
Dueling Network 的應用範圍不限於 DQN，本文只介紹其在 DQN上的應用。
12. Dueling Network
12.1 優勢函式
Advantage Function.
回顧一些基礎概念：
折扣回報：
\(U_t = R_t + \gamma \cdot R_{t+1} + \gamma^2R+...\)
動作價值函式：
\(Q_\pi(s_t,a_t)=\mathbb{E}[U_t|S_t=s_t,A_t=a_t]\)
消去了未來的狀態 和 動作，只依賴於當前動作和狀態，以及策略函式 \(\pi\)。
狀態價值函式：
\(V_\pi(s_t)=\mathbb{E}[Q_\pi(s_t,A)]\)
只跟策略函式 \(\pi\) 和當前狀態 \(s_t\) 有關。
最優動作價值函式
\(Q^*(s,a)=\mathop{max}\limits_{\pi}Q_\pi(s,a)\)
只依賴於 s,a，不依賴策略函式。
最優狀態價值函式
\(V^*(s)=\mathop{max}\limits_{a}V_\pi(S)\)
只依賴 S。
下面就是這次的主角之一：
-
Optimal Advantage function 優勢函式：
\(A^*(s,a)=Q^*(s,a)-V^*(s)\)
V* 作為 baseline ，優勢函式的意思是動作 a 相對 V* 的優勢，A*越好，那麼優勢就越大。
下面介紹一個優勢函式有關的定理：
定理一：\(V^*(s)=\mathop{max}\limits_a Q^*(s,a)\)
這一點從上面的回顧不難看出，求得最優的路徑不同，但是相等。
上面提到了優勢函式的定義：\(A^*(s,a)=Q^*(s,a)-V^*(s)\)
同時對左右求最大值：\(\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)=\mathop{max} \limits_{a}Q^*(s,a)-V^*(s)\)，而等式右側正是上面定理，所以右側==0；因此優勢函式關於a的最大值=0，即：
\(\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)=0\)
我們把這個 0 值式子加到定義上，進行簡單變形：
定理二：\(Q^*(s,a)=V^*(s)+A^*(s,a)-\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)\)
Dueling Network 就是由定理二得到的。
12.2 Dueling Network 原理
此前 DQN 用\(Q(s,a;w)\) 來近似 \(D^*(s,a)\) ，結構如下：
而 Dueling Network 對 DQN 的結構改進原理是：
-
我們對於DQN的改進思路就是基於上面的定理2：\(Q^*(s,a)=V^*(s)+A^*(s,a)-\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)\)
- 分別用神經網路 V 和 A 近似 V-star 和 A-star
- 即：\(Q(s,a;w^A,w^V)=V(s;w^V)+A(s,a;w^A)-\mathop{max}\limits_{a}A(s,a;w^A)\)
- 這樣也完成了對於 Q-star 的近似，與 DQN 的功能相同。
-
首先需要用一個神經網路 \(V(s;w^V)\) 來近似 \(V^*(s)\)：
注意這裡的輸出是一個實數，是對狀態的打分，而非向量；
- 用另一個神經網路\(A(s,a;w^A)\) 對\(A^*(s,a)\) 進行近似:
這個網路和上面的網路 \(V\) 結構有一定的相像，可以共享卷積層的引數;
後續為了方便，令 \(w=(w^A,w^V)\)，即：
現在 左側 與 DQN 的表示就一致了。下面搭建Dueling Network，就是上面 V 和 A 的拼接與計算：
- 輸入 狀態 s，V 和 A 共享一些 卷積層，得到特徵向量；
- 分別通過不同的全連線層，A輸出向量，V輸出實數；
- 通過上面的式子運算輸出最終結果，是對所有動作的打分；
可見Dueling Network 的輸入 和 輸出 和 DQN 完全一樣，功能也完全一樣；但是內部的結構不同，Dueling Network 的結構更好，所以表現要比 DQN好；
注意，Dueling Network 和 DQN 都是對 最優動作價值函式 的近似。
12.3 訓練 Dueling Network
接下來訓練引數 \(w=(w^A,w^v)\)，採用與 DQN 相同的思路，也就是採用 TD演算法訓練 Dueling Network。
之前介紹的 TD演算法 的三種優化方法：
- 經驗回放 / 優先經驗回放
- Double DQN
- M-step TD target
都可以用在 訓練 Dueling Network 上。
12.4 數學原理與不唯一性
之前推導 Dueling Network 原理的時候，有如下兩個式子：
- \(Q^*(s,a)=V^*(s)+A^*(s,a)\)
- \(Q^*(s,a)=V^*(s)+A^*(s,a)-\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)\)
我們為什麼一定要用等式 2 而不是等式 1 呢？也就是為什麼要加上一個 值為 0 的 \(\mathop{max}\limits_{a}A^*(s,a)\)？
-
這是因為 等式1 有一個問題。
-
即我們無法通過學習 Q-star 來 唯一確定 V-star 和 A-star，即對於求得的 Q-star 值，可以分解成無陣列 V-star 和 A-star。
-
\(Q(s,a;w^A,w^V)=V(s;w^V)+A(s,a;w^A)-\mathop{max}\limits_{a}A(s,a;w^A)\)
-
我們是對 左側Q 來訓練整個 Dueling Network 的。如果 V 網路 向上波動 和 A 網路向下波動幅度相同，那麼 Dueling Network 的輸出完全相同，但是V-A兩個網路都發生了波動，訓練不好。
-
而加上最大化這一項就能避免不唯一性；即如果 V-star 向上波動10，A-star 向下波動10，那麼整個式子的值會發生改變
因為max項隨著A-star 的變化 也減少了10，總體上升了10
在上面的數學推導中，我們使用的是 \(\max \limits_{a}A(s,a;w^A)\)來近似最大項\(\max\limits_{a}A(s,a)\)，而在實際應用中，用 \(\mathop{mean}\limits_{a}A(S,a;w^A)\)來近似效果更好；這種替換沒有理論依據，但是實際效果好。