基於機率判斷矩陣A*B是否等於C

如果是\(O(n^3)\)的暴力肯定會T，那麼我們想有沒有一種方法可以不用直接讓 \(A*B\) 而是間接得到，

我們可以隨一個n*1的矩陣 D 出來，矩陣乘法是滿足交換律的：
\(A*B=C\)
\(A*B*D=C*D\)
\(A*(B*D)=C*D\)
這樣我們就可以在\(O(n^2)\)的複雜度完成判斷,
根據不知道是啥的秩_零化度定理，這樣出錯的機率極低，只有\(998244353^{-1}\)。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N=3e3+107;
const int mod=998244353;
int a[N][N],b[N][N],c[N][N];
int d[N],e[N],f[N];

int read()
{
	int f=1,s=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return f*s;
}
signed main()
{
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
	mt19937_64 gen(time(0));
	int T=read();
	while(T--)
	{
		int n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) b[i][j]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) c[i][j]=read();
		
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			f[i]=gen()%(mod-1)+1;
			d[i]=e[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) 
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				d[i]=(d[i]+b[i][j]*f[j]%mod)%mod;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				e[i]=(e[i]+c[i][j]*f[j]%mod)%mod;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=d[i],d[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				d[i]=(d[i]+a[i][j]*f[j]%mod)%mod;
			}
		}
		bool flag=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) if(d[i]%mod!=e[i]%mod) flag=1;
		if(flag) printf("No\n");
		else printf("Yes\n");
	}
}